MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 08 · Terminale

Cours

Suites Numériques

Suites récurrentes, convergence et raisonnement par récurrence

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Les suites numériques permettent de modéliser des phénomènes discrets : intérêts composés, populations, algorithmes. En terminale, on approfondit l'étude des suites récurrentes (un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)) et on maîtrise le raisonnement par récurrence, outil logique fondamental. On étudie aussi la convergence à l'aide des points fixes et du théorème de la suite monotone bornée.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de suites numériques.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Suites arithmétiques et géométriques — rappels

Suite arithmétique de premier terme u0u_0 et raison rr : un=u0+nru_n = u_0 + nr, somme : S=n⋅u0+un−12S = n \cdot \dfrac{u_0 + u_{n-1}}{2}.

Suite géométrique de premier terme u0u_0 et raison qq (q≠0q \neq 0) : un=u0⋅qnu_n = u_0 \cdot q^n, somme : S=u0⋅1−qn1−qS = u_0 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q} (q≠1q \neq 1).

Définition

Suite arithmético-géométrique

Suite vérifiant un+1=aun+bu_{n+1} = au_n + b avec a≠1a \neq 1 et a≠0a \neq 0. On cherche le point fixe ℓ=b1−a\ell = \frac{b}{1-a} et on pose vn=un−ℓv_n = u_n - \ell pour se ramener à une suite géométrique.
Exemple 1— Suite arithmético-géométrique
Résoudre un+1=2un+3u_{n+1} = 2u_n + 3 avec u0=1u_0 = 1.

Solution

Point fixe : ℓ=2ℓ+3⇒ℓ=−3\ell = 2\ell + 3 \Rightarrow \ell = -3.

vn=un+3v_n = u_n + 3 vérifie vn+1=un+1+3=2un+3+3=2(un+3)=2vnv_{n+1} = u_{n+1}+3 = 2u_n+3+3 = 2(u_n+3) = 2v_n.

Donc (vn)(v_n) est géométrique de raison 22 : vn=v0⋅2n=4⋅2nv_n = v_0 \cdot 2^n = 4 \cdot 2^n.

un=vn−3=4⋅2n−3u_n = v_n - 3 = 4 \cdot 2^n - 3.

2Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer une propriété P(n)P(n) pour tout entier n≥n0n \geq n_0.

Structure :
1. Initialisation : Vérifier que P(n0)P(n_0) est vraie.
2. Hérédité : Supposer que P(n)P(n) est vraie pour un n≥n0n \geq n_0 (hypothèse de récurrence) et montrer que P(n+1)P(n+1) est vraie.
3. Conclusion : Par le principe de récurrence, P(n)P(n) est vraie pour tout n≥n0n \geq n_0.
Exemple 1— Récurrence classique
Montrer que un=2n−1u_n = 2^n - 1 pour u0=0u_0 = 0 et un+1=2un+1u_{n+1} = 2u_n + 1.

Solution

Initialisation : n=0n=0 : u0=0=20−1=0u_0 = 0 = 2^0-1 = 0 ✓

Hérédité : Supposons un=2n−1u_n = 2^n-1.
un+1=2un+1=2(2n−1)+1=2n+1−2+1=2n+1−1u_{n+1} = 2u_n+1 = 2(2^n-1)+1 = 2^{n+1}-2+1 = 2^{n+1}-1 ✓

Conclusion : un=2n−1u_n = 2^n-1 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

⚠ Attention

Ne jamais oublier l'étape d'initialisation ! L'hérédité seule ne suffit pas.
  • 3 étapes : initialisation, hérédité, conclusion.
  • Préciser clairement l'hypothèse de récurrence (HR).
  • Utiliser explicitement la HR dans le calcul de un+1u_{n+1}.

3Convergence par point fixe

Pour une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) :
1. Si (un)(u_n) converge vers ℓ\ell, alors ℓ\ell est un point fixe de ff : f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell.
2. Pour prouver la convergence, on démontre souvent par récurrence que la suite est monotone et bornée.
3. On calcule ensuite ℓ\ell en résolvant f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell.
Exemple 1— Point fixe et convergence
Soit un+1=un+2u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2} avec u0=0u_0 = 0. Montrer que (un)(u_n) converge et trouver sa limite.

Solution

On montre par récurrence que 0≤un≤20 \leq u_n \leq 2 (bornée) et que (un)(u_n) est croissante.

Donc (un)(u_n) converge vers ℓ\ell vérifiant ℓ=ℓ+2\ell = \sqrt{\ell+2}.
ℓ2=ℓ+2⇒ℓ2−ℓ−2=0⇒(ℓ−2)(ℓ+1)=0\ell^2 = \ell+2 \Rightarrow \ell^2-\ell-2 = 0 \Rightarrow (\ell-2)(\ell+1) = 0.
ℓ=2\ell = 2 (car ℓ≥0\ell \geq 0).
  • Si (un)(u_n) converge, sa limite est un point fixe de ff.
  • Montrer d'abord borné + monotone, puis calculer le point fixe.

★ À retenir

  • 1
    Suite arithmético-géométrique un+1=aun+bu_{n+1} = au_n + b : point fixe ℓ=b/(1−a)\ell = b/(1-a), puis (un−ℓ)(u_n - \ell) géométrique.
  • 2
    Récurrence : initialisation + hérédité + conclusion.
  • 3
    Suite monotone et bornée ⇒\Rightarrow converge.
  • 4
    Limite = point fixe de ff si un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n).

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Théorème fondamental de l'analyse et calcul d'aires