MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 07 · Terminale

Cours

Logarithme et Exponentielle

Propriétés, équations et étude de fonctions

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Le logarithme népérien ln⁡\ln et la fonction exponentielle exe^x sont deux fonctions réciproques l'une de l'autre. Elles jouent un rôle central en mathématiques, en physique (croissance, décroissance, pH, décibels) et en économie. En terminale, on maîtrise leurs propriétés algébriques, leurs limites (dont les croissances comparées) et leur utilisation pour résoudre équations et inéquations.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Lire et exploiter une fonction dans plusieurs représentations.
  • Rédiger une conclusion claire à partir d’un tableau ou d’un calcul.

Points de vigilance

  • Confondre image et antécédent.
  • Conclure sans citer le signe ou le tableau étudié.

1Fonction exponentielle

La fonction exp⁡:x↦ex\exp : x \mapsto e^x est définie sur R\mathbb{R}, strictement croissante, positive, et vérifie e0=1e^0 = 1, (ex)′=ex(e^x)' = e^x.

Propriétés algébriques :
- ea+b=ea⋅ebe^{a+b} = e^a \cdot e^b
- ea−b=eaebe^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}
- (ea)n=ena(e^a)^n = e^{na}
- e−a=1eae^{-a} = \dfrac{1}{e^a}

Limites : lim⁡x→+∞ex=+∞\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty, lim⁡x→−∞ex=0\lim_{x\to-\infty} e^x = 0.

Définition

Nombre $e$

e≈2,718e \approx 2{,}718 est l'unique réel tel que la tangente à y=exy = e^x en x=0x=0 a une pente de 11. On a (ex)′=ex(e^x)' = e^x : l'exponentielle est sa propre dérivée.
Exemple 1— Résoudre une équation exponentielle
Résoudre e2x−1=ex+3e^{2x-1} = e^{x+3}.

Solution

e2x−1=ex+3⇔2x−1=x+3e^{2x-1} = e^{x+3} \Leftrightarrow 2x-1 = x+3 (exp est injective)
⇔x=4\Leftrightarrow x = 4.
  • ea+b=ea⋅ebe^{a+b} = e^a \cdot e^b : les exposants s'additionnent quand on multiplie.
  • (ex)′=ex(e^x)' = e^x : dérivée remarquable.
  • Plus généralement : (eu(x))′=u′(x) eu(x)(e^{u(x)})' = u'(x)\,e^{u(x)}.

2Logarithme népérien

La fonction ln⁡:x↦ln⁡x\ln : x \mapsto \ln x est définie sur ]0,+∞[]0, +\infty[, strictement croissante, et vérifie ln⁡1=0\ln 1 = 0, ln⁡e=1\ln e = 1, (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}.

Propriétés algébriques :
- ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b
- ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b
- ln⁡an=nln⁡a\ln a^n = n \ln a
- ln⁡1a=−ln⁡a\ln\dfrac{1}{a} = -\ln a

Limites : lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty, lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty.

Définition

Logarithme népérien

ln⁡x\ln x est la réciproque de exe^x : ln⁡(ex)=x\ln(e^x) = x et eln⁡x=xe^{\ln x} = x (pour x>0x > 0). ln⁡x\ln x est le logarithme de base ee.
Exemple 1— Résoudre une inéquation logarithmique
Résoudre ln⁡(2x−1)≥ln⁡(x+2)\ln(2x-1) \geq \ln(x+2).

Solution

Condition d'existence : 2x−1>02x-1 > 0 et x+2>0x+2 > 0, soit x>12x > \frac{1}{2}.

ln⁡\ln est croissante, donc ln⁡(2x−1)≥ln⁡(x+2)⇔2x−1≥x+2⇔x≥3\ln(2x-1) \geq \ln(x+2) \Leftrightarrow 2x-1 \geq x+2 \Leftrightarrow x \geq 3.

En croisant avec x>12x > \frac{1}{2} : solution x∈[3,+∞[x \in [3, +\infty[.
  • ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b : le log transforme les produits en sommes.
  • (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \dfrac{u'}{u} (dérivée composée).
  • ln⁡\ln est croissante : ln⁡a≤ln⁡b⇔a≤b\ln a \leq \ln b \Leftrightarrow a \leq b (pour a,b>0a, b > 0).

3Croissances comparées et limites

En +∞+\infty : ln⁡x\ln x est très lente comparée aux puissances de xx.
lim⁡x→+∞ln⁡xxα=0(α>0)\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} = 0 \quad (\alpha > 0)

En 0+0^+ : xαln⁡x→0x^\alpha \ln x \to 0 pour α>0\alpha > 0.

En +∞+\infty : les exponentielles dominent toutes les puissances.
lim⁡x→+∞xαeax=0(a>0, α>0)\lim_{x\to+\infty} \frac{x^\alpha}{e^{ax}} = 0 \quad (a > 0, \, \alpha > 0)

Limites remarquables : lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1 et lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1.
Exemple 1— Limite en $0^+$
Calculer lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x\to 0^+} x\ln x.

Solution

Croissances comparées : lim⁡x→0+xαln⁡x=0\lim_{x\to 0^+} x^\alpha \ln x = 0 pour α>0\alpha > 0. Ici α=1\alpha = 1.

lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim_{x\to 0^+} x \ln x = 0

★ À retenir

  • 1
    ea+b=ea⋅ebe^{a+b} = e^a \cdot e^b ; ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b.
  • 2
    (eu)′=u′eu(e^{u})' = u'e^{u} ; (ln⁡u)′=u′/u(\ln u)' = u'/u.
  • 3
    ln⁡\ln et exp⁡\exp sont réciproques : eln⁡x=xe^{\ln x} = x et ln⁡(ex)=x\ln(e^x) = x.
  • 4
    Croissances comparées : ln⁡x≪xα≪eax\ln x \ll x^\alpha \ll e^{ax} en +∞+\infty.
  • 5
    Équations : ef(x)=eg(x)⇔f(x)=g(x)e^{f(x)} = e^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x) (injectivité).

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Résolution des équations du premier ordre

Chapitre 08

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Théorème fondamental de l'analyse et calcul d'aires