Chapitre 06 · Terminale

Cours

Équations Différentielles

Résolution des équations du premier ordre

Une équation différentielle relie une fonction inconnue $y$ à ses dérivées. Ces équations modélisent des phénomènes d'évolution : décroissance radioactive, refroidissement, croissance d'une population, charge d'un condensateur… En terminale, on étudie les équations linéaires du premier ordre $y' = ay$ (homogène) et $y' = ay + b$ (avec second membre).

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Maîtriser les méthodes essentielles de équations différentielles.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Équation $y' = ay$

L'équation différentielle

y' = ay

(où

a

est une constante réelle) est dite homogène du premier ordre.

Solution générale :

y(x) = Ce^{ax}

où

C \in \mathbb{R}

est une constante arbitraire.

Le paramètre

C

est déterminé par une condition initiale

y(x_0) = y_0

Définition

Équation différentielle linéaire du 1er ordre homogène

Équation de la forme

y' = ay

(ou

y' + py = 0

). Toutes ses solutions sont

y = Ce^{ax}

C \in \mathbb{R}

Définition

Condition initiale

Une condition du type

y(x_0) = y_0

qui fixe la constante

C

et donne une solution unique (solution particulière).

Exemple 1— Résolution avec condition initiale

Résoudre

y' = -2y

avec

y(0) = 3

Solution

Solution générale :

y(x) = Ce^{-2x}

.

Condition :

y(0) = C = 3

.

Solution particulière :

y(x) = 3e^{-2x}

Solution générale de $y' = ay$ : $y = Ce^{ax}$ .
La condition initiale détermine $C$ de façon unique.
Si $a < 0$ , la solution tend vers $0$ (décroissance exponentielle).

2Équation $y' = ay + b$

L'équation

y' = ay + b

(avec

a \neq 0

b

constante) est dite avec second membre constant.

Méthode :
1. Trouver une solution particulière constante

y_p

: poser

y' = 0

, d'où

0 = ay_p + b \Rightarrow y_p = -\dfrac{b}{a}

.
2. La solution générale est

y(x) = Ce^{ax} + y_p = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}

Exemple 1— Équation avec second membre

Résoudre

y' = 3y - 6

avec

y(0) = 4

Solution

Solution particulière constante :

0 = 3y_p - 6 \Rightarrow y_p = 2

.

Solution générale :

y = Ce^{3x} + 2

.

Condition :

y(0) = C + 2 = 4 \Rightarrow C = 2

.

Solution :

y(x) = 2e^{3x} + 2

⚠ Attention

Ne pas oublier d'ajouter la solution particulière à la solution de l'équation homogène associée.

Solution particulière constante de $y' = ay + b$ : $y_p = -b/a$ .
Solution générale : $y = Ce^{ax} - b/a$ .

3Modélisation

Les équations différentielles du premier ordre modélisent de nombreuses situations réelles. La démarche est :
1. Identifier la quantité variable

y(t)

et sa loi de variation

y'(t)

.
2. Écrire l'équation différentielle.
3. Résoudre et interpréter la solution.

Exemple type : loi de Newton sur le refroidissement

T' = -k(T - T_{ext})

, décharge d'un condensateur

q' = -q/RC

Exemple 1— Décroissance radioactive

Une substance radioactive vérifie

N'(t) = -\lambda N(t)

avec

N(0) = N_0

. Exprimer

N(t)

Solution

Solution générale de

N' = -\lambda N

N(t) = Ce^{-\lambda t}

.

Condition :

N(0) = C = N_0

.

Donc

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

(décroissance exponentielle).

★ À retenir

1
Solution de $y' = ay$ : $y = Ce^{ax}$ .
2
Solution de $y' = ay + b$ : $y = Ce^{ax} - b/a$ .
3
La condition initiale $y(x_0) = y_0$ détermine $C$ .
4
Modèles classiques : décroissance radioactive, refroidissement de Newton.
5
$a < 0$ : solution converge vers la solution d'équilibre ; $a > 0$ : diverge.

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Exercices — Équations Différentielles

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Chapitre 05

Équations Différentielles

Comment utiliser ce cours efficacement

1Équation $y' = ay$

2Équation $y' = ay + b$

3Modélisation

★ À retenir

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