MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 05 · Terminale

Cours

Primitives et Intégration

Théorème fondamental de l'analyse et calcul d'aires

Aller aux exercices →

L'intégrale est l'outil central du calcul d'aires sous des courbes, de volumes et d'accumulateurs (charge électrique, distance parcourue…). Le théorème fondamental de l'analyse établit le lien entre dérivation et intégration : dériver et intégrer sont des opérations inverses. En terminale, on apprend à calculer des primitives, des intégrales définies et à en interpréter le sens géométrique.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

Passer aux exercicesVoir le programme du niveauLire les guides

Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de primitives et intégration.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Primitives

Une primitive de ff sur II est une fonction FF telle que F′=fF' = f sur II. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Primitives usuelles :
| f(x)f(x) | F(x)F(x) |
|--------|--------|
| xnx^n (n≠−1n \neq -1) | xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1} |
| 1x\frac{1}{x} | ln⁡∣x∣\ln|x| |
| exe^x | exe^x |
| eaxe^{ax} | eaxa\dfrac{e^{ax}}{a} |
| cos⁡x\cos x | sin⁡x\sin x |
| sin⁡x\sin x | −cos⁡x-\cos x |
| 1x2+1\frac{1}{x^2+1} | arctan⁡x\arctan x |

Définition

Primitive

FF est une primitive de ff sur II si F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) pour tout x∈Ix \in I. L'ensemble des primitives de ff est {F+C∣C∈R}\{F + C \mid C \in \mathbb{R}\}.
Exemple 1— Trouver une primitive
Trouver la primitive de f(x)=3x2+2exf(x) = 3x^2 + 2e^x vérifiant F(0)=1F(0) = 1.

Solution

Primitive générale : F(x)=x3+2ex+CF(x) = x^3 + 2e^x + C.

Condition initiale : F(0)=0+2+C=1⇒C=−1F(0) = 0 + 2 + C = 1 \Rightarrow C = -1.

Donc F(x)=x3+2ex−1F(x) = x^3 + 2e^x - 1.
  • Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
  • Deux primitives diffèrent d'une constante.
  • Primitive de eax+be^{ax+b} : 1aeax+b\frac{1}{a}e^{ax+b}.

2Intégrale définie

Si ff est continue sur [a,b][a, b] et FF est une primitive de ff, alors :
∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)

Géométriquement, si f≥0f \geq 0 sur [a,b][a,b], l'intégrale représente l'aire (en unités d'aire) entre la courbe de ff, l'axe des abscisses et les droites x=ax=a, x=bx=b.

Si ff change de signe, l'intégrale est la somme algébrique (les parties sous l'axe comptent négativement).

Définition

Intégrale de Riemann

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx est la limite des sommes de Riemann. Pour ff continue et FF une primitive : ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).
Exemple 1— Calcul d'une intégrale
Calculer ∫02(x2+3x) dx\int_0^2 (x^2 + 3x)\,dx.

Solution

Primitive : F(x)=x33+3x22F(x) = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2}.

∫02(x2+3x) dx=[x33+3x22]02=83+6−0=83+183=263\int_0^2 (x^2+3x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right]_0^2 = \frac{8}{3}+6 - 0 = \frac{8}{3}+\frac{18}{3} = \frac{26}{3}
  • ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) (méthode du crochet).
  • L'intégrale est une aire algébrique (peut être négative).
  • ∫aaf(x) dx=0\int_a^a f(x)\,dx = 0 et ∫abf=−∫baf\int_a^b f = -\int_b^a f.

3Propriétés et calcul d'aires

Linéarité : ∫ab(λf+μg)=λ∫abf+μ∫abg\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda\int_a^b f + \mu\int_a^b g.

Relation de Chasles : ∫acf=∫abf+∫bcf\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f.

Aire entre deux courbes : l'aire entre ff et gg sur [a,b][a,b] est ∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx. On découpe en intervalles où f−gf-g a un signe constant.
Exemple 1— Aire entre deux courbes
Calculer l'aire entre f(x)=x2f(x) = x^2 et g(x)=xg(x) = x sur [0,1][0,1].

Solution

Sur [0,1][0,1] : g(x)=x≥x2=f(x)g(x) = x \geq x^2 = f(x) (car x(1−x)≥0x(1-x) \geq 0).

A=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16 u.a.\mathcal{A} = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \text{ u.a.}

★ À retenir

  • 1
    ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) où FF est une primitive de ff.
  • 2
    Primitives à connaître : xn→xn+1n+1x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}, ex→exe^x \to e^x, 1x→ln⁡∣x∣\frac{1}{x} \to \ln|x|.
  • 3
    Relation de Chasles : ∫ac=∫ab+∫bc\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c.
  • 4
    Aire entre ff et gg : ∫ab∣f−g∣\int_a^b |f-g|, signe à vérifier sur chaque sous-intervalle.
  • 5
    L'intégrale d'une fonction positive est positive (et représente une aire).

Prêt à pratiquer ?

Exercices — Primitives et Intégration

Voir les exercices →

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 06

Équations Différentielles

Résolution des équations du premier ordre

Chapitre 08

Suites Numériques

Suites récurrentes, convergence et raisonnement par récurrence

Chapitre 01

Limites de suites

Convergence et comportement asymptotique des suites