MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 04 · Terminale

Cours

Dérivation et Convexité

Dérivée seconde, convexité et points d'inflexion

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En terminale, on approfondit la dérivation vue en première : la dérivée seconde f′′f'' mesure la variation de la dérivée f′f' et renseigne sur la courbure du graphe. Si f′′f'' est positive, la courbe est « creuse vers le haut » (convexe) ; si f′′f'' est négative, elle est « creuse vers le bas » (concave). Un point d'inflexion est un endroit où la courbe change de courbure.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de dérivation et convexité.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Dérivée seconde

La dérivée seconde de ff, notée f′′f'' ou d2fdx2\dfrac{d^2f}{dx^2}, est la dérivée de la dérivée : f′′=(f′)′f'' = (f')'.

f′′(x)f''(x) mesure l'accélération de la variation de ff : si f′′(x)>0f''(x) > 0, f′f' est croissante (la pente augmente) ; si f′′(x)<0f''(x) < 0, f′f' est décroissante (la pente diminue).

Définition

Dérivée seconde

f′′(x)=lim⁡h→0f′(x+h)−f′(x)hf''(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f'(x+h)-f'(x)}{h}. C'est la dérivée de f′f'. Elle mesure la courbure de la courbe représentative.
Exemple 1— Calcul de $f''$
Calculer f′′(x)f''(x) pour f(x)=x3−3x2+5f(x) = x^3 - 3x^2 + 5.

Solution

f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x

f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6

2Convexité et concavité

Définition : Une fonction ff est convexe sur un intervalle II si sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes sur II. Elle est concave si sa courbe est en dessous de ses tangentes.

Critère pratique (via f′′f'') :
- f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 sur II ⇔\Leftrightarrow ff est convexe sur II.
- f′′(x)≤0f''(x) \leq 0 sur II ⇔\Leftrightarrow ff est concave sur II.

Géométriquement : convexe = « souriant » (bol), concave = « triste » (dôme).

Définition

Fonction convexe

ff est convexe sur II si pour tous x,y∈Ix, y \in I et t∈[0,1]t \in [0,1] : f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y). Équivalent : f′′≥0f'' \geq 0 sur II.

Définition

Fonction concave

ff est concave sur II si −f-f est convexe, c'est-à-dire si f′′≤0f'' \leq 0 sur II.
Exemple 1— Étude de la convexité
Étudier la convexité de f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x.

Solution

f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3, f′′(x)=6xf''(x) = 6x.

f′′(x)>0⇔x>0f''(x) > 0 \Leftrightarrow x > 0 : ff est convexe sur [0,+∞[[0, +\infty[.
f′′(x)<0⇔x<0f''(x) < 0 \Leftrightarrow x < 0 : ff est concave sur ]−∞,0]]-\infty, 0].
  • f′′>0f'' > 0 : convexe (courbe au-dessus des tangentes).
  • f′′<0f'' < 0 : concave (courbe en dessous des tangentes).

3Point d'inflexion

Un point d'inflexion en x=ax = a est un point où la courbe change de courbure (de convexe à concave ou inversement).

Condition nécessaire : f′′(a)=0f''(a) = 0 et f′′f'' change de signe en aa.

Attention : f′′(a)=0f''(a) = 0 n'est pas suffisant (il faut aussi que f′′f'' change de signe).
Exemple 1— Trouver les points d'inflexion
Trouver les points d'inflexion de f(x)=x4−6x2f(x) = x^4 - 6x^2.

Solution

f′(x)=4x3−12xf'(x) = 4x^3 - 12x
f′′(x)=12x2−12=12(x2−1)f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2-1)

f′′(x)=0⇔x=±1f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.

Pour x<−1x < -1 : f′′>0f'' > 0 (convexe). Pour −1<x<1-1 < x < 1 : f′′<0f'' < 0 (concave). Pour x>1x > 1 : f′′>0f'' > 0 (convexe).

f′′f'' change de signe en x=−1x = -1 et x=1x = 1 : ce sont deux points d'inflexion.

⚠ Attention

f′′(a)=0f''(a) = 0 ne suffit pas pour conclure à un point d'inflexion. Il faut vérifier que f′′f'' change effectivement de signe autour de aa.
  • Point d'inflexion : f′′(a)=0f''(a) = 0 ET changement de signe de f′′f''.
  • Tableau de convexité : étudier le signe de f′′f'' comme un tableau de signe.

★ À retenir

  • 1
    f′′=(f′)′f'' = (f')' : dérivée de la dérivée.
  • 2
    f′′>0f'' > 0 sur II ⇒\Rightarrow ff convexe sur II (courbe au-dessus des tangentes).
  • 3
    f′′<0f'' < 0 sur II ⇒\Rightarrow ff concave sur II.
  • 4
    Point d'inflexion : f′′f'' s'annule ET change de signe.
  • 5
    Un maximum ou minimum local vérifie f′(a)=0f'(a) = 0 (mais pas l'inverse).

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Exercices — Dérivation et Convexité

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Chapitres liés à revoir ensuite

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Chapitre 03

Continuité

Théorème des valeurs intermédiaires et prolongement par continuité

Chapitre 05

Primitives et Intégration

Théorème fondamental de l'analyse et calcul d'aires

Chapitre 06

Équations Différentielles

Résolution des équations du premier ordre