Chapitre 03 · Terminale

Cours

Continuité

Théorème des valeurs intermédiaires et prolongement par continuité

Une fonction est continue en un point si elle n'a pas de « saut » à cet endroit. La continuité est une propriété fondamentale qui garantit l'existence de solutions à des équations (théorème des valeurs intermédiaires) et permet de prolonger certaines fonctions définies avec des trous. En terminale, on utilise surtout le TVI pour prouver qu'une équation admet au moins une solution dans un intervalle.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Maîtriser les méthodes essentielles de continuité.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Définition de la continuité

Une fonction

f

est continue en $a$ si

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

.

Cela demande trois choses :

f

est définie en

a

, la limite existe, et la limite vaut

f(a)

.

Une fonction est continue sur un intervalle

I

si elle est continue en tout point de

I

. Les fonctions polynômes, rationnelles (hors pôles), exponentielles, logarithmes et trigonométriques sont continues sur leur domaine.

Définition

Continuité en un point

f

est continue en

a

si et seulement si

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

. En particulier, la limite doit exister et être égale à la valeur de la fonction.

Définition

Discontinuité

Il y a discontinuité en

a

f

n'est pas définie en

a

, ou si la limite n'existe pas, ou si la limite

\neq f(a)

. Graphiquement : un trou, un saut ou une asymptote verticale.

Exemple 1— Continuité d'une fonction définie par morceaux

Soit

f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x < 2 \\ 2x - 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}

f

est-elle continue en

2

Solution

Limite à gauche :

\lim_{x\to 2^-}(x^2-1) = 4-1 = 3

.

Limite à droite :

\lim_{x\to 2^+}(2x-1) = 4-1 = 3

f(2) = 2\times 2 - 1 = 3

.

Les deux limites et la valeur coïncident :

f

est continue en $2$ .

Pour une fonction par morceaux : vérifier les limites gauche et droite au point de raccord.
Les fonctions « usuelles » (exp, ln, trig, polynômes) sont continues sur leur domaine.

2Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème : Si

f

est continue sur

[a, b]

et si

k

est un réel compris entre

f(a)

f(b)

, alors il existe au moins un

c \in [a, b]

tel que

f(c) = k

.

Corollaire : Si de plus

f

est strictement monotone sur

[a, b]

, alors ce

c

est unique.

Application pratique : pour montrer qu'une équation

f(x) = k

a une solution dans

[a, b]

, il suffit de vérifier que

f(a) - k

f(b) - k

sont de signes opposés (et que

f

est continue).

Exemple 1— Application du TVI

Montrer que

x^3 - 2x + 1 = 0

admet une solution dans

[1, 2]

Solution

Soit

g(x) = x^3 - 2x + 1

, continue sur

\mathbb{R}

(polynôme).

g(1) = 1 - 2 + 1 = 0

... hmm,

g(1) = 0

donc

x = 1

est déjà solution !

Tentons

[1, 2]

pour

h(x) = x^3 - x - 1

h(1) = -1 < 0

h(2) = 5 > 0

.
Signe opposé

\Rightarrow

par le TVI,

\exists c \in (1,2)

tel que

h(c) = 0

⚠ Attention

Le TVI garantit l'existence d'une solution, pas son unicité (sauf avec la monotonie stricte). Il ne donne pas la valeur exacte de la solution.

TVI : $f$ continue sur $[a,b]$ , $f(a)$ et $f(b)$ de signes opposés $\Rightarrow$ $\exists c \in (a,b)$ : $f(c) = 0$ .
Unicité : ajouter la monotonie stricte.
La méthode de dichotomie permet d'approcher numériquement la solution.

3Prolongement par continuité

f

est définie et continue sur

D \setminus \{a\}

et si

\lim_{x \to a} f(x) = \ell

existe (finie), alors on peut définir

\tilde{f}

sur

D

en posant

\tilde{f}(a) = \ell

. La fonction

\tilde{f}

est le prolongement par continuité de

f

a

.

Cela supprime un « trou » apparent dans le graphe.

Exemple 1— Prolongement en $0$

Prolonger par continuité

f(x) = \dfrac{\sin x}{x}

0

Solution

La fonction n'est pas définie en

0

. Or

\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1

(limite remarquable).

On pose

\tilde{f}(0) = 1

. La fonction

\tilde{f}

est continue en

0

★ À retenir

1
$f$ continue en $a$ $\Leftrightarrow$ $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ .
2
TVI : $f$ continue sur $[a,b]$ , $f(a)\cdot f(b) < 0$ $\Rightarrow$ $\exists c \in (a,b)$ : $f(c) = 0$ .
3
Avec monotonie stricte : unicité de $c$ .
4
Prolongement par continuité : poser $f(a) = \lim_{x\to a} f(x)$ si la limite existe.
5
Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition.

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Exercices — Continuité

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Chapitre 04

Continuité

Comment utiliser ce cours efficacement

1Définition de la continuité

2Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

3Prolongement par continuité

★ À retenir

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Chapitres liés à revoir ensuite

Dérivation et Convexité

Limites de suites

Primitives et Intégration