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Chapitre 02 · Terminale

Cours

Limites de fonctions

Asymptotes, formes indéterminées et branches infinies

L'étude des limites de fonctions prolonge celle des suites : on s'intéresse au comportement de $f(x)$ quand $x$ s'approche d'un point ou part vers l'infini. Ces limites permettent de décrire les asymptotes du graphe et de comprendre la régularité de la fonction. La difficulté principale est de lever les formes indéterminées par des techniques algébriques adaptées.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Lire et exploiter une fonction dans plusieurs représentations.
Rédiger une conclusion claire à partir d’un tableau ou d’un calcul.

Points de vigilance

Confondre image et antécédent.
Conclure sans citer le signe ou le tableau étudié.

1Limite en un point

On dit que

f(x)

tend vers

\ell

quand

x

tend vers

a

f(x)

se rapproche de

\ell

pour

x

proche de

a

(des deux côtés).

On note

\lim_{x \to a} f(x) = \ell

.

Si les limites à gauche et à droite existent mais sont différentes, la limite en

a

n'existe pas.

Définition

Limite à gauche et à droite

\lim_{x \to a^-} f(x)

est la limite en approchant

a

par valeurs inférieures ;

\lim_{x \to a^+} f(x)

par valeurs supérieures. La limite en

a

existe si et seulement si ces deux limites sont égales.

Définition

Asymptote verticale

La droite

x = a

est une asymptote verticale si

|f(x)| \to +\infty

quand

x \to a

(par l'une ou l'autre côté). Ex. :

f(x) = \frac{1}{x}

a une asymptote verticale en

x=0

Exemple 1— Forme $\frac{0}{0}$ en un point

Calculer

\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}

Solution

x=2

\frac{0}{0}

, forme indéterminée. On factorise le numérateur :

\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \neq 2)

\lim_{x\to 2}(x+2) = 4

En $x=a$ : toujours vérifier si la fonction est définie avant de substituer.
Forme $\frac{0}{0}$ : factoriser numérateur et dénominateur.

2Limite en $\pm\infty$ et asymptotes

Quand

x \to +\infty

(ou

-\infty

), on cherche le comportement dominant de

f(x)

.

Asymptote horizontale :

\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \ell

signifie que la droite

y = \ell

est une asymptote horizontale.

Asymptote oblique : si

f(x) - (ax+b) \to 0

quand

x \to \pm\infty

, la droite

y = ax+b

est une asymptote oblique. On la trouve par division euclidienne ou croissances comparées.

Définition

Asymptote oblique

La droite

y = ax+b

est asymptote oblique en

+\infty

\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(ax+b)] = 0

. On calcule

a = \lim \frac{f(x)}{x}

puis

b = \lim [f(x)-ax]

Exemple 1— Asymptote oblique par division

Trouver l'asymptote oblique de

f(x) = \dfrac{x^2+x-1}{x-1}

+\infty

Solution

Division euclidienne de

x^2+x-1

par

x-1

x^2+x-1 = (x-1)(x+2) + 1

Donc

f(x) = x+2 + \dfrac{1}{x-1}

.

Lorsque

x \to +\infty

\dfrac{1}{x-1} \to 0

. L'asymptote oblique est

y = x+2

Asymptote horizontale $\Leftrightarrow$ limite finie en $\pm\infty$ .
Asymptote oblique : division euclidienne ou $a = \lim f(x)/x$ .
Asymptote verticale : limite infinie en un point.

3Opérations et formes indéterminées

Les mêmes règles qu'avec les suites s'appliquent. Les formes indéterminées pour les fonctions sont identiques :

\frac{\infty}{\infty}

\infty - \infty

0 \times \infty

1^\infty

0^0

.

Croissances comparées : pour

a > 0

\alpha > 0

:
-

\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x^\alpha} = 0

\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^\alpha}{e^{ax}} = 0

\lim_{x\to 0^+} x^\alpha \ln x = 0

Exemple 1— Croissances comparées

Calculer

\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}

Solution

Par croissances comparées avec

\alpha = \frac{1}{2}

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/2}} = 0

L'exponentielle et la puissance croissent bien plus vite que le logarithme.

⚠ Attention

Les croissances comparées s'appliquent à

x \to +\infty

. Ne pas confondre avec

x \to 0^+

où c'est

x^\alpha \ln x \to 0

★ À retenir

1
Limite en $a$ = limite à gauche = limite à droite (sinon, la limite n'existe pas).
2
Asymptote verticale $x=a$ : $f(x) \to \pm\infty$ quand $x \to a$ .
3
Asymptote horizontale $y=\ell$ : $f(x) \to \ell$ quand $x \to \pm\infty$ .
4
Asymptote oblique $y=ax+b$ : trouver $a$ puis $b$ par limite.
5
Croissances comparées : $\ln x \ll x^\alpha \ll e^{ax}$ en $+\infty$ .

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Exercices — Limites de fonctions

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Chapitre 01

Limites de fonctions

Comment utiliser ce cours efficacement

1Limite en un point

2Limite en $\pm\infty$ et asymptotes

3Opérations et formes indéterminées

★ À retenir

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Chapitres liés à revoir ensuite

Limites de suites

Primitives et Intégration

Équations Différentielles