MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 01 · Terminale

Cours

Limites de suites

Convergence et comportement asymptotique des suites

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Une suite numérique (un)(u_n) peut se rapprocher indéfiniment d'une valeur finie (on dit qu'elle converge) ou bien partir vers l'infini (on dit qu'elle diverge). L'étude des limites de suites permet de modéliser des comportements à long terme : taux d'intérêts composés, populations, algorithmes itératifs. Les outils clés sont les théorèmes de comparaison, d'encadrement et les opérations sur les limites.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de limites de suites.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Limite finie — convergence

On dit que la suite (un)(u_n) converge vers le réel ℓ\ell si les termes unu_n se rapprochent indéfiniment de ℓ\ell quand nn grandit. On note lim⁡n→+∞un=ℓ\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell.

Toute suite monotone et bornée est convergente (théorème de la limite monotone).

Définition

Suite convergente

Une suite (un)(u_n) converge vers ℓ∈R\ell \in \mathbb{R} si, pour tout ε>0\varepsilon > 0, il existe un rang NN tel que pour tout n≥Nn \geq N, ∣un−ℓ∣<ε|u_n - \ell| < \varepsilon. On note lim⁡n→+∞un=ℓ\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell.

Définition

Suite bornée

Une suite est bornée si elle admet à la fois un minorant et un majorant. Toute suite convergente est bornée.
Exemple 1— Suite rationnelle convergente
Calculer lim⁡n→+∞3n2+1n2+2\lim_{n\to+\infty} \dfrac{3n^2+1}{n^2+2}.

Solution

On factorise n2n^2 au numérateur et au dénominateur :
3n2+1n2+2=n2(3+1n2)n2(1+2n2)=3+1n21+2n2→n→+∞31=3\frac{3n^2+1}{n^2+2} = \frac{n^2(3+\frac{1}{n^2})}{n^2(1+\frac{2}{n^2})} = \frac{3+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{1} = 3
  • Une suite monotone et bornée converge.
  • On factorise par le terme de plus haut degré pour lever les formes ∞∞\frac{\infty}{\infty}.
  • 1n→0\frac{1}{n} \to 0 et 1n2→0\frac{1}{n^2} \to 0 sont des limites fondamentales.

2Limite infinie — divergence

On dit que (un)(u_n) tend vers +∞+\infty si les termes deviennent arbitrairement grands. De même pour −∞-\infty.

Croissances comparées : ln⁡n≪nα≪an\ln n \ll n^\alpha \ll a^n (pour α>0\alpha > 0, a>1a > 1). Ces comparaisons permettent de déterminer la limite de suites composées.

Définition

Suite divergente vers $+\infty$

(un)→+∞(u_n) \to +\infty si pour tout réel MM, il existe NN tel que n≥N⇒un>Mn \geq N \Rightarrow u_n > M. La suite dépasse tout seuil.
Exemple 1— Suite géométrique divergente
Étudier la limite de un=3×2nu_n = 3 \times 2^n.

Solution

La raison q=2>1q = 2 > 1, donc 2n→+∞2^n \to +\infty. Par produit :
lim⁡n→+∞3×2n=+∞\lim_{n\to+\infty} 3 \times 2^n = +\infty
La suite diverge vers +∞+\infty.
  • Suite géométrique : ∣q∣<1⇒qn→0|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0 ; q>1⇒qn→+∞q > 1 \Rightarrow q^n \to +\infty.
  • nα→+∞n^\alpha \to +\infty pour tout α>0\alpha > 0.

3Opérations sur les limites et formes indéterminées

On peut additionner, multiplier ou diviser des limites, sauf dans les cas dits formes indéterminées (FI) : ∞∞\frac{\infty}{\infty}, ∞−∞\infty - \infty, 0×∞0 \times \infty, 1∞1^\infty, 000^0...

Dans ces cas, une manipulation algébrique (factorisation, conjuguée…) est nécessaire avant de conclure.
Exemple 1— Forme $\infty - \infty$ : expression conjuguée
Calculer lim⁡n→+∞(n+1−n)\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}).

Solution

On multiplie par l'expression conjuguée :
n+1−n=(n+1)−nn+1+n=1n+1+n→0\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \to 0
La suite converge vers 00.

⚠ Attention

Les formes indéterminées ne donnent pas directement la limite. Il faut lever l'indétermination avant d'appliquer les théorèmes.

4Théorèmes de comparaison et d'encadrement

Théorème des gendarmes : Si vn≤un≤wnv_n \leq u_n \leq w_n et lim⁡vn=lim⁡wn=ℓ\lim v_n = \lim w_n = \ell, alors lim⁡un=ℓ\lim u_n = \ell.

Théorème de comparaison : Si un≤vnu_n \leq v_n pour nn assez grand et un→+∞u_n \to +\infty, alors vn→+∞v_n \to +\infty.
Exemple 1— Théorème des gendarmes
Montrer que un=sin⁡nnu_n = \dfrac{\sin n}{n} tend vers 00.

Solution

Comme −1≤sin⁡n≤1-1 \leq \sin n \leq 1, on a −1n≤sin⁡nn≤1n-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin n}{n} \leq \dfrac{1}{n}.

Or lim⁡(−1/n)=lim⁡(1/n)=0\lim(-1/n) = \lim(1/n) = 0. Par le théorème des gendarmes, lim⁡un=0\lim u_n = 0.
  • Les gendarmes exigent que les deux suites encadrantes aient la même limite.
  • La comparaison fonctionne seulement à partir d'un certain rang.

★ À retenir

  • 1
    Une suite monotone bornée converge (théorème fondamental).
  • 2
    Formes indéterminées : ∞∞\frac{\infty}{\infty}, ∞−∞\infty - \infty, 0×∞0 \times \infty — ne pas conclure sans calcul.
  • 3
    Suite géométrique : ∣q∣<1⇒qn→0|q|<1 \Rightarrow q^n\to 0 ; q>1⇒qn→+∞q>1 \Rightarrow q^n\to+\infty.
  • 4
    Théorème des gendarmes : vn≤un≤wnv_n \leq u_n \leq w_n et vn,wn→ℓ⇒un→ℓv_n, w_n \to \ell \Rightarrow u_n \to \ell.
  • 5
    Croissances comparées : ln⁡n≪nα≪an\ln n \ll n^\alpha \ll a^n (α>0\alpha>0, a>1a>1).

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Chapitre 05

Primitives et Intégration

Théorème fondamental de l'analyse et calcul d'aires

Chapitre 06

Équations Différentielles

Résolution des équations du premier ordre

Chapitre 08

Suites Numériques

Suites récurrentes, convergence et raisonnement par récurrence