MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 01 · Terminale

Limites de suites

Convergence et comportement asymptotique des suites

1Facile

Limite d'une suite rationnelle

Énoncé

Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout entier n≥1n \geq 1 par :
un=3n2+2n−12n2−n+4u_n = \frac{3n^2 + 2n - 1}{2n^2 - n + 4}
1. Montrer que cette expression est une forme indéterminée quand n→+∞n \to +\infty.
2. Calculer lim⁡n→+∞un\lim_{n \to +\infty} u_n.

Correction détaillée

01

Identification de la forme indéterminée

Quand n→+∞n \to +\infty, le numérateur 3n2+2n−1→+∞3n^2 + 2n - 1 \to +\infty et le dénominateur 2n2−n+4→+∞2n^2 - n + 4 \to +\infty. On obtient donc la forme indéterminée +∞+∞\dfrac{+\infty}{+\infty}, qui ne permet pas de conclure directement.
02

Factorisation par le terme dominant $n^2$

On factorise n2n^2 au numérateur et au dénominateur (terme de plus haut degré) :
un=n2 ⁣(3+2n−1n2)n2 ⁣(2−1n+4n2)=3+2n−1n22−1n+4n2u_n = \frac{n^2\!\left(3 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{n^2}\right)}{n^2\!\left(2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{n^2}\right)} = \frac{3 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{n^2}}{2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{n^2}}
03

Application des théorèmes de limite

Quand n→+∞n \to +\infty : 1n→0\dfrac{1}{n} \to 0 et 1n2→0\dfrac{1}{n^2} \to 0. Le dénominateur tend vers 2≠02 \neq 0, donc le théorème du quotient s'applique :
lim⁡n→+∞un=3+0−02−0+0=32\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{3 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \frac{3}{2}
04

Conclusion

La suite (un)(u_n) est convergente. Sa limite est lim⁡n→+∞un=32\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{3}{2}.
2Intermédiaire

Limite par expression conjuguée

Énoncé

Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par un=n+1−nu_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}.
1. Montrer que la limite directe est une forme indéterminée.
2. Calculer lim⁡n→+∞un\lim_{n \to +\infty} u_n en utilisant l'expression conjuguée.

Correction détaillée

01

Forme indéterminée

Quand n→+∞n \to +\infty : n+1→+∞\sqrt{n+1} \to +\infty et n→+∞\sqrt{n} \to +\infty. On a donc une forme indéterminée +∞−(+∞)+\infty - (+\infty). On ne peut pas conclure directement sur le signe ni la valeur.
02

Multiplication par l'expression conjuguée

On multiplie et on divise par n+1+n\sqrt{n+1} + \sqrt{n} (l'expression conjuguée, strictement positive) :
un=(n+1−n)(n+1+n)n+1+n=(n+1)−nn+1+nu_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
03

Simplification du numérateur

Le numérateur vaut (n+1)−n=1(n+1) - n = 1. Ainsi :
un=1n+1+nu_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
Or n+1+n≥n→+∞\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \geq \sqrt{n} \to +\infty quand n→+∞n \to +\infty.
04

Conclusion

Par théorème du quotient (numérateur constant 1, dénominateur →+∞\to +\infty) :
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞1n+1+n=0\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = 0
La suite (un)(u_n) converge vers 0.
3Facile

Limite d'une suite géométrique

Énoncé

Soit la suite géométrique (un)(u_n) de premier terme u0=5u_0 = 5 et de raison q=23q = \dfrac{2}{3}.
1. Écrire l'expression de unu_n en fonction de nn.
2. Étudier la convergence de (un)(u_n) et calculer sa limite.

Correction détaillée

01

Terme général de la suite géométrique

Une suite géométrique de premier terme u0u_0 et de raison qq vérifie un=u0⋅qnu_n = u_0 \cdot q^n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. Ici :
un=5⋅(23)nu_n = 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n
02

Étude de la raison

On a q=23q = \dfrac{2}{3} donc ∣q∣=23<1|q| = \dfrac{2}{3} < 1. D'après le théorème sur les suites géométriques, lorsque ∣q∣<1|q| < 1 :
lim⁡n→+∞qn=0\lim_{n \to +\infty} q^n = 0
03

Calcul de la limite

Par le théorème du produit (constante ×\times suite tendant vers 0) :
lim⁡n→+∞un=5×lim⁡n→+∞(23)n=5×0=0\lim_{n \to +\infty} u_n = 5 \times \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 5 \times 0 = 0
04

Conclusion

La suite (un)=5⋅(23)n(u_n) = 5 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^n est convergente et lim⁡n→+∞un=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0. La suite est aussi strictement décroissante car 0<q<10 < q < 1 et u0>0u_0 > 0.
4Difficile

Suite croissante et majorée : convergence

Énoncé

On définit la suite (un)(u_n) par u0=0u_0 = 0 et un+1=2+unu_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
1. Montrer par récurrence que un≤2u_n \leq 2 pour tout nn.
2. Montrer que (un)(u_n) est croissante.
3. En déduire que (un)(u_n) converge et calculer sa limite.

Correction détaillée

01

Majoration par récurrence : $u_n \leq 2$

Initialisation : u0=0≤2u_0 = 0 \leq 2. ✓
Hérédité : supposons un≤2u_n \leq 2. Alors 2+un≤42 + u_n \leq 4, donc un+1=2+un≤4=2u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \leq \sqrt{4} = 2. ✓
Par le principe de récurrence, un≤2u_n \leq 2 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
02

Monotonie : $(u_n)$ est croissante

Étudions le signe de un+1−un=2+un−unu_{n+1} - u_n = \sqrt{2 + u_n} - u_n. Posons h(x)=2+x−xh(x) = \sqrt{2+x} - x pour x∈[0,2]x \in [0, 2]. On a h′(x)=122+x−1h'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{2+x}} - 1. Pour x≤2x \leq 2 : 2+x≤2\sqrt{2+x} \leq 2 donc 122+x≥14>0\dfrac{1}{2\sqrt{2+x}} \geq \dfrac{1}{4} > 0... mais l'approche directe est plus simple : un+1≥un⇔2+un≥un⇔2+un≥un2u_{n+1} \geq u_n \Leftrightarrow \sqrt{2+u_n} \geq u_n \Leftrightarrow 2 + u_n \geq u_n^2 (pour un≥0u_n \geq 0) ⇔un2−un−2≤0⇔(un−2)(un+1)≤0\Leftrightarrow u_n^2 - u_n - 2 \leq 0 \Leftrightarrow (u_n - 2)(u_n + 1) \leq 0, ce qui est vrai pour un∈[0,2]u_n \in [0, 2].
03

Convergence et calcul de la limite

(un)(u_n) est croissante et majorée par 2 : par le théorème de la limite monotone, elle converge vers une limite ℓ≥0\ell \geq 0. En passant à la limite dans un+1=2+unu_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} :
ℓ=2+ℓ  ⟹  ℓ2=2+ℓ  ⟹  ℓ2−ℓ−2=0  ⟹  (ℓ−2)(ℓ+1)=0\ell = \sqrt{2 + \ell} \implies \ell^2 = 2 + \ell \implies \ell^2 - \ell - 2 = 0 \implies (\ell - 2)(\ell + 1) = 0
04

Conclusion

Les solutions de ℓ2−ℓ−2=0\ell^2 - \ell - 2 = 0 sont ℓ=2\ell = 2 et ℓ=−1\ell = -1. Puisque un≥0u_n \geq 0 pour tout nn, la limite est nécessairement positive. Donc ℓ=2\ell = 2 et :
lim⁡n→+∞un=2\lim_{n \to +\infty} u_n = 2