MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 01 · Terminale

Limites de suites

Convergence et comportement asymptotique des suites

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Travailler Limites de suites en Terminale

Ce chapitre de limites de suites en terminale te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours completVoir le programme du niveauMéthodologie de révision

Prérequis

  • Reprendre les bases de terminale liées à limites de suites.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de limites de suites.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Facile

Limite d'une suite rationnelle

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Énoncé

Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout entier n≥1n \geq 1 par :
un=3n2+2n−12n2−n+4u_n = \frac{3n^2 + 2n - 1}{2n^2 - n + 4}
1. Montrer que cette expression est une forme indéterminée quand n→+∞n \to +\infty.
2. Calculer lim⁡n→+∞un\lim_{n \to +\infty} u_n.

Correction détaillée

01

Identification de la forme indéterminée

Quand n→+∞n \to +\infty, le numérateur 3n2+2n−1→+∞3n^2 + 2n - 1 \to +\infty et le dénominateur 2n2−n+4→+∞2n^2 - n + 4 \to +\infty. On obtient donc la forme indéterminée +∞+∞\dfrac{+\infty}{+\infty}, qui ne permet pas de conclure directement.
02

Factorisation par le terme dominant $n^2$

On factorise n2n^2 au numérateur et au dénominateur (terme de plus haut degré) :
un=n2 ⁣(3+2n−1n2)n2 ⁣(2−1n+4n2)=3+2n−1n22−1n+4n2u_n = \frac{n^2\!\left(3 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{n^2}\right)}{n^2\!\left(2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{n^2}\right)} = \frac{3 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{n^2}}{2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{n^2}}
03

Application des théorèmes de limite

Quand n→+∞n \to +\infty : 1n→0\dfrac{1}{n} \to 0 et 1n2→0\dfrac{1}{n^2} \to 0. Le dénominateur tend vers 2≠02 \neq 0, donc le théorème du quotient s'applique :
lim⁡n→+∞un=3+0−02−0+0=32\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{3 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \frac{3}{2}
04

Conclusion

La suite (un)(u_n) est convergente. Sa limite est lim⁡n→+∞un=32\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{3}{2}.
2Intermédiaire

Limite par expression conjuguée

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Énoncé

Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par un=n+1−nu_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}.
1. Montrer que la limite directe est une forme indéterminée.
2. Calculer lim⁡n→+∞un\lim_{n \to +\infty} u_n en utilisant l'expression conjuguée.

Correction détaillée

01

Forme indéterminée

Quand n→+∞n \to +\infty : n+1→+∞\sqrt{n+1} \to +\infty et n→+∞\sqrt{n} \to +\infty. On a donc une forme indéterminée +∞−(+∞)+\infty - (+\infty). On ne peut pas conclure directement sur le signe ni la valeur.
02

Multiplication par l'expression conjuguée

On multiplie et on divise par n+1+n\sqrt{n+1} + \sqrt{n} (l'expression conjuguée, strictement positive) :
un=(n+1−n)(n+1+n)n+1+n=(n+1)−nn+1+nu_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
03

Simplification du numérateur

Le numérateur vaut (n+1)−n=1(n+1) - n = 1. Ainsi :
un=1n+1+nu_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
Or n+1+n≥n→+∞\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \geq \sqrt{n} \to +\infty quand n→+∞n \to +\infty.
04

Conclusion

Par théorème du quotient (numérateur constant 1, dénominateur →+∞\to +\infty) :
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞1n+1+n=0\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = 0
La suite (un)(u_n) converge vers 0.
3Facile

Limite d'une suite géométrique

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Énoncé

Soit la suite géométrique (un)(u_n) de premier terme u0=5u_0 = 5 et de raison q=23q = \dfrac{2}{3}.
1. Écrire l'expression de unu_n en fonction de nn.
2. Étudier la convergence de (un)(u_n) et calculer sa limite.

Correction détaillée

01

Terme général de la suite géométrique

Une suite géométrique de premier terme u0u_0 et de raison qq vérifie un=u0⋅qnu_n = u_0 \cdot q^n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. Ici :
un=5⋅(23)nu_n = 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n
02

Étude de la raison

On a q=23q = \dfrac{2}{3} donc ∣q∣=23<1|q| = \dfrac{2}{3} < 1. D'après le théorème sur les suites géométriques, lorsque ∣q∣<1|q| < 1 :
lim⁡n→+∞qn=0\lim_{n \to +\infty} q^n = 0
03

Calcul de la limite

Par le théorème du produit (constante ×\times suite tendant vers 0) :
lim⁡n→+∞un=5×lim⁡n→+∞(23)n=5×0=0\lim_{n \to +\infty} u_n = 5 \times \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 5 \times 0 = 0
04

Conclusion

La suite (un)=5⋅(23)n(u_n) = 5 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^n est convergente et lim⁡n→+∞un=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0. La suite est aussi strictement décroissante car 0<q<10 < q < 1 et u0>0u_0 > 0.
4Difficile

Suite croissante et majorée : convergence

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On définit la suite (un)(u_n) par u0=0u_0 = 0 et un+1=2+unu_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
1. Montrer par récurrence que un≤2u_n \leq 2 pour tout nn.
2. Montrer que (un)(u_n) est croissante.
3. En déduire que (un)(u_n) converge et calculer sa limite.

Correction détaillée

01

Majoration par récurrence : $u_n \leq 2$

Initialisation : u0=0≤2u_0 = 0 \leq 2. ✓
Hérédité : supposons un≤2u_n \leq 2. Alors 2+un≤42 + u_n \leq 4, donc un+1=2+un≤4=2u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \leq \sqrt{4} = 2. ✓
Par le principe de récurrence, un≤2u_n \leq 2 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
02

Monotonie : $(u_n)$ est croissante

Étudions le signe de un+1−un=2+un−unu_{n+1} - u_n = \sqrt{2 + u_n} - u_n. Posons h(x)=2+x−xh(x) = \sqrt{2+x} - x pour x∈[0,2]x \in [0, 2]. On a h′(x)=122+x−1h'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{2+x}} - 1. Pour x≤2x \leq 2 : 2+x≤2\sqrt{2+x} \leq 2 donc 122+x≥14>0\dfrac{1}{2\sqrt{2+x}} \geq \dfrac{1}{4} > 0... mais l'approche directe est plus simple : un+1≥un⇔2+un≥un⇔2+un≥un2u_{n+1} \geq u_n \Leftrightarrow \sqrt{2+u_n} \geq u_n \Leftrightarrow 2 + u_n \geq u_n^2 (pour un≥0u_n \geq 0) ⇔un2−un−2≤0⇔(un−2)(un+1)≤0\Leftrightarrow u_n^2 - u_n - 2 \leq 0 \Leftrightarrow (u_n - 2)(u_n + 1) \leq 0, ce qui est vrai pour un∈[0,2]u_n \in [0, 2].
03

Convergence et calcul de la limite

(un)(u_n) est croissante et majorée par 2 : par le théorème de la limite monotone, elle converge vers une limite ℓ≥0\ell \geq 0. En passant à la limite dans un+1=2+unu_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} :
ℓ=2+ℓ  ⟹  ℓ2=2+ℓ  ⟹  ℓ2−ℓ−2=0  ⟹  (ℓ−2)(ℓ+1)=0\ell = \sqrt{2 + \ell} \implies \ell^2 = 2 + \ell \implies \ell^2 - \ell - 2 = 0 \implies (\ell - 2)(\ell + 1) = 0
04

Conclusion

Les solutions de ℓ2−ℓ−2=0\ell^2 - \ell - 2 = 0 sont ℓ=2\ell = 2 et ℓ=−1\ell = -1. Puisque un≥0u_n \geq 0 pour tout nn, la limite est nécessairement positive. Donc ℓ=2\ell = 2 et :
lim⁡n→+∞un=2\lim_{n \to +\infty} u_n = 2
5Facile

Limite d'une suite rationnelle — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout entier n≥2n \geq 2 par :
un=5n4+4n−24n4−n+5u_n = \frac{5n^4 + 4n - 2}{4n^4 - n + 5}
1. Montrer que cette expression est une forme indéterminée quand n→+∞n \to +\infty.
2. Calculer lim⁡n→+∞un\lim_{n \to +\infty} u_n.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Identification de la forme indéterminée

Quand n→+∞n \to +\infty, le numérateur 4n4+4n−3→+∞4n^4 + 4n - 3 \to +\infty et le dénominateur 4n4−n+5→+∞4n^4 - n + 5 \to +\infty. On obtient donc la forme indéterminée +∞+∞\dfrac{+\infty}{+\infty}, qui ne permet pas de conclure directement.
03

Factorisation par le terme dominant $n^3$

On factorise n3n^3 au numérateur et au dénominateur (terme de plus haut degré) :
un=n3 ⁣(5+3n−3n3)n3 ⁣(3−3n+5n3)=5+3n−3n33−3n+5n3u_n = \frac{n^3\!\left(5 + \dfrac{3}{n} - \dfrac{3}{n^3}\right)}{n^3\!\left(3 - \dfrac{3}{n} + \dfrac{5}{n^3}\right)} = \frac{5 + \dfrac{3}{n} - \dfrac{3}{n^3}}{3 - \dfrac{3}{n} + \dfrac{5}{n^3}}
04

Application des théorèmes de limite

Quand n→+∞n \to +\infty : 2n→2\dfrac{2}{n} \to 2 et 2n4→2\dfrac{2}{n^4} \to 2. Le dénominateur tend vers 4≠24 \neq 2, donc le théorème du quotient s'applique :
lim⁡n→+∞un=4+2−24−2+2=44\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{4 + 2 - 2}{4 - 2 + 2} = \frac{4}{4}
05

Conclusion

La suite (un)(u_n) est convergente. Sa limite est lim⁡n→+∞un=44\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{4}{4}.
6Intermédiaire

Limite par expression conjuguée — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par un=n3−nu_n = \sqrt{n3} - \sqrt{n}.
1. Montrer que la limite directe est une forme indéterminée.
2. Calculer lim⁡n→+∞un\lim_{n \to +\infty} u_n en utilisant l'expression conjuguée.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Forme indéterminée

Quand n→+∞n \to +\infty : n3→+∞\sqrt{n3} \to +\infty et n→+∞\sqrt{n} \to +\infty. On a donc une forme indéterminée +∞−(+∞)+\infty - (+\infty). On ne peut pas conclure directement sur le signe ni la valeur.
03

Multiplication par l'expression conjuguée

On multiplie et on divise par n3+n\sqrt{n3} + \sqrt{n} (l'expression conjuguée, strictement positive) :
un=(n3−n)(n3+n)n3+n=(n3)−nn3+nu_n = \frac{(\sqrt{n3} - \sqrt{n})(\sqrt{n3} + \sqrt{n})}{\sqrt{n3} + \sqrt{n}} = \frac{(n3) - n}{\sqrt{n3} + \sqrt{n}}
04

Simplification du numérateur

Le numérateur vaut (n3)−n=2(n3) - n = 2. Ainsi :
un=2n3+nu_n = \frac{2}{\sqrt{n3} + \sqrt{n}}
Or n3+n≥n→+∞\sqrt{n3} + \sqrt{n} \geq \sqrt{n} \to +\infty quand n→+∞n \to +\infty.
05

Conclusion

Par théorème du quotient (numérateur constant 3, dénominateur →+∞\to +\infty) :
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞3n2+n=1\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{3}{\sqrt{n2}+\sqrt{n}} = 1
La suite (un)(u_n) converge vers 1.
7Facile

Limite d'une suite géométrique — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit la suite géométrique (un)(u_n) de premier terme u2=7u_2 = 7 et de raison q=45q = \dfrac{4}{5}.
1. Écrire l'expression de unu_n en fonction de nn.
2. Étudier la convergence de (un)(u_n) et calculer sa limite.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Terme général de la suite géométrique

Une suite géométrique de premier terme u2u_2 et de raison qq vérifie un=u2⋅qnu_n = u_2 \cdot q^n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. Ici :
un=7⋅(45)nu_n = 7 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^n
03

Étude de la raison

On a q=45q = \dfrac{4}{5} donc ∣q∣=45<3|q| = \dfrac{4}{5} < 3. D'après le théorème sur les suites géométriques, lorsque ∣q∣<3|q| < 3 :
lim⁡n→+∞qn=2\lim_{n \to +\infty} q^n = 2
04

Calcul de la limite

Par le théorème du produit (constante ×\times suite tendant vers 2) :
lim⁡n→+∞un=7×lim⁡n→+∞(45)n=7×2=2\lim_{n \to +\infty} u_n = 7 \times \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{4}{5}\right)^n = 7 \times 2 = 2
05

Conclusion

La suite (un)=7⋅(45)n(u_n) = 7 \cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^n est convergente et lim⁡n→+∞un=2\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 2. La suite est aussi strictement décroissante car 2<q<22 < q < 2 et u2>2u_2 > 2.
8Difficile

Suite croissante et majorée : convergence — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On définit la suite (un)(u_n) par u1=1u_1 = 1 et un3=4+unu_{n3} = \sqrt{4 + u_n} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
1. Montrer par récurrence que un≤4u_n \leq 4 pour tout nn.
2. Montrer que (un)(u_n) est croissante.
3. En déduire que (un)(u_n) converge et calculer sa limite.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Majoration par récurrence : $u_n \leq 3$

Initialisation : u1=1≤4u_1 = 1 \leq 4. ✓
Hérédité : supposons un≤4u_n \leq 4. Alors 4+un≤64 + u_n \leq 6, donc un3=4+un≤6=4u_{n3} = \sqrt{4 + u_n} \leq \sqrt{6} = 4. ✓
Par le principe de récurrence, un≤4u_n \leq 4 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
03

Monotonie : $(u_n)$ est croissante

Étudions le signe de un2−un=4+un−unu_{n2} - u_n = \sqrt{4 + u_n} - u_n. Posons h(x)=4+x−xh(x) = \sqrt{4+x} - x pour x∈[2,4]x \in [2, 4]. On a h′(x)=344+x−3h'(x) = \dfrac{3}{4\sqrt{4+x}} - 3. Pour x≤4x \leq 4 : 4+x≤4\sqrt{4+x} \leq 4 donc 344+x≥36>2\dfrac{3}{4\sqrt{4+x}} \geq \dfrac{3}{6} > 2... mais l'approche directe est plus simple : un2≥un⇔4+un≥un⇔4+un≥un4u_{n2} \geq u_n \Leftrightarrow \sqrt{4+u_n} \geq u_n \Leftrightarrow 4 + u_n \geq u_n^4 (pour un≥2u_n \geq 2) ⇔un4−un−4≤2⇔(un−4)(un+3)≤2\Leftrightarrow u_n^4 - u_n - 4 \leq 2 \Leftrightarrow (u_n - 4)(u_n + 3) \leq 2, ce qui est vrai pour un∈[2,4]u_n \in [2, 4].
04

Convergence et calcul de la limite

(un)(u_n) est croissante et majorée par 3 : par le théorème de la limite monotone, elle converge vers une limite ℓ≥2\ell \geq 2. En passant à la limite dans un3=3+unu_{n3} = \sqrt{3 + u_n} :
ℓ=3+ℓ  ⟹  ℓ3=3+ℓ  ⟹  ℓ3−ℓ−3=2  ⟹  (ℓ−3)(ℓ+3)=2\ell = \sqrt{3 + \ell} \implies \ell^3 = 3 + \ell \implies \ell^3 - \ell - 3 = 2 \implies (\ell - 3)(\ell + 3) = 2
05

Conclusion

Les solutions de ℓ3−ℓ−3=2\ell^3 - \ell - 3 = 2 sont ℓ=3\ell = 3 et ℓ=−3\ell = -3. Puisque un≥2u_n \geq 2 pour tout nn, la limite est nécessairement positive. Donc ℓ=3\ell = 3 et :
lim⁡n→+∞un=3\lim_{n \to +\infty} u_n = 3
9Facile

Limite d'une suite rationnelle — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout entier n≥2n \geq 2 par :
un=5n3+3n−23n3−n+6u_n = \frac{5n^3 + 3n - 2}{3n^3 - n + 6}
1. Montrer que cette expression est une forme indéterminée quand n→+∞n \to +\infty.
2. Calculer lim⁡n→+∞un\lim_{n \to +\infty} u_n.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Identification de la forme indéterminée

Quand n→+∞n \to +\infty, le numérateur 4n4+4n−2→+∞4n^4 + 4n - 2 \to +\infty et le dénominateur 4n4−n+6→+∞4n^4 - n + 6 \to +\infty. On obtient donc la forme indéterminée +∞+∞\dfrac{+\infty}{+\infty}, qui ne permet pas de conclure directement.
03

Factorisation par le terme dominant $n^3$

On factorise n3n^3 au numérateur et au dénominateur (terme de plus haut degré) :
un=n3 ⁣(5+3n−2n3)n3 ⁣(3−2n+6n3)=5+3n−2n33−2n+6n3u_n = \frac{n^3\!\left(5 + \dfrac{3}{n} - \dfrac{2}{n^3}\right)}{n^3\!\left(3 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{6}{n^3}\right)} = \frac{5 + \dfrac{3}{n} - \dfrac{2}{n^3}}{3 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{6}{n^3}}
04

Application des théorèmes de limite

Quand n→+∞n \to +\infty : 2n→2\dfrac{2}{n} \to 2 et 2n3→2\dfrac{2}{n^3} \to 2. Le dénominateur tend vers 3≠23 \neq 2, donc le théorème du quotient s'applique :
lim⁡n→+∞un=5+2−23−2+2=53\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{5 + 2 - 2}{3 - 2 + 2} = \frac{5}{3}
05

Conclusion

La suite (un)(u_n) est convergente. Sa limite est lim⁡n→+∞un=44\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{4}{4}.
10Intermédiaire

Limite par expression conjuguée — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par un=n2−nu_n = \sqrt{n2} - \sqrt{n}.
1. Montrer que la limite directe est une forme indéterminée.
2. Calculer lim⁡n→+∞un\lim_{n \to +\infty} u_n en utilisant l'expression conjuguée.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Forme indéterminée

Quand n→+∞n \to +\infty : n2→+∞\sqrt{n2} \to +\infty et n→+∞\sqrt{n} \to +\infty. On a donc une forme indéterminée +∞−(+∞)+\infty - (+\infty). On ne peut pas conclure directement sur le signe ni la valeur.
03

Multiplication par l'expression conjuguée

On multiplie et on divise par n2+n\sqrt{n2} + \sqrt{n} (l'expression conjuguée, strictement positive) :
un=(n2−n)(n2+n)n2+n=(n2)−nn2+nu_n = \frac{(\sqrt{n2} - \sqrt{n})(\sqrt{n2} + \sqrt{n})}{\sqrt{n2} + \sqrt{n}} = \frac{(n2) - n}{\sqrt{n2} + \sqrt{n}}
04

Simplification du numérateur

Le numérateur vaut (n2)−n=3(n2) - n = 3. Ainsi :
un=3n2+nu_n = \frac{3}{\sqrt{n2} + \sqrt{n}}
Or n2+n≥n→+∞\sqrt{n2} + \sqrt{n} \geq \sqrt{n} \to +\infty quand n→+∞n \to +\infty.
05

Conclusion

Par théorème du quotient (numérateur constant 2, dénominateur →+∞\to +\infty) :
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞2n3+n=1\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{n3}+\sqrt{n}} = 1
La suite (un)(u_n) converge vers 1.
11Facile

Limite d'une suite géométrique — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit la suite géométrique (un)(u_n) de premier terme u2=6u_2 = 6 et de raison q=35q = \dfrac{3}{5}.
1. Écrire l'expression de unu_n en fonction de nn.
2. Étudier la convergence de (un)(u_n) et calculer sa limite.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Terme général de la suite géométrique

Une suite géométrique de premier terme u2u_2 et de raison qq vérifie un=u2⋅qnu_n = u_2 \cdot q^n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. Ici :
un=6⋅(35)nu_n = 6 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^n
03

Étude de la raison

On a q=44q = \dfrac{4}{4} donc ∣q∣=44<2|q| = \dfrac{4}{4} < 2. D'après le théorème sur les suites géométriques, lorsque ∣q∣<2|q| < 2 :
lim⁡n→+∞qn=2\lim_{n \to +\infty} q^n = 2
04

Calcul de la limite

Par le théorème du produit (constante ×\times suite tendant vers 2) :
lim⁡n→+∞un=6×lim⁡n→+∞(35)n=6×2=2\lim_{n \to +\infty} u_n = 6 \times \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n = 6 \times 2 = 2
05

Conclusion

La suite (un)=7⋅(34)n(u_n) = 7 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^n est convergente et lim⁡n→+∞un=2\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 2. La suite est aussi strictement décroissante car 2<q<22 < q < 2 et u2>2u_2 > 2.
12Difficile

Suite croissante et majorée : convergence — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On définit la suite (un)(u_n) par u2=2u_2 = 2 et un3=3+unu_{n3} = \sqrt{3 + u_n} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
1. Montrer par récurrence que un≤3u_n \leq 3 pour tout nn.
2. Montrer que (un)(u_n) est croissante.
3. En déduire que (un)(u_n) converge et calculer sa limite.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Majoration par récurrence : $u_n \leq 4$

Initialisation : u2=2≤4u_2 = 2 \leq 4. ✓
Hérédité : supposons un≤4u_n \leq 4. Alors 4+un≤54 + u_n \leq 5, donc un2=4+un≤5=4u_{n2} = \sqrt{4 + u_n} \leq \sqrt{5} = 4. ✓
Par le principe de récurrence, un≤4u_n \leq 4 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
03

Monotonie : $(u_n)$ est croissante

Étudions le signe de un3−un=4+un−unu_{n3} - u_n = \sqrt{4 + u_n} - u_n. Posons h(x)=4+x−xh(x) = \sqrt{4+x} - x pour x∈[1,4]x \in [1, 4]. On a h′(x)=244+x−2h'(x) = \dfrac{2}{4\sqrt{4+x}} - 2. Pour x≤4x \leq 4 : 4+x≤4\sqrt{4+x} \leq 4 donc 244+x≥25>1\dfrac{2}{4\sqrt{4+x}} \geq \dfrac{2}{5} > 1... mais l'approche directe est plus simple : un3≥un⇔4+un≥un⇔4+un≥un4u_{n3} \geq u_n \Leftrightarrow \sqrt{4+u_n} \geq u_n \Leftrightarrow 4 + u_n \geq u_n^4 (pour un≥1u_n \geq 1) ⇔un4−un−4≤1⇔(un−4)(un+2)≤1\Leftrightarrow u_n^4 - u_n - 4 \leq 1 \Leftrightarrow (u_n - 4)(u_n + 2) \leq 1, ce qui est vrai pour un∈[1,4]u_n \in [1, 4].
04

Convergence et calcul de la limite

(un)(u_n) est croissante et majorée par 4 : par le théorème de la limite monotone, elle converge vers une limite ℓ≥2\ell \geq 2. En passant à la limite dans un2=4+unu_{n2} = \sqrt{4 + u_n} :
ℓ=4+ℓ  ⟹  ℓ4=4+ℓ  ⟹  ℓ4−ℓ−4=2  ⟹  (ℓ−4)(ℓ+2)=2\ell = \sqrt{4 + \ell} \implies \ell^4 = 4 + \ell \implies \ell^4 - \ell - 4 = 2 \implies (\ell - 4)(\ell + 2) = 2
05

Conclusion

Les solutions de ℓ4−ℓ−4=2\ell^4 - \ell - 4 = 2 sont ℓ=4\ell = 4 et ℓ=−2\ell = -2. Puisque un≥2u_n \geq 2 pour tout nn, la limite est nécessairement positive. Donc ℓ=4\ell = 4 et :
lim⁡n→+∞un=4\lim_{n \to +\infty} u_n = 4
13Facile

Limite d'une suite rationnelle — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout entier n≥3n \geq 3 par :
un=5n3+3n−33n3−n+5u_n = \frac{5n^3 + 3n - 3}{3n^3 - n + 5}
1. Montrer que cette expression est une forme indéterminée quand n→+∞n \to +\infty.
2. Calculer lim⁡n→+∞un\lim_{n \to +\infty} u_n.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Identification de la forme indéterminée

Quand n→+∞n \to +\infty, le numérateur 5n4+4n−2→+∞5n^4 + 4n - 2 \to +\infty et le dénominateur 4n4−n+5→+∞4n^4 - n + 5 \to +\infty. On obtient donc la forme indéterminée +∞+∞\dfrac{+\infty}{+\infty}, qui ne permet pas de conclure directement.
03

Factorisation par le terme dominant $n^4$

On factorise n4n^4 au numérateur et au dénominateur (terme de plus haut degré) :
un=n4 ⁣(5+4n−2n4)n4 ⁣(4−2n+5n4)=5+4n−2n44−2n+5n4u_n = \frac{n^4\!\left(5 + \dfrac{4}{n} - \dfrac{2}{n^4}\right)}{n^4\!\left(4 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{5}{n^4}\right)} = \frac{5 + \dfrac{4}{n} - \dfrac{2}{n^4}}{4 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{5}{n^4}}
04

Application des théorèmes de limite

Quand n→+∞n \to +\infty : 3n→2\dfrac{3}{n} \to 2 et 3n3→2\dfrac{3}{n^3} \to 2. Le dénominateur tend vers 3≠23 \neq 2, donc le théorème du quotient s'applique :
lim⁡n→+∞un=4+2−23−2+2=43\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{4 + 2 - 2}{3 - 2 + 2} = \frac{4}{3}
05

Conclusion

La suite (un)(u_n) est convergente. Sa limite est lim⁡n→+∞un=54\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{5}{4}.
14Intermédiaire

Limite par expression conjuguée — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par un=n2−nu_n = \sqrt{n2} - \sqrt{n}.
1. Montrer que la limite directe est une forme indéterminée.
2. Calculer lim⁡n→+∞un\lim_{n \to +\infty} u_n en utilisant l'expression conjuguée.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Forme indéterminée

Quand n→+∞n \to +\infty : n2→+∞\sqrt{n2} \to +\infty et n→+∞\sqrt{n} \to +\infty. On a donc une forme indéterminée +∞−(+∞)+\infty - (+\infty). On ne peut pas conclure directement sur le signe ni la valeur.
03

Multiplication par l'expression conjuguée

On multiplie et on divise par n2+n\sqrt{n2} + \sqrt{n} (l'expression conjuguée, strictement positive) :
un=(n2−n)(n2+n)n2+n=(n2)−nn2+nu_n = \frac{(\sqrt{n2} - \sqrt{n})(\sqrt{n2} + \sqrt{n})}{\sqrt{n2} + \sqrt{n}} = \frac{(n2) - n}{\sqrt{n2} + \sqrt{n}}
04

Simplification du numérateur

Le numérateur vaut (n2)−n=2(n2) - n = 2. Ainsi :
un=2n2+nu_n = \frac{2}{\sqrt{n2} + \sqrt{n}}
Or n2+n≥n→+∞\sqrt{n2} + \sqrt{n} \geq \sqrt{n} \to +\infty quand n→+∞n \to +\infty.
05

Conclusion

Par théorème du quotient (numérateur constant 2, dénominateur →+∞\to +\infty) :
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞2n2+n=1\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{n2}+\sqrt{n}} = 1
La suite (un)(u_n) converge vers 1.
15Facile

Limite d'une suite géométrique — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit la suite géométrique (un)(u_n) de premier terme u1=6u_1 = 6 et de raison q=44q = \dfrac{4}{4}.
1. Écrire l'expression de unu_n en fonction de nn.
2. Étudier la convergence de (un)(u_n) et calculer sa limite.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Terme général de la suite géométrique

Une suite géométrique de premier terme u1u_1 et de raison qq vérifie un=u1⋅qnu_n = u_1 \cdot q^n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. Ici :
un=6⋅(44)nu_n = 6 \cdot \left(\frac{4}{4}\right)^n
03

Étude de la raison

On a q=34q = \dfrac{3}{4} donc ∣q∣=34<3|q| = \dfrac{3}{4} < 3. D'après le théorème sur les suites géométriques, lorsque ∣q∣<3|q| < 3 :
lim⁡n→+∞qn=1\lim_{n \to +\infty} q^n = 1
04

Calcul de la limite

Par le théorème du produit (constante ×\times suite tendant vers 1) :
lim⁡n→+∞un=6×lim⁡n→+∞(44)n=6×1=1\lim_{n \to +\infty} u_n = 6 \times \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{4}{4}\right)^n = 6 \times 1 = 1
05

Conclusion

La suite (un)=6⋅(35)n(u_n) = 6 \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^n est convergente et lim⁡n→+∞un=1\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 1. La suite est aussi strictement décroissante car 1<q<31 < q < 3 et u1>1u_1 > 1.

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

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Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 05

Primitives et Intégration

Théorème fondamental de l'analyse et calcul d'aires

Chapitre 06

Équations Différentielles

Résolution des équations du premier ordre

Chapitre 08

Suites Numériques

Suites récurrentes, convergence et raisonnement par récurrence