MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 02 · Terminale

Limites de fonctions

Asymptotes, formes indéterminées et branches infinies

1Facile

Lever une forme indéterminée en un point

Énoncé

Soit f(x)=x2−9x−3f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}.
1. Justifier que ff n'est pas définie en x=3x = 3.
2. Calculer lim⁡x→3f(x)\lim_{x \to 3} f(x) en levant la forme indéterminée.

Correction détaillée

01

Constat de la forme indéterminée

En x=3x = 3 : numérateur =9−9=0= 9 - 9 = 0 et dénominateur =3−3=0= 3 - 3 = 0. La fonction ff n'est pas définie en 33 et on a la forme indéterminée 00\dfrac{0}{0}.
02

Factorisation du numérateur

On reconnaît une identité remarquable : x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x-3)(x+3). Donc pour x≠3x \neq 3 :
f(x)=(x−3)(x+3)x−3=x+3f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3
03

Calcul de la limite

La fonction x↦x+3x \mapsto x + 3 est continue en x=3x = 3. On peut donc calculer :
lim⁡x→3f(x)=lim⁡x→3(x+3)=3+3=6\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3}(x+3) = 3 + 3 = 6
04

Interprétation géométrique

La courbe de ff admet un trou (point exclus) en (3,6)(3, 6). En complétant ff par f(3)=6f(3) = 6, on obtiendrait une fonction continue — la droite y=x+3y = x + 3 privée du point (3,6)(3, 6).
2Intermédiaire

Asymptote oblique à l'infini

Énoncé

Soit f(x)=2x2−3x+1x−1f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}.
1. Déterminer le domaine de définition de ff.
2. Montrer que la courbe de ff admet une asymptote oblique en +∞+\infty et en −∞-\infty. En donner l'équation.

Correction détaillée

01

Domaine de définition

La fonction ff est définie pour x−1≠0x - 1 \neq 0, soit x≠1x \neq 1. Le domaine est Df=R∖{1}D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}. De plus, lim⁡x→1f(x)=±∞\lim_{x \to 1} f(x) = \pm\infty : la droite x=1x = 1 est une asymptote verticale.
02

Division euclidienne

On effectue la division de 2x2−3x+12x^2 - 3x + 1 par x−1x - 1 :
2x2−3x+1=(x−1)(2x−1)+02x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x - 1) + 0
En effet : (x−1)(2x−1)=2x2−x−2x+1=2x2−3x+1(x-1)(2x-1) = 2x^2 - x - 2x + 1 = 2x^2 - 3x + 1. Donc :
f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1
03

Asymptote oblique

Puisque f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 pour tout x≠1x \neq 1, la courbe de ff coïncide avec la droite y=2x−1y = 2x - 1 privée du point d'abscisse 11. La droite y=2x−1y = 2x - 1 est donc asymptote (en fait confondue) en ±∞\pm\infty.
04

Conclusion

La courbe de ff admet :
- Une asymptote verticale : x=1x = 1
- Une asymptote oblique (et confondue) : y=2x−1y = 2x - 1
La courbe est la droite y=2x−1y = 2x - 1 à laquelle on retire le point d'abscisse x=1x = 1.
3Facile

Limite en $+\infty$ et asymptote horizontale

Énoncé

Soit f(x)=5x−3x+2f(x) = \dfrac{5x - 3}{x + 2} définie sur R∖{−2}\mathbb{R} \setminus \{-2\}.
1. Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).
2. En déduire une asymptote horizontale à la courbe de ff en +∞+\infty.

Correction détaillée

01

Identification de la forme indéterminée

Quand x→+∞x \to +\infty, numérateur →+∞\to +\infty et dénominateur →+∞\to +\infty. On a une forme +∞+∞\dfrac{+\infty}{+\infty}. On factorise par xx.
02

Factorisation par $x$

Pour x≠0x \neq 0 :
f(x)=x(5−3x)x(1+2x)=5−3x1+2xf(x) = \frac{x\left(5 - \dfrac{3}{x}\right)}{x\left(1 + \dfrac{2}{x}\right)} = \frac{5 - \dfrac{3}{x}}{1 + \dfrac{2}{x}}
03

Passage à la limite

Quand x→+∞x \to +\infty, 3x→0\dfrac{3}{x} \to 0 et 2x→0\dfrac{2}{x} \to 0. Le dénominateur tend vers 1≠01 \neq 0, donc :
lim⁡x→+∞f(x)=5−01+0=5\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{5 - 0}{1 + 0} = 5
04

Conclusion et asymptote

lim⁡x→+∞f(x)=5\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5 : la droite y=5y = 5 est une asymptote horizontale à la courbe de ff en +∞+\infty. De même, lim⁡x→−∞f(x)=5\lim_{x \to -\infty} f(x) = 5 (même calcul), donc y=5y = 5 est aussi asymptote en −∞-\infty.
4Intermédiaire

Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ en factorisant

Énoncé

Calculer les limites suivantes en levant les formes indéterminées :
1. lim⁡x→−1x3+1x+1\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1}
2. lim⁡x→2x2−3x+2x2−4\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4}

Correction détaillée

01

Analyse des formes indéterminées

Pour la limite 1 : en x=−1x = -1, numérateur =(−1)3+1=0= (-1)^3 + 1 = 0 et dénominateur =0= 0. Forme 00\dfrac{0}{0}.
Pour la limite 2 : en x=2x = 2, numérateur =4−6+2=0= 4 - 6 + 2 = 0 et dénominateur =4−4=0= 4 - 4 = 0. Forme 00\dfrac{0}{0}.
02

Limite 1 : factorisation par la somme de cubes

On utilise l'identité a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) avec a=xa = x et b=1b = 1 :
x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)
Donc pour x≠−1x \neq -1 : x3+1x+1=x2−x+1\dfrac{x^3+1}{x+1} = x^2 - x + 1, et :
lim⁡x→−1x3+1x+1=(−1)2−(−1)+1=1+1+1=3\lim_{x \to -1}\frac{x^3+1}{x+1} = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
03

Limite 2 : factorisation du numérateur et dénominateur

Numérateur : x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2).
Dénominateur : x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2).
Pour x≠2x \neq 2 :
x2−3x+2x2−4=(x−1)(x−2)(x−2)(x+2)=x−1x+2\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-1}{x+2}
lim⁡x→2x2−3x+2x2−4=2−12+2=14\lim_{x \to 2}\frac{x^2-3x+2}{x^2-4} = \frac{2-1}{2+2} = \frac{1}{4}
04

Conclusion

Les deux limites sont :
lim⁡x→−1x3+1x+1=3etlim⁡x→2x2−3x+2x2−4=14\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1} = 3 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4} = \frac{1}{4}
Dans les deux cas, la factorisation permet de simplifier le facteur commun responsable de la forme 00\dfrac{0}{0}.