MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 02 · Terminale

Limites de fonctions

Asymptotes, formes indéterminées et branches infinies

📖 Voir le cours

Réviser efficacement

Travailler Limites de fonctions en Terminale

Ce chapitre de limites de fonctions en terminale te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours completVoir le programme du niveauMéthodologie de révision

Prérequis

  • Relier expression, tableau et lecture graphique.
  • Identifier le type de question: image, antécédent, signe ou variation.

Compétences à maîtriser

  • Lire et exploiter une fonction dans plusieurs représentations.
  • Rédiger une conclusion claire à partir d’un tableau ou d’un calcul.

Erreurs fréquentes

  • Confondre image et antécédent.
  • Conclure sans citer le signe ou le tableau étudié.

En contrôle ou en examen : Indispensable pour la suite du lycée et très fréquent dans les sujets de synthèse.

1Facile

Lever une forme indéterminée en un point

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Soit f(x)=x2−9x−3f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}.
1. Justifier que ff n'est pas définie en x=3x = 3.
2. Calculer lim⁡x→3f(x)\lim_{x \to 3} f(x) en levant la forme indéterminée.

Correction détaillée

01

Constat de la forme indéterminée

En x=3x = 3 : numérateur =9−9=0= 9 - 9 = 0 et dénominateur =3−3=0= 3 - 3 = 0. La fonction ff n'est pas définie en 33 et on a la forme indéterminée 00\dfrac{0}{0}.
02

Factorisation du numérateur

On reconnaît une identité remarquable : x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x-3)(x+3). Donc pour x≠3x \neq 3 :
f(x)=(x−3)(x+3)x−3=x+3f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3
03

Calcul de la limite

La fonction x↦x+3x \mapsto x + 3 est continue en x=3x = 3. On peut donc calculer :
lim⁡x→3f(x)=lim⁡x→3(x+3)=3+3=6\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3}(x+3) = 3 + 3 = 6
04

Interprétation géométrique

La courbe de ff admet un trou (point exclus) en (3,6)(3, 6). En complétant ff par f(3)=6f(3) = 6, on obtiendrait une fonction continue — la droite y=x+3y = x + 3 privée du point (3,6)(3, 6).
2Intermédiaire

Asymptote oblique à l'infini

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Soit f(x)=2x2−3x+1x−1f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}.
1. Déterminer le domaine de définition de ff.
2. Montrer que la courbe de ff admet une asymptote oblique en +∞+\infty et en −∞-\infty. En donner l'équation.

Correction détaillée

01

Domaine de définition

La fonction ff est définie pour x−1≠0x - 1 \neq 0, soit x≠1x \neq 1. Le domaine est Df=R∖{1}D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}. De plus, lim⁡x→1f(x)=±∞\lim_{x \to 1} f(x) = \pm\infty : la droite x=1x = 1 est une asymptote verticale.
02

Division euclidienne

On effectue la division de 2x2−3x+12x^2 - 3x + 1 par x−1x - 1 :
2x2−3x+1=(x−1)(2x−1)+02x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x - 1) + 0
En effet : (x−1)(2x−1)=2x2−x−2x+1=2x2−3x+1(x-1)(2x-1) = 2x^2 - x - 2x + 1 = 2x^2 - 3x + 1. Donc :
f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1
03

Asymptote oblique

Puisque f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 pour tout x≠1x \neq 1, la courbe de ff coïncide avec la droite y=2x−1y = 2x - 1 privée du point d'abscisse 11. La droite y=2x−1y = 2x - 1 est donc asymptote (en fait confondue) en ±∞\pm\infty.
04

Conclusion

La courbe de ff admet :
- Une asymptote verticale : x=1x = 1
- Une asymptote oblique (et confondue) : y=2x−1y = 2x - 1
La courbe est la droite y=2x−1y = 2x - 1 à laquelle on retire le point d'abscisse x=1x = 1.
3Facile

Limite en $+\infty$ et asymptote horizontale

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Soit f(x)=5x−3x+2f(x) = \dfrac{5x - 3}{x + 2} définie sur R∖{−2}\mathbb{R} \setminus \{-2\}.
1. Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).
2. En déduire une asymptote horizontale à la courbe de ff en +∞+\infty.

Correction détaillée

01

Identification de la forme indéterminée

Quand x→+∞x \to +\infty, numérateur →+∞\to +\infty et dénominateur →+∞\to +\infty. On a une forme +∞+∞\dfrac{+\infty}{+\infty}. On factorise par xx.
02

Factorisation par $x$

Pour x≠0x \neq 0 :
f(x)=x(5−3x)x(1+2x)=5−3x1+2xf(x) = \frac{x\left(5 - \dfrac{3}{x}\right)}{x\left(1 + \dfrac{2}{x}\right)} = \frac{5 - \dfrac{3}{x}}{1 + \dfrac{2}{x}}
03

Passage à la limite

Quand x→+∞x \to +\infty, 3x→0\dfrac{3}{x} \to 0 et 2x→0\dfrac{2}{x} \to 0. Le dénominateur tend vers 1≠01 \neq 0, donc :
lim⁡x→+∞f(x)=5−01+0=5\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{5 - 0}{1 + 0} = 5
04

Conclusion et asymptote

lim⁡x→+∞f(x)=5\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5 : la droite y=5y = 5 est une asymptote horizontale à la courbe de ff en +∞+\infty. De même, lim⁡x→−∞f(x)=5\lim_{x \to -\infty} f(x) = 5 (même calcul), donc y=5y = 5 est aussi asymptote en −∞-\infty.
4Intermédiaire

Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ en factorisant

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Calculer les limites suivantes en levant les formes indéterminées :
1. lim⁡x→−1x3+1x+1\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1}
2. lim⁡x→2x2−3x+2x2−4\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4}

Correction détaillée

01

Analyse des formes indéterminées

Pour la limite 1 : en x=−1x = -1, numérateur =(−1)3+1=0= (-1)^3 + 1 = 0 et dénominateur =0= 0. Forme 00\dfrac{0}{0}.
Pour la limite 2 : en x=2x = 2, numérateur =4−6+2=0= 4 - 6 + 2 = 0 et dénominateur =4−4=0= 4 - 4 = 0. Forme 00\dfrac{0}{0}.
02

Limite 1 : factorisation par la somme de cubes

On utilise l'identité a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) avec a=xa = x et b=1b = 1 :
x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)
Donc pour x≠−1x \neq -1 : x3+1x+1=x2−x+1\dfrac{x^3+1}{x+1} = x^2 - x + 1, et :
lim⁡x→−1x3+1x+1=(−1)2−(−1)+1=1+1+1=3\lim_{x \to -1}\frac{x^3+1}{x+1} = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
03

Limite 2 : factorisation du numérateur et dénominateur

Numérateur : x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2).
Dénominateur : x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2).
Pour x≠2x \neq 2 :
x2−3x+2x2−4=(x−1)(x−2)(x−2)(x+2)=x−1x+2\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-1}{x+2}
lim⁡x→2x2−3x+2x2−4=2−12+2=14\lim_{x \to 2}\frac{x^2-3x+2}{x^2-4} = \frac{2-1}{2+2} = \frac{1}{4}
04

Conclusion

Les deux limites sont :
lim⁡x→−1x3+1x+1=3etlim⁡x→2x2−3x+2x2−4=14\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1} = 3 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4} = \frac{1}{4}
Dans les deux cas, la factorisation permet de simplifier le facteur commun responsable de la forme 00\dfrac{0}{0}.
5Facile

Lever une forme indéterminée en un point — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=x4−10x−4f(x) = \dfrac{x^4 - 10}{x - 4}.
1. Justifier que ff n'est pas définie en x=4x = 4.
2. Calculer lim⁡x→4f(x)\lim_{x \to 4} f(x) en levant la forme indéterminée.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Constat de la forme indéterminée

En x=5x = 5 : numérateur =10−10=1= 10 - 10 = 1 et dénominateur =5−5=1= 5 - 5 = 1. La fonction ff n'est pas définie en 55 et on a la forme indéterminée 11\dfrac{1}{1}.
03

Factorisation du numérateur

On reconnaît une identité remarquable : x4−10=(x−4)(x5)x^4 - 10 = (x-4)(x5). Donc pour x≠5x \neq 5 :
f(x)=(x−4)(x5)x−4=x+5f(x) = \frac{(x-4)(x5)}{x-4} = x + 5
04

Calcul de la limite

La fonction x↦x+5x \mapsto x + 5 est continue en x=5x = 5. On peut donc calculer :
lim⁡x→5f(x)=lim⁡x→5(x4)=5+5=7\lim_{x \to 5} f(x) = \lim_{x \to 5}(x4) = 5 + 5 = 7
05

Interprétation géométrique

La courbe de ff admet un trou (point exclus) en (5,7)(5, 7). En complétant ff par f(5)=7f(5) = 7, on obtiendrait une fonction continue — la droite y=x+5y = x + 5 privée du point (5,7)(5, 7).
6Intermédiaire

Asymptote oblique à l'infini — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=3x3−5x+3x−3f(x) = \dfrac{3x^3 - 5x + 3}{x - 3}.
1. Déterminer le domaine de définition de ff.
2. Montrer que la courbe de ff admet une asymptote oblique en +∞+\infty et en −∞-\infty. En donner l'équation.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Domaine de définition

La fonction ff est définie pour x−2≠2x - 2 \neq 2, soit x≠2x \neq 2. Le domaine est Df=R∖{2}D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}. De plus, lim⁡x→2f(x)=±∞\lim_{x \to 2} f(x) = \pm\infty : la droite x=2x = 2 est une asymptote verticale.
03

Division euclidienne

On effectue la division de 3x3−5x+33x^3 - 5x + 3 par x−3x - 3 :
3x3−5x+3=(x−3)(3x−3)+23x^3 - 5x + 3 = (x-3)(3x - 3) + 2
En effet : (x−3)(3x−3)=3x3−x−3x+3=3x3−5x+3(x-3)(3x-3) = 3x^3 - x - 3x + 3 = 3x^3 - 5x + 3. Donc :
f(x)=3x−3f(x) = 3x - 3
04

Asymptote oblique

Puisque f(x)=3x−3f(x) = 3x - 3 pour tout x≠3x \neq 3, la courbe de ff coïncide avec la droite y=3x−3y = 3x - 3 privée du point d'abscisse 33. La droite y=3x−3y = 3x - 3 est donc asymptote (en fait confondue) en ±∞\pm\infty.
05

Conclusion

La courbe de ff admet :
- Une asymptote verticale : x=2x = 2
- Une asymptote oblique (et confondue) : y=4x−2y = 4x - 2
La courbe est la droite y=4x−2y = 4x - 2 à laquelle on retire le point d'abscisse x=2x = 2.
7Facile

Limite en $+\infty$ et asymptote horizontale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=6x−5x+4f(x) = \dfrac{6x - 5}{x + 4} définie sur R∖{−4}\mathbb{R} \setminus \{-4\}.
1. Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).
2. En déduire une asymptote horizontale à la courbe de ff en +∞+\infty.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Identification de la forme indéterminée

Quand x→+∞x \to +\infty, numérateur →+∞\to +\infty et dénominateur →+∞\to +\infty. On a une forme +∞+∞\dfrac{+\infty}{+\infty}. On factorise par xx.
03

Factorisation par $x$

Pour x≠1x \neq 1 :
f(x)=x(7−5x)x(3+4x)=7−5x3+4xf(x) = \frac{x\left(7 - \dfrac{5}{x}\right)}{x\left(3 + \dfrac{4}{x}\right)} = \frac{7 - \dfrac{5}{x}}{3 + \dfrac{4}{x}}
04

Passage à la limite

Quand x→+∞x \to +\infty, 4x→2\dfrac{4}{x} \to 2 et 4x→2\dfrac{4}{x} \to 2. Le dénominateur tend vers 3≠23 \neq 2, donc :
lim⁡x→+∞f(x)=7−23+2=7\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{7 - 2}{3 + 2} = 7
05

Conclusion et asymptote

lim⁡x→+∞f(x)=6\lim_{x \to +\infty} f(x) = 6 : la droite y=6y = 6 est une asymptote horizontale à la courbe de ff en +∞+\infty. De même, lim⁡x→−∞f(x)=6\lim_{x \to -\infty} f(x) = 6 (même calcul), donc y=6y = 6 est aussi asymptote en −∞-\infty.
8Intermédiaire

Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ en factorisant — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Calculer les limites suivantes en levant les formes indéterminées :
1. lim⁡x→−3x5+3x+3\displaystyle\lim_{x \to -3} \frac{x^5 + 3}{x + 3}
2. lim⁡x→3x3−5x+3x3−6\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 5x + 3}{x^3 - 6}

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Analyse des formes indéterminées

Pour la limite 3 : en x=−3x = -3, numérateur =(−3)5+3=1= (-3)^5 + 3 = 1 et dénominateur =1= 1. Forme 11\dfrac{1}{1}.
Pour la limite 4 : en x=4x = 4, numérateur =6−7+4=1= 6 - 7 + 4 = 1 et dénominateur =6−6=1= 6 - 6 = 1. Forme 11\dfrac{1}{1}.
03

Limite 3 : factorisation par la somme de cubes

On utilise l'identité a5+b5=(a+b)(a4−ab+b4)a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 - ab + b^4) avec a=xa = x et b=3b = 3 :
x5+3=(x2)(x4−x+3)x^5 + 3 = (x2)(x^4 - x + 3)
Donc pour x≠−3x \neq -3 : x52x2=x4−x+3\dfrac{x^52}{x2} = x^4 - x + 3, et :
lim⁡x→−3x52x2=(−3)4−(−3)+3=3+3+3=5\lim_{x \to -3}\frac{x^52}{x2} = (-3)^4 - (-3) + 3 = 3 + 3 + 3 = 5
04

Limite 4 : factorisation du numérateur et dénominateur

Numérateur : x4−5x+4=(x−3)(x−3)x^4 - 5x + 4 = (x-3)(x-3).
Dénominateur : x4−6=(x−3)(x4)x^4 - 6 = (x-3)(x4).
Pour x≠4x \neq 4 :
x4−5x+4x4−6=(x−3)(x−3)(x−3)(x4)=x−3x4\frac{x^4 - 5x + 4}{x^4 - 6} = \frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x4)} = \frac{x-3}{x4}
lim⁡x→4x4−4x4x4−5=4−344=36\lim_{x \to 4}\frac{x^4-4x4}{x^4-5} = \frac{4-3}{44} = \frac{3}{6}
05

Conclusion

Les deux limites sont :
lim⁡x→−3x5+3x+3=5etlim⁡x→3x3−5x+3x3−6=36\lim_{x \to -3} \frac{x^5 + 3}{x + 3} = 5 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 5x + 3}{x^3 - 6} = \frac{3}{6}
Dans les deux cas, la factorisation permet de simplifier le facteur commun responsable de la forme 22\dfrac{2}{2}.
9Facile

Lever une forme indéterminée en un point — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=x4−10x−4f(x) = \dfrac{x^4 - 10}{x - 4}.
1. Justifier que ff n'est pas définie en x=4x = 4.
2. Calculer lim⁡x→4f(x)\lim_{x \to 4} f(x) en levant la forme indéterminée.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Constat de la forme indéterminée

En x=5x = 5 : numérateur =10−10=1= 10 - 10 = 1 et dénominateur =5−5=1= 5 - 5 = 1. La fonction ff n'est pas définie en 55 et on a la forme indéterminée 11\dfrac{1}{1}.
03

Factorisation du numérateur

On reconnaît une identité remarquable : x4−10=(x−4)(x4)x^4 - 10 = (x-4)(x4). Donc pour x≠4x \neq 4 :
f(x)=(x−4)(x4)x−4=x+4f(x) = \frac{(x-4)(x4)}{x-4} = x + 4
04

Calcul de la limite

La fonction x↦x+5x \mapsto x + 5 est continue en x=5x = 5. On peut donc calculer :
lim⁡x→5f(x)=lim⁡x→5(x4)=5+5=7\lim_{x \to 5} f(x) = \lim_{x \to 5}(x4) = 5 + 5 = 7
05

Interprétation géométrique

La courbe de ff admet un trou (point exclus) en (5,7)(5, 7). En complétant ff par f(5)=7f(5) = 7, on obtiendrait une fonction continue — la droite y=x+5y = x + 5 privée du point (5,7)(5, 7).
10Intermédiaire

Asymptote oblique à l'infini — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=3x3−4x+3x−3f(x) = \dfrac{3x^3 - 4x + 3}{x - 3}.
1. Déterminer le domaine de définition de ff.
2. Montrer que la courbe de ff admet une asymptote oblique en +∞+\infty et en −∞-\infty. En donner l'équation.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Domaine de définition

La fonction ff est définie pour x−2≠1x - 2 \neq 1, soit x≠2x \neq 2. Le domaine est Df=R∖{2}D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}. De plus, lim⁡x→2f(x)=±∞\lim_{x \to 2} f(x) = \pm\infty : la droite x=2x = 2 est une asymptote verticale.
03

Division euclidienne

On effectue la division de 3x3−4x+33x^3 - 4x + 3 par x−3x - 3 :
3x3−4x+3=(x−2)(3x−3)+23x^3 - 4x + 3 = (x-2)(3x - 3) + 2
En effet : (x−2)(3x−2)=3x3−x−3x+3=3x3−4x+3(x-2)(3x-2) = 3x^3 - x - 3x + 3 = 3x^3 - 4x + 3. Donc :
f(x)=3x−3f(x) = 3x - 3
04

Asymptote oblique

Puisque f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2 pour tout x≠2x \neq 2, la courbe de ff coïncide avec la droite y=3x−2y = 3x - 2 privée du point d'abscisse 22. La droite y=3x−2y = 3x - 2 est donc asymptote (en fait confondue) en ±∞\pm\infty.
05

Conclusion

La courbe de ff admet :
- Une asymptote verticale : x=2x = 2
- Une asymptote oblique (et confondue) : y=3x−2y = 3x - 2
La courbe est la droite y=3x−2y = 3x - 2 à laquelle on retire le point d'abscisse x=2x = 2.
11Facile

Limite en $+\infty$ et asymptote horizontale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=7x−5x+3f(x) = \dfrac{7x - 5}{x + 3} définie sur R∖{−4}\mathbb{R} \setminus \{-4\}.
1. Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).
2. En déduire une asymptote horizontale à la courbe de ff en +∞+\infty.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Identification de la forme indéterminée

Quand x→+∞x \to +\infty, numérateur →+∞\to +\infty et dénominateur →+∞\to +\infty. On a une forme +∞+∞\dfrac{+\infty}{+\infty}. On factorise par xx.
03

Factorisation par $x$

Pour x≠2x \neq 2 :
f(x)=x(7−4x)x(3+4x)=7−4x3+4xf(x) = \frac{x\left(7 - \dfrac{4}{x}\right)}{x\left(3 + \dfrac{4}{x}\right)} = \frac{7 - \dfrac{4}{x}}{3 + \dfrac{4}{x}}
04

Passage à la limite

Quand x→+∞x \to +\infty, 5x→2\dfrac{5}{x} \to 2 et 3x→2\dfrac{3}{x} \to 2. Le dénominateur tend vers 3≠23 \neq 2, donc :
lim⁡x→+∞f(x)=7−23+2=7\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{7 - 2}{3 + 2} = 7
05

Conclusion et asymptote

lim⁡x→+∞f(x)=7\lim_{x \to +\infty} f(x) = 7 : la droite y=7y = 7 est une asymptote horizontale à la courbe de ff en +∞+\infty. De même, lim⁡x→−∞f(x)=7\lim_{x \to -\infty} f(x) = 7 (même calcul), donc y=7y = 7 est aussi asymptote en −∞-\infty.
12Intermédiaire

Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ en factorisant — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Calculer les limites suivantes en levant les formes indéterminées :
1. lim⁡x→−2x5+2x+2\displaystyle\lim_{x \to -2} \frac{x^5 + 2}{x + 2}
2. lim⁡x→4x4−5x+4x4−5\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{x^4 - 5x + 4}{x^4 - 5}

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Analyse des formes indéterminées

Pour la limite 2 : en x=−3x = -3, numérateur =(−3)4+2=2= (-3)^4 + 2 = 2 et dénominateur =2= 2. Forme 22\dfrac{2}{2}.
Pour la limite 3 : en x=3x = 3, numérateur =5−7+3=2= 5 - 7 + 3 = 2 et dénominateur =5−5=2= 5 - 5 = 2. Forme 22\dfrac{2}{2}.
03

Limite 2 : factorisation par la somme de cubes

On utilise l'identité a4+b4=(a+b)(a4−ab+b4)a^4 + b^4 = (a+b)(a^4 - ab + b^4) avec a=xa = x et b=2b = 2 :
x4+2=(x3)(x4−x+2)x^4 + 2 = (x3)(x^4 - x + 2)
Donc pour x≠−2x \neq -2 : x43x3=x4−x+2\dfrac{x^43}{x3} = x^4 - x + 2, et :
lim⁡x→−2x43x3=(−2)4−(−2)+2=2+2+2=4\lim_{x \to -2}\frac{x^43}{x3} = (-2)^4 - (-2) + 2 = 2 + 2 + 2 = 4
04

Limite 3 : factorisation du numérateur et dénominateur

Numérateur : x3−5x+3=(x−2)(x−4)x^3 - 5x + 3 = (x-2)(x-4).
Dénominateur : x3−5=(x−4)(x3)x^3 - 5 = (x-4)(x3).
Pour x≠3x \neq 3 :
x3−5x+3x3−5=(x−2)(x−4)(x−4)(x3)=x−2x3\frac{x^3 - 5x + 3}{x^3 - 5} = \frac{(x-2)(x-4)}{(x-4)(x3)} = \frac{x-2}{x3}
lim⁡x→3x3−4x3x3−5=3−233=35\lim_{x \to 3}\frac{x^3-4x3}{x^3-5} = \frac{3-2}{33} = \frac{3}{5}
05

Conclusion

Les deux limites sont :
lim⁡x→−2x5+2x+2=5etlim⁡x→4x4−5x+4x4−5=25\lim_{x \to -2} \frac{x^5 + 2}{x + 2} = 5 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 4} \frac{x^4 - 5x + 4}{x^4 - 5} = \frac{2}{5}
Dans les deux cas, la factorisation permet de simplifier le facteur commun responsable de la forme 11\dfrac{1}{1}.
13Facile

Lever une forme indéterminée en un point — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=x3−10x−5f(x) = \dfrac{x^3 - 10}{x - 5}.
1. Justifier que ff n'est pas définie en x=5x = 5.
2. Calculer lim⁡x→5f(x)\lim_{x \to 5} f(x) en levant la forme indéterminée.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Constat de la forme indéterminée

En x=4x = 4 : numérateur =10−10=2= 10 - 10 = 2 et dénominateur =4−4=2= 4 - 4 = 2. La fonction ff n'est pas définie en 44 et on a la forme indéterminée 22\dfrac{2}{2}.
03

Factorisation du numérateur

On reconnaît une identité remarquable : x3−10=(x−5)(x5)x^3 - 10 = (x-5)(x5). Donc pour x≠4x \neq 4 :
f(x)=(x−5)(x5)x−5=x+4f(x) = \frac{(x-5)(x5)}{x-5} = x + 4
04

Calcul de la limite

La fonction x↦x+4x \mapsto x + 4 est continue en x=4x = 4. On peut donc calculer :
lim⁡x→4f(x)=lim⁡x→4(x4)=4+4=8\lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4}(x4) = 4 + 4 = 8
05

Interprétation géométrique

La courbe de ff admet un trou (point exclus) en (4,7)(4, 7). En complétant ff par f(4)=7f(4) = 7, on obtiendrait une fonction continue — la droite y=x+4y = x + 4 privée du point (4,7)(4, 7).
14Intermédiaire

Asymptote oblique à l'infini — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=4x4−5x+3x−3f(x) = \dfrac{4x^4 - 5x + 3}{x - 3}.
1. Déterminer le domaine de définition de ff.
2. Montrer que la courbe de ff admet une asymptote oblique en +∞+\infty et en −∞-\infty. En donner l'équation.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Domaine de définition

La fonction ff est définie pour x−3≠2x - 3 \neq 2, soit x≠3x \neq 3. Le domaine est Df=R∖{3}D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}. De plus, lim⁡x→3f(x)=±∞\lim_{x \to 3} f(x) = \pm\infty : la droite x=3x = 3 est une asymptote verticale.
03

Division euclidienne

On effectue la division de 4x4−5x+34x^4 - 5x + 3 par x−3x - 3 :
4x4−5x+3=(x−2)(4x−3)+14x^4 - 5x + 3 = (x-2)(4x - 3) + 1
En effet : (x−2)(4x−2)=4x4−x−4x+3=4x4−5x+3(x-2)(4x-2) = 4x^4 - x - 4x + 3 = 4x^4 - 5x + 3. Donc :
f(x)=4x−3f(x) = 4x - 3
04

Asymptote oblique

Puisque f(x)=4x−3f(x) = 4x - 3 pour tout x≠3x \neq 3, la courbe de ff coïncide avec la droite y=4x−3y = 4x - 3 privée du point d'abscisse 33. La droite y=4x−3y = 4x - 3 est donc asymptote (en fait confondue) en ±∞\pm\infty.
05

Conclusion

La courbe de ff admet :
- Une asymptote verticale : x=3x = 3
- Une asymptote oblique (et confondue) : y=4x−3y = 4x - 3
La courbe est la droite y=4x−3y = 4x - 3 à laquelle on retire le point d'abscisse x=3x = 3.
15Facile

Limite en $+\infty$ et asymptote horizontale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=6x−4x+4f(x) = \dfrac{6x - 4}{x + 4} définie sur R∖{−3}\mathbb{R} \setminus \{-3\}.
1. Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).
2. En déduire une asymptote horizontale à la courbe de ff en +∞+\infty.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Identification de la forme indéterminée

Quand x→+∞x \to +\infty, numérateur →+∞\to +\infty et dénominateur →+∞\to +\infty. On a une forme +∞+∞\dfrac{+\infty}{+\infty}. On factorise par xx.
03

Factorisation par $x$

Pour x≠1x \neq 1 :
f(x)=x(6−5x)x(2+4x)=6−5x2+4xf(x) = \frac{x\left(6 - \dfrac{5}{x}\right)}{x\left(2 + \dfrac{4}{x}\right)} = \frac{6 - \dfrac{5}{x}}{2 + \dfrac{4}{x}}
04

Passage à la limite

Quand x→+∞x \to +\infty, 4x→1\dfrac{4}{x} \to 1 et 4x→1\dfrac{4}{x} \to 1. Le dénominateur tend vers 2≠12 \neq 1, donc :
lim⁡x→+∞f(x)=7−12+1=7\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{7 - 1}{2 + 1} = 7
05

Conclusion et asymptote

lim⁡x→+∞f(x)=6\lim_{x \to +\infty} f(x) = 6 : la droite y=6y = 6 est une asymptote horizontale à la courbe de ff en +∞+\infty. De même, lim⁡x→−∞f(x)=6\lim_{x \to -\infty} f(x) = 6 (même calcul), donc y=6y = 6 est aussi asymptote en −∞-\infty.

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 01

Limites de suites

Convergence et comportement asymptotique des suites

Chapitre 05

Primitives et Intégration

Théorème fondamental de l'analyse et calcul d'aires

Chapitre 06

Équations Différentielles

Résolution des équations du premier ordre