Symétrie Axiale

Une figure possède un axe de symétrie si, en la repliant le long de cet axe, les deux parties se superposent exactement. Autrement dit, l'axe de symétrie partage la figure en deux parties identiques.

Une figure peut avoir $0$, $1$, $2$, ou plusieurs axes de symétrie :
- Un segment : $1$ axe (sa médiatrice) et $1$ autre axe (la droite contenant le segment).
- Un triangle isocèle (non équilatéral) : $1$ axe (la médiatrice de la base).
- Un triangle équilatéral : $3$ axes.
- Un rectangle (non carré) : $2$ axes (les axes passant par les milieux des côtés opposés).
- Un losange (non carré) : $2$ axes (les diagonales).
- Un carré : $4$ axes.
- Un cercle : une infinité d'axes (tous les diamètres).

Pour vérifier si une droite est axe de symétrie, on peut plier le dessin le long de cette droite et vérifier la superposition.

Le symétrique d'un point $A$ par rapport à une droite $d$ est le point $A'$ tel que :
1. La droite $d$ est la médiatrice du segment $[AA']$.
Cela signifie deux choses :
- La droite $d$ est perpendiculaire à $[AA']$.
- La droite $d$ passe par le milieu de $[AA']$.

Autrement dit, $A$ et $A'$ sont à la même distance de $d$, et la droite $d$ est perpendiculaire à $(AA')$.

Pour construire $A'$ à la règle et à l'équerre :
1. On trace la perpendiculaire à $d$ passant par $A$ (en utilisant l'équerre).
2. On mesure la distance de $A$ à $d$ (on appelle ce point le pied de la perpendiculaire $H$).
3. On reporte cette même distance de l'autre côté : $HA' = HA$.

Si le point $A$ est sur la droite $d$, alors son symétrique est lui-même : $A' = A$.

Pour construire le symétrique d'une figure (segment, triangle, polygone, cercle…) par rapport à un axe, on construit le symétrique de chaque point remarquable (sommet, extrémité) de la figure, puis on relie les images dans le même ordre.

Propriétés conservées par la symétrie axiale :
- Les longueurs sont conservées : $A'B' = AB$.
- Les angles sont conservés.
- Le parallélisme est conservé : si $AB \parallel CD$, alors $A'B' \parallel C'D'$.
- La perpendicularité est conservée.
- L'alignement est conservé.

On dit que la symétrie axiale est une isométrie : elle conserve les distances. En revanche, elle inverse l'orientation de la figure (une figure et son image sont comme une main droite et une main gauche : elles se superposent par pliage mais pas par glissement).

Le compas permet de tracer des arcs de cercle et de reporter des longueurs avec précision. En particulier, il est indispensable pour construire la médiatrice d'un segment sans mesurer.

Construction de la médiatrice de $[AB]$ au compas :
1. On prend un écartement du compas supérieur à la moitié de $AB$.
2. Depuis $A$, on trace un arc de cercle.
3. Depuis $B$, avec le même écartement, on trace un second arc.
4. Les deux arcs se croisent en deux points $P$ et $Q$.
5. La droite $(PQ)$ est la médiatrice de $[AB]$.

Le milieu de $[AB]$ est le point $H$ d'intersection de la médiatrice et du segment $[AB]$.