Périmètre et Aire

Le périmètre d'une figure plane est la longueur totale de son contour. On l'obtient en additionnant les longueurs de tous ses côtés (pour un polygone) ou par des formules pour les figures courbes.

Formules des périmètres usuels :
- Carré de côté $c$ : $\mathcal{P} = 4c$
- Rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ : $\mathcal{P} = 2(L + l) = 2L + 2l$
- Triangle de côtés $a$, $b$, $c$ : $\mathcal{P} = a + b + c$
- Cercle (circonférence) de rayon $r$ : $\mathcal{P} = 2 \pi r$ (ou $\pi d$ avec $d = 2r$)

Le nombre $\pi$ (pi) vaut environ $3{,}14159...$. En 6ème on prend souvent $\pi \approx 3{,}14$ pour les calculs approchés.

L'aire (ou surface) d'une figure plane est la mesure de la surface qu'elle occupe. L'unité de base est le centimètre carré ($\text{cm}^2$) : c'est la surface d'un carré de $1$ cm de côté.

Formules des aires usuelles :
- Carré de côté $c$ : $\mathcal{A} = c^2$
- Rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ : $\mathcal{A} = L \times l$
- Parallélogramme de base $b$ et de hauteur $h$ : $\mathcal{A} = b \times h$
- Triangle de base $b$ et de hauteur $h$ : $\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}$
- Disque de rayon $r$ : $\mathcal{A} = \pi r^2$
- Trapèze de bases $B$ et $b$ et de hauteur $h$ : $\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$

La hauteur $h$ est toujours perpendiculaire à la base $b$.

Les unités d'aire sont les carrés des unités de longueur. Le tableau de conversion des unités d'aire est :
$$\text{km}^2 \quad \text{hm}^2 \quad \text{dam}^2 \quad \text{m}^2 \quad \text{dm}^2 \quad \text{cm}^2 \quad \text{mm}^2$$

Chaque fois qu'on passe d'une unité à la suivante (vers la droite), on multiplie par $100$ (pas par $10$ comme pour les longueurs !). En effet, $1\,\text{m}^2 = 100\,\text{dm}^2$ car $1\,\text{m} = 10\,\text{dm}$, donc $1\,\text{m}^2 = 10\,\text{dm} \times 10\,\text{dm} = 100\,\text{dm}^2$.

Conversions usuelles :
- $1\,\text{m}^2 = 100\,\text{dm}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2 = 1\,000\,000\,\text{mm}^2$
- $1\,\text{km}^2 = 1\,000\,000\,\text{m}^2$
- $1\,\text{are} = 100\,\text{m}^2$ (utilisé en agriculture)
- $1\,\text{hectare} = 10\,000\,\text{m}^2 = 100\,\text{ares}$

Beaucoup de figures de la vie réelle ne sont pas des figures simples, mais des figures composées : on peut les décomposer en plusieurs figures simples. Pour calculer leur aire, on calcule l'aire de chaque partie et on additionne (ou soustrait, si une partie est enlevée).

Par exemple, la surface d'un anneau (couronne circulaire) est la différence des aires de deux disques concentriques de rayons $R$ (grand) et $r$ (petit) :
$$\mathcal{A}_{\text{anneau}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$$

Stratégie générale :
1. Identifier les figures simples composant la figure.
2. Calculer l'aire de chaque figure simple.
3. Additionner (ou soustraire) les aires selon la configuration.