Proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut passer de l'une à l'autre en multipliant (ou divisant) par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité (ou coefficient $k$).

Formellement, si $y$ est proportionnel à $x$, alors il existe un nombre $k$ tel que $y = k \times x$ pour toutes les valeurs considérées. Dans un tableau, la proportionnalité se traduit par le fait que tous les quotients $\dfrac{y}{x}$ sont égaux :
$$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_3}{x_3} = k$$

Autres propriétés d'un tableau de proportionnalité :
- Si on multiplie une valeur de $x$ par un nombre $t$, la valeur correspondante de $y$ est aussi multipliée par $t$.
- Si on additionne deux colonnes, la colonne résultante est aussi dans le tableau.
- La représentation graphique d'une proportionnalité est une droite passant par l'origine $(0 ; 0)$.

Pour compléter un tableau de proportionnalité, plusieurs méthodes sont disponibles.

Méthode 1 — Coefficient : On calcule $k = \dfrac{y}{x}$ à partir d'une colonne connue, puis on calcule les valeurs manquantes avec $y = k \times x$.

Méthode 2 — Règle de trois (ou produit en croix) : Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, alors $a \times d = b \times c$ (produit des extrêmes = produit des moyens). Cela permet de trouver la valeur inconnue.

Exemple : « $3$ cahiers coûtent $5{,}40\,\euro$. Combien coûtent $7$ cahiers ? »
$$\frac{3 \text{ cahiers}}{5{,}40 \text{ \euro}} = \frac{7 \text{ cahiers}}{x \text{ \euro}} \Rightarrow x = \frac{7 \times 5{,}40}{3} = \frac{37{,}80}{3} = 12{,}60 \text{ \euro}$$

Méthode 3 — Linéarité : On utilise le fait que si on multiplie (ou additionne) les valeurs d'une ligne, on fait la même chose sur l'autre.

Une échelle est un rapport de proportionnalité entre les distances sur une carte (ou un plan) et les distances réelles. On l'écrit souvent sous la forme $1 : n$ (ou $\dfrac{1}{n}$) ce qui signifie que $1\,\text{cm}$ sur la carte correspond à $n\,\text{cm}$ en réalité.

Exemples d'échelles courantes :
- Carte routière : $1 : 200\,000$ ($1\,\text{cm} = 2\,\text{km}$)
- Plan de ville : $1 : 10\,000$ ($1\,\text{cm} = 100\,\text{m}$)
- Plan de maison : $1 : 100$ ($1\,\text{cm} = 1\,\text{m}$)

Formules :
$$\text{distance réelle} = \text{distance carte} \times n$$
$$\text{distance carte} = \frac{\text{distance réelle}}{n}$$

Un pourcentage est un rapport exprimé pour $100$. $x\,\%$ signifie $\dfrac{x}{100}$. Les pourcentages sont une application directe de la proportionnalité.

Calculer $t\,\%$ d'une quantité $Q$ :
$$\text{résultat} = Q \times \frac{t}{100}$$

Exemple : $20\,\%$ de $150\,\euro = 150 \times \dfrac{20}{100} = 150 \times 0{,}2 = 30\,\euro$.

Appliquer une réduction (ou augmentation) de $t\,\%$ :
- Réduction de $t\,\%$ : multiplier par $\left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$.
- Augmentation de $t\,\%$ : multiplier par $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$.

Exemple : une veste coûte $80\,\euro$ et est soldée à $-25\,\%$. Prix soldé : $80 \times (1 - 0{,}25) = 80 \times 0{,}75 = 60\,\euro$.

Certaines grandeurs proportionnelles courantes mettent en jeu deux grandeurs différentes : on les appelle grandeurs composées.

La vitesse moyenne est le rapport de la distance parcourue au temps mis :
$$v = \frac{d}{t} \quad \Leftrightarrow \quad d = v \times t \quad \Leftrightarrow \quad t = \frac{d}{v}$$

Le débit est le rapport du volume au temps : $D = \dfrac{V}{t}$.

La formule de la vitesse se mémorise facilement avec le triangle :
$$\boxed{d = v \times t}$$

Attention aux unités : si $v$ est en km/h et $t$ en minutes, il faut convertir le temps en heures avant d'appliquer la formule.