Statistiques

En statistiques, on étudie une population (ensemble d'individus) et on s'intéresse à un caractère (propriété mesurée sur chaque individu). Le nombre d'individus dans la population est l'effectif total $N$.

Un caractère qualitatif prend des valeurs non numériques (couleur, sport pratiqué, etc.). Un caractère quantitatif prend des valeurs numériques (taille, note, âge, etc.).

Les données brutes sont difficiles à lire. On les organise dans un tableau de données en regroupant les valeurs identiques. Pour chaque valeur, on note son effectif (nombre de fois qu'elle apparaît) et sa fréquence (part du total) :
$$f_i = \frac{n_i}{N} \quad \text{et} \quad f_i\,\% = \frac{n_i}{N} \times 100$$
La somme de toutes les fréquences vaut $1$ (soit $100\,\%$).

Une représentation graphique permet de visualiser les données d'un coup d'œil. Il en existe plusieurs types selon la nature des données.

Diagramme en bâtons (ou en barres) : adapté aux caractères quantitatifs discrets. Chaque bâton représente une valeur, sa hauteur est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence). Les bâtons sont séparés.

Diagramme circulaire (ou « camembert ») : adapté aux caractères qualitatifs ou aux répartitions. Chaque secteur représente une valeur ; l'angle du secteur est proportionnel à la fréquence :
$$\text{angle} = f \times 360° = \frac{n_i}{N} \times 360°$$

Diagramme en ligne (ou courbe) : adapté aux séries temporelles (évolution au cours du temps). On place des points et on les relie par des segments.

Histogramme : adapté aux données continues regroupées en classes. Contrairement au diagramme en bâtons, les rectangles sont accolés (pas d'espace entre eux).

La moyenne (ou moyenne arithmétique) est l'indicateur de position le plus utilisé. Elle représente la valeur « centrale » autour de laquelle les données se répartissent. On la note souvent $\bar{x}$ (x barre).

Pour une série de $N$ valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_N$, la moyenne est :
$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$$

Quand les données sont résumées dans un tableau avec les effectifs, la formule devient :
$$\bar{x} = \frac{\sum_{i} n_i \times x_i}{N} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_k x_k}{N}$$

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : une valeur très grande ou très petite peut déformer significativement la moyenne. C'est pourquoi on utilise parfois d'autres indicateurs comme la médiane (vue en 4ème).

L'étendue (ou amplitude) est l'indicateur de dispersion le plus simple. Elle mesure l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur de la série :
$$\text{étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$$

Une grande étendue indique que les données sont très dispersées. Une petite étendue indique que les données sont regroupées autour d'une valeur centrale.

L'étendue est facile à calculer, mais elle ne donne qu'une information partielle sur la dispersion : elle ne tient compte que des deux valeurs extrêmes et est très sensible aux valeurs aberrantes (données très atypiques).

En pratique, on utilise souvent l'étendue et la moyenne ensemble pour décrire une série : la moyenne renseigne sur la tendance centrale, l'étendue sur la dispersion.

En statistiques, lire une représentation graphique ou un tableau, c'est extraire des informations explicites. Interpréter, c'est donner du sens à ces informations dans le contexte du problème.

Questions types pour lire un diagramme :
- Quelle est la valeur la plus fréquente (mode) ?
- Quelle est la valeur la plus rare ?
- Quelle est la somme de certains effectifs ?
- Quelle est la part (en $\%$) d'une catégorie ?

Erreurs courantes d'interprétation :
- Confondre effectif et fréquence.
- Confondre la classe ayant le plus grand effectif avec la moyenne.
- Oublier de lire correctement l'échelle d'un graphique.

Les statistiques descriptives permettent de résumer une grande quantité de données en quelques chiffres clés (moyenne, étendue, fréquences). Elles sont à la base des sondages, des études scientifiques et des décisions économiques.