Chapitre 03 · Sixième

Cours

Les Quatre Opérations

Addition, soustraction, multiplication et division posées

Les quatre opérations fondamentales — addition, soustraction, multiplication et division — sont les piliers du calcul. En 6ème, on consolide les techniques de calcul posé sur les entiers et les décimaux, on découvre les règles de priorité opératoire et on apprend à utiliser les parenthèses. La maîtrise de ces opérations est la clé pour résoudre des problèmes concrets.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Maîtriser les méthodes essentielles de les quatre opérations.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Addition et soustraction de nombres décimaux

Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux posés en colonne, la règle fondamentale est d'aligner les virgules l'une sous l'autre. Cela garantit que l'on additionne des chiffres du même rang (unités avec unités, dixièmes avec dixièmes, etc.).

On peut compléter par des zéros pour que tous les nombres aient le même nombre de décimales, ce qui facilite les retenues. La technique de pose (avec retenue pour l'addition, avec emprunt pour la soustraction) est identique à celle des entiers.

Exemple de pose de

12{,}7 + 8{,}045

\begin{array}{r} 12{,}700 \\ +\quad 8{,}045 \\ \hline 20{,}745 \end{array}

Définition

Retenue

En addition posée, quand la somme de chiffres d'une colonne dépasse

9

, on écrit le chiffre des unités et on reporte le chiffre des dizaines (la retenue) à la colonne de gauche.

Définition

Emprunt

En soustraction posée, quand un chiffre du nombre du haut est inférieur à celui du bas, on emprunte

10

à la colonne de gauche et on rend

1

Exemple 1— Addition posée

Calculer

25{,}38 + 7{,}9

Solution

On aligne les virgules et on complète :

25{,}38 + 07{,}90 = 33{,}28

Exemple 2— Soustraction posée

Calculer

50 - 13{,}72

Solution

On écrit

50{,}00 - 13{,}72 = 36{,}28

(en procédant par emprunts).

⚠ Attention

La principale erreur est de ne pas aligner les virgules, ce qui revient à additionner ou soustraire des chiffres de rangs différents. Toujours vérifier que les virgules sont bien en colonne.

2Multiplication de nombres décimaux

Pour multiplier deux nombres décimaux, on procède en deux étapes :
1. On effectue la multiplication sans tenir compte des virgules (comme si c'étaient des entiers).
2. On place la virgule dans le résultat en comptant le nombre total de décimales dans les deux facteurs.

Autrement dit : si le premier facteur a

p

décimales et le second en a

q

, le produit en a

p + q

.

Exemple :

3{,}14 \times 2{,}5

- Sans virgule :

314 \times 25 = 7\,850

- Nombre de décimales :

2 + 1 = 3

- Résultat :

7{,}850 = 7{,}85

On peut aussi utiliser les propriétés de la multiplication : commutativité (

a \times b = b \times a

), associativité, et distributivité (

a \times (b + c) = a \times b + a \times c

Définition

Commutativité de la multiplication

L'ordre des facteurs ne change pas le produit :

a \times b = b \times a

Définition

Distributivité

La multiplication est distributive par rapport à l'addition :

a \times (b + c) = a \times b + a \times c

a \times (b - c) = a \times b - a \times c

Exemple 1— Multiplication décimale

Calculer

4{,}2 \times 3{,}05

Solution

42 \times 305 = 12\,810

. Nombre de décimales :

1 + 2 = 3

. Résultat :

12{,}810 = 12{,}81

Exemple 2— Utilisation de la distributivité

Calculer

15 \times 98

en utilisant

98 = 100 - 2

Solution

15 \times 98 = 15 \times (100 - 2) = 15 \times 100 - 15 \times 2 = 1\,500 - 30 = 1\,470

3Division euclidienne et division décimale

La division euclidienne d'un entier

a

par un entier

b > 0

donne un quotient

q

et un reste

r

tels que :

a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < b

Le reste

r

est toujours strictement inférieur au diviseur

b

. Quand le reste est nul, on dit que

b

divise

a

, ou que

a

est un multiple de

b

.

Pour la division décimale, on continue la division après le reste en ajoutant des zéros au dividende. On place la virgule dans le quotient au bon moment. Exemple :

7 \div 4

7 = 4 \times 1 + 3 \Rightarrow 70 = 4 \times 17 + 2 \Rightarrow 700 = 4 \times 175 \Rightarrow 7 \div 4 = 1{,}75

On peut aussi diviser deux décimaux en multipliant dividende et diviseur par la même puissance de 10 pour se ramener à une division par un entier.

Définition

Dividende

Le nombre que l'on divise. Dans

56 \div 7

, le dividende est

56

Définition

Diviseur

Le nombre par lequel on divise. Dans

56 \div 7

, le diviseur est

7

Définition

Quotient

Le résultat de la division. Dans

56 \div 7 = 8

, le quotient est

8

Définition

Reste

Dans la division euclidienne, le reste est ce qui « reste » après la division entière. Il est toujours inférieur au diviseur.

Exemple 1— Division euclidienne

Effectuer la division euclidienne de

253

par

11

Solution

253 = 11 \times 23 + 0

. Le quotient est

23

, le reste est

0

. Donc

11

divise

253

Exemple 2— Division décimale

Calculer

17{,}5 \div 2{,}5

Solution

On multiplie par

10

175 \div 25 = 7

. Donc

17{,}5 \div 2{,}5 = 7

4Priorités des opérations et parenthèses

Lorsqu'une expression contient plusieurs opérations, on doit respecter un ordre de priorité strict pour obtenir le bon résultat :
1. En premier : les opérations dans les parenthèses (de l'intérieur vers l'extérieur)
2. En deuxième : les multiplications et les divisions (de gauche à droite)
3. En dernier : les additions et les soustractions (de gauche à droite)

Ce principe peut être mémorisé par la formule : « Parenthèses, puis × et ÷, puis + et − ».

Exemple :

3 + 4 \times 2 = 3 + 8 = 11

(et non

14

, car on effectue d'abord la multiplication).
Autre exemple :

3 \times (2 + 5) - 4 \div 2 = 3 \times 7 - 2 = 21 - 2 = 19

Définition

Expression numérique

Suite de nombres reliés par des opérations et éventuellement des parenthèses, dont la valeur est un nombre.

Définition

Parenthèses

Les parenthèses indiquent quelles opérations doivent être effectuées en priorité. On traite d'abord les parenthèses les plus intérieures.

Exemple 1— Priorités sans parenthèses

Calculer

A = 5 + 3 \times 4 - 8 \div 2

Solution

On effectue d'abord

\times

\div

3 \times 4 = 12

8 \div 2 = 4

A = 5 + 12 - 4 = 13

Exemple 2— Priorités avec parenthèses

Calculer

B = (5 + 3) \times (4 - 8 \div 2)

Solution

Parenthèses en premier.

5 + 3 = 8

. Pour

4 - 8 \div 2

: d'abord

8 \div 2 = 4

, puis

4 - 4 = 0

B = 8 \times 0 = 0

⚠ Attention

Sans parenthèses,

\times

\div

sont prioritaires sur

+

-

. Oublier cette règle est l'erreur la plus fréquente en calcul. Par exemple,

2 + 3 \times 4 = 14

et non

20

5Multiples, diviseurs et critères de divisibilité

Un entier

b

est un diviseur de

a

si la division de

a

par

b

donne un reste nul. On dit aussi que

a

est un multiple de

b

, ou que

b

divise

a

(notation :

b \mid a

).

Il existe des critères de divisibilité rapides qui évitent d'effectuer la division :
- Divisible par

2

: le dernier chiffre est

0, 2, 4, 6

8

(nombre pair).
- Divisible par

5

: le dernier chiffre est

0

5

.
- Divisible par

10

: le dernier chiffre est

0

.
- Divisible par

3

: la somme des chiffres est divisible par

3

.
- Divisible par

9

: la somme des chiffres est divisible par

9

.
- Divisible par

4

: le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par

4

.
- Divisible par

6

: le nombre est divisible par

2

et par

3

Définition

Multiple

Un entier

a

est un multiple de

b

s'il existe un entier

k

tel que

a = b \times k

. Exemples :

12

18

24

sont des multiples de

6

Définition

Diviseur

Un entier

b

est un diviseur de

a

b

divise

a

sans reste. Les diviseurs de

12

sont :

1, 2, 3, 4, 6, 12

Définition

Nombre pair / impair

Un entier est pair s'il est divisible par

2

(son dernier chiffre est

0, 2, 4, 6

8

). Sinon il est impair (son dernier chiffre est

1, 3, 5, 7

9

Exemple 1— Critères de divisibilité

Le nombre

4\,176

est-il divisible par

2

3

4

9

Solution

- Par

2

: dernier chiffre

6

(pair) → oui.
- Par

3

: somme des chiffres

4+1+7+6 = 18

, divisible par

3

→ oui.
- Par

4

: les deux derniers chiffres forment

76

, et

76 = 4 \times 19

→ oui.
- Par

9

: somme

18

, divisible par

9

→ oui.

★ À retenir

1
Ordre des priorités : parenthèses d'abord, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ .
2
Pour multiplier des décimaux : multiplier comme des entiers, puis placer la virgule en comptant le total de décimales des deux facteurs.
3
Pour diviser par un décimal : multiplier dividende et diviseur par la même puissance de $10$ pour se ramener à une division par un entier.
4
Division euclidienne : $a = b \times q + r$ avec $0 \leq r < b$ .
5
Critère de divisibilité par $3$ : la somme des chiffres est divisible par $3$ .
6
Distributivité : $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ (très utile pour le calcul mental).

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Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 02

Les Quatre Opérations

Comment utiliser ce cours efficacement

1Addition et soustraction de nombres décimaux

2Multiplication de nombres décimaux

3Division euclidienne et division décimale

4Priorités des opérations et parenthèses

5Multiples, diviseurs et critères de divisibilité

★ À retenir

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Chapitres liés à revoir ensuite

Fractions

Géométrie Plane

Nombres Entiers et Décimaux