MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 02 · Sixième

Cours

Fractions

Lecture, simplification et comparaison de fractions

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Les fractions permettent d'exprimer des parties d'un tout et de représenter des nombres qui ne sont pas entiers. En 6ème, on apprend à lire et écrire une fraction, à la simplifier, à la comparer à d'autres fractions, et à effectuer des opérations. Les fractions sont omniprésentes en cuisine, en musique, en géométrie et dans de nombreuses situations du quotidien.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Comparer, simplifier et transformer des écritures numériques.
  • Justifier les étapes de calcul sans sauter les conversions importantes.

Points de vigilance

  • Mélanger addition et multiplication des fractions.
  • Oublier de simplifier le résultat final.

1Qu'est-ce qu'une fraction ?

Une fraction est un nombre de la forme ab\dfrac{a}{b} où aa est le numérateur et bb est le dénominateur (avec b≠0b \neq 0). Le trait de fraction s'appelle la barre de fraction et représente une division : ab=a÷b\dfrac{a}{b} = a \div b.

La fraction ab\dfrac{a}{b} représente aa parts d'un tout découpé en bb parts égales. Par exemple, 34\dfrac{3}{4} représente 3 parts d'un tout découpé en 4 parts égales, soit les trois quarts du tout.

Une fraction peut aussi désigner un quotient : 72=7÷2=3,5\dfrac{7}{2} = 7 \div 2 = 3{,}5. Ainsi, toute fraction peut être convertie en nombre décimal (parfois infini et périodique, comme 13=0,333...\dfrac{1}{3} = 0{,}333...).

Définition

Numérateur

Chiffre (ou expression) au-dessus de la barre de fraction. Il indique combien de parts on considère.

Définition

Dénominateur

Chiffre (ou expression) en dessous de la barre de fraction. Il indique en combien de parts égales le tout est découpé. Il ne peut jamais être nul.

Définition

Fraction irréductible

Fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 11, c'est-à-dire dont le PGCD est 11.

Définition

Fraction impropre

Fraction dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur : 73\dfrac{7}{3}, 55\dfrac{5}{5}. Elle est supérieure ou égale à 11.
Exemple 1— Lecture d'une fraction
Une pizza est coupée en 8 parts égales. Marie mange 3 parts. Quelle fraction représente la part mangée ?

Solution

Marie mange 38\dfrac{3}{8} de la pizza (3 parts sur 8).
Exemple 2— Fraction et décimal
Convertir 74\dfrac{7}{4} en nombre décimal.

Solution

74=7÷4=1,75\dfrac{7}{4} = 7 \div 4 = 1{,}75
  • Le dénominateur ne peut jamais être nul.
  • ab\dfrac{a}{b} se lit « aa sur bb » ou « aa bb-ièmes ».
  • Toute fraction peut être convertie en décimal par une division.

2Fractions égales et simplification

Deux fractions sont égales si elles représentent la même quantité. On peut créer des fractions égales en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. C'est la propriété fondamentale des fractions :
ab=a×kb×ketab=a÷kb÷k\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \quad \text{et} \quad \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}
ou, pour tout k≠0k \neq 0.

Simplifier une fraction, c'est la remplacer par une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits. Pour simplifier complètement (obtenir la fraction irréductible), on divise numérateur et dénominateur par leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).

Pour trouver le PGCD de deux nombres, on peut lister leurs diviseurs communs et prendre le plus grand, ou utiliser l'algorithme d'Euclide.

Définition

PGCD

Le Plus Grand Commun Diviseur de deux entiers aa et bb est le plus grand entier qui divise à la fois aa et bb. Notation : PGCD(a, b)\text{PGCD}(a,\,b).
Exemple 1— Simplification complète
Simplifier 3648\dfrac{36}{48}.

Solution

Diviseurs de 3636 : 1,2,3,4,6,9,12,18,361, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Diviseurs de 4848 : 1,2,3,4,6,8,12,16,24,481, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
PGCD(36,48)=12\text{PGCD}(36, 48) = 12.
3648=36÷1248÷12=34\frac{36}{48} = \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}
34\dfrac{3}{4} est irréductible car PGCD(3,4)=1\text{PGCD}(3,4)=1.
Exemple 2— Vérification d'égalité
Vérifier que 34=75100\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100}.

Solution

75100=75÷25100÷25=34\dfrac{75}{100} = \dfrac{75 \div 25}{100 \div 25} = \dfrac{3}{4} ✓
On peut aussi vérifier par produits en croix : 3×100=300=4×753 \times 100 = 300 = 4 \times 75 ✓

⚠ Attention

On peut uniquement diviser numérateur et dénominateur par le même nombre. Ajouter ou soustraire le même nombre ne conserve pas l'égalité : 24≠2+14+1=35\dfrac{2}{4} \neq \dfrac{2+1}{4+1} = \dfrac{3}{5}.

3Comparer des fractions

Pour comparer deux fractions, il faut les ramener au même dénominateur (dénominateur commun). Le dénominateur commun le plus simple est le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des deux dénominateurs.

Une fois les fractions au même dénominateur, on compare les numérateurs : la fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande.
ac<bc  ⟺  a<b(c>0)\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \iff a < b \quad (c > 0)

Cas particulier : si les deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur (on partage en moins de parts, donc chaque part est plus grande) :
ab<ac  ⟺  b>c(a>0)\frac{a}{b} < \frac{a}{c} \iff b > c \quad (a > 0)

On peut aussi convertir en décimal pour comparer, mais cette méthode peut donner des décimaux infinis.

Définition

PPCM

Le Plus Petit Commun Multiple de deux entiers aa et bb est le plus petit entier strictement positif qui est multiple de aa et de bb.

Définition

Mise au même dénominateur

Opération consistant à transformer deux fractions en fractions égales ayant le même dénominateur, pour pouvoir les comparer ou les additionner.
Exemple 1— Comparaison avec mise au même dénominateur
Comparer 34\dfrac{3}{4} et 56\dfrac{5}{6}.

Solution

PPCM(4,6)=12\text{PPCM}(4, 6) = 12.
34=3×34×3=91256=5×26×2=1012\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \qquad \frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}
Comme 9<109 < 10, on a 912<1012\dfrac{9}{12} < \dfrac{10}{12}, donc 34<56\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}.
  • Même dénominateur : on compare les numérateurs.
  • Même numérateur : le plus grand est celui qui a le plus petit dénominateur.
  • On peut aussi convertir en décimal pour comparer.

4Addition et soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut impérativement qu'elles aient le même dénominateur.

- Si les dénominateurs sont identiques : on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur.
ac+bc=a+bc\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}

- Si les dénominateurs sont différents : on commence par mettre les fractions au même dénominateur, puis on additionne (ou soustrait) les numérateurs.

Après le calcul, on simplifie le résultat si possible pour obtenir la fraction irréductible.
Exemple 1— Addition — même dénominateur
Calculer 37+27\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7}.

Solution

37+27=3+27=57\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7}
Exemple 2— Addition — dénominateurs différents
Calculer A=23+56A = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6}.

Solution

PPCM(3,6)=6\text{PPCM}(3, 6) = 6.
A=2×23×2+56=46+56=96=9÷36÷3=32A = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{9 \div 3}{6 \div 3} = \frac{3}{2}
Exemple 3— Soustraction
Calculer B=74−23B = \dfrac{7}{4} - \dfrac{2}{3}.

Solution

PPCM(4,3)=12\text{PPCM}(4, 3) = 12.
B=7×34×3−2×43×4=2112−812=1312B = \frac{7 \times 3}{4 \times 3} - \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{21}{12} - \frac{8}{12} = \frac{13}{12}
PGCD(13,12)=1\text{PGCD}(13, 12) = 1, donc 1312\dfrac{13}{12} est déjà irréductible.

⚠ Attention

On ne peut jamais additionner les numérateurs ET les dénominateurs séparément : 12+13≠25\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}. Il faut obligatoirement mettre au même dénominateur.

5Multiplication et division de fractions

La multiplication de deux fractions est l'opération la plus simple : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
ab×cd=a×cb×d\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

Il est souvent utile de simplifier avant de multiplier en barrant les facteurs communs entre un numérateur et un dénominateur (simplification croisée).

Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse (on retourne la fraction diviseur) :
ab÷cd=ab×dc=a×db×c\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}

L'inverse (ou fraction inverse) de cd\dfrac{c}{d} est dc\dfrac{d}{c} (avec c≠0c \neq 0).

Définition

Inverse d'une fraction

L'inverse de ab\dfrac{a}{b} (avec a≠0a \neq 0 et b≠0b \neq 0) est ba\dfrac{b}{a}. Le produit d'une fraction par son inverse vaut 11 : ab×ba=1\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = 1.
Exemple 1— Multiplication
Calculer 35×109\dfrac{3}{5} \times \dfrac{10}{9}.

Solution

On peut simplifier avant de multiplier : 33 et 99 ont le facteur 33, et 1010 et 55 ont le facteur 55.
35×109=35×10 29 3=1×21×3=23\frac{3}{5} \times \frac{10}{9} = \frac{\cancel{3}}{\cancel{5}} \times \frac{\cancel{10}^{\,2}}{\cancel{9}^{\,3}} = \frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3}
Exemple 2— Division
Calculer 56÷154\dfrac{5}{6} \div \dfrac{15}{4}.

Solution

56÷154=56×415=5×46×15=2090=29\frac{5}{6} \div \frac{15}{4} = \frac{5}{6} \times \frac{4}{15} = \frac{5 \times 4}{6 \times 15} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}

★ À retenir

  • 1
    Une fraction ab\dfrac{a}{b} représente aa parts d'un tout divisé en bb parts égales, et vaut a÷ba \div b.
  • 2
    Simplifier une fraction : diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD.
  • 3
    Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut d'abord les mettre au même dénominateur.
  • 4
    Multiplication : ab×cd=a×cb×d\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d} (pas besoin de dénominateur commun).
  • 5
    Division : diviser par une fraction = multiplier par son inverse : ab÷cd=ab×dc\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}.
  • 6
    Pour comparer deux fractions, les mettre au même dénominateur puis comparer les numérateurs.

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 01

Nombres Entiers et Décimaux

Lire, écrire, comparer et ordonner les nombres

Chapitre 03

Les Quatre Opérations

Addition, soustraction, multiplication et division posées

Chapitre 04

Géométrie Plane

Droites, angles, triangles et quadrilatères