Nombres Entiers et Décimaux

Notre système de numération est dit décimal : il repose sur la base $10$. Cela signifie que la valeur d'un chiffre dépend de sa position dans l'écriture du nombre. On appelle cette valeur la valeur positionnelle.

Chaque rang a un nom précis. À gauche de la virgule, on compte les unités, les dizaines, les centaines, les milliers, les dizaines de milliers, etc. À droite de la virgule, on trouve les dixièmes (rang $\frac{1}{10}$), les centièmes (rang $\frac{1}{100}$), les millièmes (rang $\frac{1}{1000}$), et ainsi de suite.

Le tableau de numération est un outil très utile pour identifier la valeur de chaque chiffre :
$$\begin{array}{cccc|cccc}$$
\text{milliers} & \text{centaines} & \text{dizaines} & \text{unités} & \text{dixièmes} & \text{centièmes} & \text{millièmes}\\
\hline
2 & 4 & 0 & 5 & 7 & 3 & 1
\end{array}
Dans le nombre $2\,405{,}731$ : le chiffre $2$ vaut $2\,000$, le chiffre $4$ vaut $400$, le chiffre $0$ vaut $0$, le chiffre $5$ vaut $5$, le chiffre $7$ vaut $0{,}7$, le chiffre $3$ vaut $0{,}03$ et le chiffre $1$ vaut $0{,}001$.

Pour faciliter la lecture des grands nombres, on regroupe les chiffres par tranches de 3 en partant de la virgule vers la gauche. Ces tranches sont séparées par une espace (jamais par un point ni une virgule). Ainsi, $1\,234\,567$ se lit « un million deux cent trente-quatre mille cinq cent soixante-sept ».

L'écriture en lettres d'un nombre décimal suit des règles précises. La partie entière s'écrit normalement, puis on dit « virgule », puis on lit les chiffres de la partie décimale comme s'ils formaient un entier. Par exemple, $12{,}07$ se lit « douze virgule zéro sept ».

Atention : en France, le séparateur décimal est la virgule, contrairement aux pays anglophones qui utilisent un point. En mathématiques françaises, on écrira toujours $3{,}14$ et jamais $3.14$.

Pour comparer deux nombres décimaux, on procède méthodiquement :
1. On compare d'abord les parties entières : le nombre avec la plus grande partie entière est le plus grand.
2. Si les parties entières sont égales, on compare les chiffres après la virgule rang par rang, de gauche à droite (dixièmes, puis centièmes, puis millièmes…).

Une astuce pratique consiste à compléter par des zéros pour que les deux nombres aient le même nombre de décimales, puis à les comparer comme des entiers. Par exemple, pour comparer $3{,}4$ et $3{,}041$, on écrit $3{,}400$ et $3{,}041$ : comme $400 > 041$, on a $3{,}4 > 3{,}041$.

Ranger dans l'ordre croissant signifie aller du plus petit au plus grand. Ranger dans l'ordre décroissant signifie aller du plus grand au plus petit. On utilise les symboles $<$ (inférieur strict), $>$ (supérieur strict), $\leq$ (inférieur ou égal) et $\geq$ (supérieur ou égal).

Arrondir un nombre, c'est le remplacer par un nombre approché dont on précise la précision. On parle d'arrondi à l'unité près, au dixième près, au centième près, etc.

La règle d'arrondi est la suivante : on regarde le chiffre qui se trouve juste après le rang demandé.
- Si ce chiffre est inférieur à $5$ (c'est-à-dire $0, 1, 2, 3$ ou $4$), on garde le chiffre du rang demandé (on arrondit par défaut).
- Si ce chiffre est supérieur ou égal à $5$ (c'est-à-dire $5, 6, 7, 8$ ou $9$), on augmente de 1 le chiffre du rang demandé (on arrondit par excès).

Le signe $\approx$ (environ égal) est utilisé pour noter un arrondi. Par exemple : $\pi \approx 3{,}14$ (arrondi au centième près).

La droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi un point origine $O$ (correspondant à $0$) et une unité de longueur. Chaque point de la droite correspond à un nombre, et chaque nombre correspond à un point.

Pour placer un nombre décimal sur une droite graduée, on commence par identifier entre quels entiers il se trouve (encadrement à l'unité), puis on affine sa position. Par exemple, pour placer $2{,}6$, on sait que $2 < 2{,}6 < 3$, donc le point est situé à $\frac{6}{10}$ du segment $[2\,;\,3]$.

On peut lire la valeur d'un point sur une droite graduée en comptant le nombre de subdivisions et la valeur de chacune. Si un segment $[0\,;\,1]$ est divisé en $10$ parts égales, chaque petite graduation vaut $0{,}1$.