MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 05 · Seconde

Cours

Vecteurs

Notion de vecteur, opérations et colinéarité

Aller aux exercices →

Les vecteurs permettent de représenter des déplacements dans le plan de manière rigoureuse. Ils sont caractérisés par une direction, un sens et une longueur (norme), indépendamment de leur point d'application. En Seconde, on apprend à calculer les coordonnées d'un vecteur, à effectuer des opérations (addition, multiplication par un scalaire) et à utiliser la colinéarité pour démontrer des alignements ou des parallélismes.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

Passer aux exercicesVoir le programme du niveauLire les guides

Ce qu’il faut viser

  • Choisir la bonne propriété et la rédiger proprement.
  • Passer d’une figure à une démonstration ou à un calcul justifié.

Points de vigilance

  • Utiliser une propriété simplement parce que la figure “semble” la montrer.
  • Oublier de vérifier les conditions d’application.

1Définition et propriétés d'un vecteur

Un vecteur AB→\overrightarrow{AB} est défini par :
- sa direction (la droite (AB)(AB)),
- son sens (de AA vers BB),
- sa norme (longueur) ∥AB→∥=AB\|\overrightarrow{AB}\| = AB.

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Le point de départ n'importe pas.

Le vecteur nul 0→\overrightarrow{0} a une norme nulle ; on le note 0⃗\vec{0}.

Dans un repère (O ; i⃗, j⃗)(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j}), si A(xA ; yA)A(x_A\,;\,y_A) et B(xB ; yB)B(x_B\,;\,y_B), alors :
AB→=(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}

Définition

Vecteur

Objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme. Noté u→\overrightarrow{u} ou u⃗\vec{u}. Les vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.

Définition

Norme d'un vecteur

Si u⃗=(xy)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, alors ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}.

Définition

Vecteur opposé

−AB→=BA→-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}. Il a la même direction et norme, mais le sens opposé.
Exemple 1— Coordonnées d'un vecteur
Calculer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} avec A(1 ; 3)A(1\,;\,3) et B(4 ; −1)B(4\,;\,-1).

Solution

AB→=(4−1−1−3)=(3−4)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}
Norme : ∥AB→∥=32+(−4)2=9+16=25=5\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
  • AB→\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (xB−xA ; yB−yA)(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A).
  • Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.
  • ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}.

2Opérations sur les vecteurs

Addition (règle du parallélogramme) :
AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} (relation de Chasles).

En coordonnées : u⃗+v⃗=(xu+xvyu+yv)\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x_u + x_v \\ y_u + y_v \end{pmatrix}.

Multiplication par un scalaire :
ku⃗=(kxky)k\vec{u} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}. Si k>0k > 0, même sens ; si k<0k < 0, sens opposé.

Relation de Chasles : Pour tous points AA, BB, CC :
AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}
Exemple 1— Combinaison de vecteurs
Soit u⃗=(2−1)\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} et v⃗=(−34)\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}. Calculer 2u⃗−v⃗2\vec{u} - \vec{v}.

Solution

2u⃗−v⃗=(2×2−(−3)2×(−1)−4)=(7−6)2\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \times 2 - (-3) \\ 2 \times (-1) - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -6 \end{pmatrix}
  • Relation de Chasles : AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.
  • Addition coordonnée par coordonnée.
  • ku⃗k\vec{u} : chaque coordonnée multipliée par kk.

3Colinéarité et applications géométriques

Deux vecteurs u⃗=(xy)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v⃗=(x′y′)\vec{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si :
xy′−x′y=0xy' - x'y = 0

Cette quantité xy′−x′yxy' - x'y s'appelle le déterminant de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}.

Applications :
- Trois points AA, BB, CC sont alignés ⟺ AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
- Deux droites sont parallèles ⟺ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Exemple 1— Test d'alignement
Les points A(1 ; 2)A(1\,;\,2), B(3 ; 5)B(3\,;\,5), C(5 ; 8)C(5\,;\,8) sont-ils alignés ?

Solution

AB→=(23)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} et AC→=(46)\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}.
Déterminant : 2×6−4×3=12−12=02 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0.
Le déterminant est nul, donc les points AA, BB, CC sont alignés.
  • Colinéaires ⟺ xy′−x′y=0xy' - x'y = 0.
  • Alignement de AA, BB, CC ⟺ AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} colinéaires.
  • Droites parallèles ⟺ vecteurs directeurs colinéaires.

★ À retenir

  • 1
    AB→=(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}.
  • 2
    Relation de Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.
  • 3
    Colinéarité : xy′−x′y=0xy' - x'y = 0.
  • 4
    Trois points alignés ⟺ vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} colinéaires.

Prêt à pratiquer ?

Exercices — Vecteurs

Voir les exercices →

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 04

Équations du Second Degré

Discriminant, racines et signe du trinôme

Chapitre 06

Statistiques Descriptives

Moyenne, médiane, quartiles et écart-type

Chapitre 03

Fonctions Affines

Droites, coefficient directeur et équations de droites