MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 04 · Seconde

Équations du Second Degré

Discriminant, racines et signe du trinôme

1Facile

Résoudre une équation du second degré

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 2x2−5x−3=02x^2 - 5x - 3 = 0.

Correction détaillée

01

Calcul du discriminant

Pour ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 avec a=2a = 2, b=−5b = -5, c=−3c = -3 :
Δ=b2−4ac=(−5)2−4×2×(−3)=25+24=49\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49
02

Calcul des racines ($\Delta > 0$)

Δ=49>0\Delta = 49 > 0, donc il y a deux racines distinctes :
x1=−b−Δ2a=5−74=−24=−12x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
x2=−b+Δ2a=5+74=124=3x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3
03

Conclusion

L'ensemble solution est S={−12, 3}S = \left\{-\dfrac{1}{2},\ 3\right\}.
Vérification : 2(3)2−5(3)−3=18−15−3=02(3)^2 - 5(3) - 3 = 18 - 15 - 3 = 0 ✓
2Intermédiaire

Inéquation du second degré

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation x2−5x+6≤0x^2 - 5x + 6 \leq 0.

Correction détaillée

01

Recherche des racines du trinôme

Δ=25−24=1>0\Delta = 25 - 24 = 1 > 0.
x1=5−12=2x2=5+12=3x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3
Factorisation : x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
02

Tableau de signes

x−∞23+∞x−2−0++x−3−−0+(x−2)(x−3)+0−0+\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 2 & & 3 & & +\infty \\ \hline x - 2 & - & & 0 & + & & + \\ x - 3 & - & & & - & 0 & + \\ \hline (x-2)(x-3) & + & & 0 & - & 0 & + \end{array}
03

Conclusion

(x−2)(x−3)≤0(x-2)(x-3) \leq 0 quand x∈[2,3]x \in [2, 3] (produit négatif ou nul).
L'ensemble solution est S=[2,3]S = [2, 3].
3Facile

Discriminant nul et racine double

Énoncé

Étudier les équations suivantes selon la valeur du discriminant :
1. E1:x2−6x+9=0E_1 : x^2 - 6x + 9 = 0
2. E2:x2+x+1=0E_2 : x^2 + x + 1 = 0

Correction détaillée

01

Discriminant de $E_1$

a=1a = 1, b=−6b = -6, c=9c = 9 :
Δ=(−6)2−4×1×9=36−36=0\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0
Δ=0\Delta = 0 : l'équation admet une racine double :
x0=−b2a=62=3x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3
On retrouve la factorisation x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2.
02

Discriminant de $E_2$

a=1a = 1, b=1b = 1, c=1c = 1 :
Δ=12−4×1×1=1−4=−3\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3
Δ<0\Delta < 0 : l'équation E2E_2 n'admet aucune solution réelle.
03

Synthèse des trois cas possibles

Récapitulatif selon le signe de Δ\Delta pour ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 :
- Δ>0\Delta > 0 : deux racines réelles distinctes x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
- Δ=0\Delta = 0 : une racine double x0=−b2ax_0 = \dfrac{-b}{2a}
- Δ<0\Delta < 0 : aucune solution dans R\mathbb{R}
4Difficile

Problème du second degré — aire maximale

Énoncé

Un jardinier veut délimiter un rectangle avec 4040 m de clôture. Un côté du rectangle est adossé à un mur (pas de clôture de ce côté).
1. Si on note xx la longueur du côté perpendiculaire au mur, exprimer l'aire A(x)A(x) du rectangle.
2. Déterminer la valeur de xx qui maximise l'aire.
3. Calculer l'aire maximale et les dimensions correspondantes.

Correction détaillée

01

Expression de l'aire en fonction de $x$

Avec un côté adossé au mur, la clôture couvre deux côtés de longueur xx et un côté parallèle au mur de longueur ℓ\ell :
2x+ℓ=40⇒ℓ=40−2x2x + \ell = 40 \Rightarrow \ell = 40 - 2x
A(x)=x×ℓ=x(40−2x)=−2x2+40xA(x) = x \times \ell = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x
Domaine : x>0x > 0 et 40−2x>040 - 2x > 0, soit x∈]0,20[x \in ]0, 20[.
02

Recherche du maximum

A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x est un trinôme avec a=−2<0a = -2 < 0 : la parabole est tournée vers le bas, le sommet donne le maximum.
xsommet=−b2a=−402×(−2)=404=10 mx_{\text{sommet}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 \times (-2)} = \frac{40}{4} = 10 \text{ m}
03

Aire maximale et dimensions

A(10)=−2×100+40×10=−200+400=200 m2A(10) = -2 \times 100 + 40 \times 10 = -200 + 400 = 200 \text{ m}^2
Dimensions optimales : x=10x = 10 m (côtés perpendiculaires au mur) et ℓ=40−20=20\ell = 40 - 20 = 20 m (côté parallèle au mur).
L'aire maximale est 200200 m².