MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 04 · Seconde

Équations du Second Degré

Discriminant, racines et signe du trinôme

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Travailler Équations du Second Degré en Seconde

Ce chapitre de équations du second degré en seconde te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Reprendre les bases de seconde liées à équations du second degré.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de équations du second degré.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Facile

Résoudre une équation du second degré

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Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 2x2−5x−3=02x^2 - 5x - 3 = 0.

Correction détaillée

01

Calcul du discriminant

Pour ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 avec a=2a = 2, b=−5b = -5, c=−3c = -3 :
Δ=b2−4ac=(−5)2−4×2×(−3)=25+24=49\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49
02

Calcul des racines ($\Delta > 0$)

Δ=49>0\Delta = 49 > 0, donc il y a deux racines distinctes :
x1=−b−Δ2a=5−74=−24=−12x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
x2=−b+Δ2a=5+74=124=3x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3
03

Conclusion

L'ensemble solution est S={−12, 3}S = \left\{-\dfrac{1}{2},\ 3\right\}.
Vérification : 2(3)2−5(3)−3=18−15−3=02(3)^2 - 5(3) - 3 = 18 - 15 - 3 = 0 ✓
2Intermédiaire

Inéquation du second degré

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Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation x2−5x+6≤0x^2 - 5x + 6 \leq 0.

Correction détaillée

01

Recherche des racines du trinôme

Δ=25−24=1>0\Delta = 25 - 24 = 1 > 0.
x1=5−12=2x2=5+12=3x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3
Factorisation : x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
02

Tableau de signes

x−∞23+∞x−2−0++x−3−−0+(x−2)(x−3)+0−0+\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 2 & & 3 & & +\infty \\ \hline x - 2 & - & & 0 & + & & + & \\ x - 3 & - & & & - & 0 & + & \\ \hline (x-2)(x-3) & + & & 0 & - & 0 & + & \end{array}
03

Conclusion

(x−2)(x−3)≤0(x-2)(x-3) \leq 0 quand x∈[2,3]x \in [2, 3] (produit négatif ou nul).
L'ensemble solution est S=[2,3]S = [2, 3].
3Facile

Discriminant nul et racine double

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Énoncé

Étudier les équations suivantes selon la valeur du discriminant :
1. E1:x2−6x+9=0E_1 : x^2 - 6x + 9 = 0
2. E2:x2+x+1=0E_2 : x^2 + x + 1 = 0

Correction détaillée

01

Discriminant de $E_1$

a=1a = 1, b=−6b = -6, c=9c = 9 :
Δ=(−6)2−4×1×9=36−36=0\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0
Δ=0\Delta = 0 : l'équation admet une racine double :
x0=−b2a=62=3x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3
On retrouve la factorisation x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2.
02

Discriminant de $E_2$

a=1a = 1, b=1b = 1, c=1c = 1 :
Δ=12−4×1×1=1−4=−3\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3
Δ<0\Delta < 0 : l'équation E2E_2 n'admet aucune solution réelle.
03

Synthèse des trois cas possibles

Récapitulatif selon le signe de Δ\Delta pour ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 :
- Δ>0\Delta > 0 : deux racines réelles distinctes x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
- Δ=0\Delta = 0 : une racine double x0=−b2ax_0 = \dfrac{-b}{2a}
- Δ<0\Delta < 0 : aucune solution dans R\mathbb{R}
4Difficile

Problème du second degré — aire maximale

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Énoncé

Un jardinier veut délimiter un rectangle avec 4040 m de clôture. Un côté du rectangle est adossé à un mur (pas de clôture de ce côté).
1. Si on note xx la longueur du côté perpendiculaire au mur, exprimer l'aire A(x)A(x) du rectangle.
2. Déterminer la valeur de xx qui maximise l'aire.
3. Calculer l'aire maximale et les dimensions correspondantes.

Correction détaillée

01

Expression de l'aire en fonction de $x$

Avec un côté adossé au mur, la clôture couvre deux côtés de longueur xx et un côté parallèle au mur de longueur ℓ\ell :
2x+ℓ=40⇒ℓ=40−2x2x + \ell = 40 \Rightarrow \ell = 40 - 2x
A(x)=x×ℓ=x(40−2x)=−2x2+40xA(x) = x \times \ell = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x
Domaine : x>0x > 0 et 40−2x>040 - 2x > 0, soit x∈]0,20[x \in ]0, 20[.
02

Recherche du maximum

A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x est un trinôme avec a=−2<0a = -2 < 0 : la parabole est tournée vers le bas, le sommet donne le maximum.
xsommet=−b2a=−402×(−2)=404=10 mx_{\text{sommet}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 \times (-2)} = \frac{40}{4} = 10 \text{ m}
03

Aire maximale et dimensions

A(10)=−2×100+40×10=−200+400=200 m2A(10) = -2 \times 100 + 40 \times 10 = -200 + 400 = 200 \text{ m}^2
Dimensions optimales : x=10x = 10 m (côtés perpendiculaires au mur) et ℓ=40−20=20\ell = 40 - 20 = 20 m (côté parallèle au mur).
L'aire maximale est 200200 m².
5Facile

Équation déjà factorisée

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Énoncé

Résoudre (x−7)(x+2)=0(x-7)(x+2)=0.

Correction détaillée

01

Principe

Un produit est nul si l’un des facteurs est nul.
02

Solutions

x−7=0⇒x=7x+2=0⇒x=−2x-7=0 \Rightarrow x=7 \qquad x+2=0 \Rightarrow x=-2
6Facile

Trinôme factorisable

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Énoncé

Résoudre x2−9x+20=0x^2-9x+20=0.

Correction détaillée

01

Recherche de deux nombres

On cherche deux nombres de somme 99 et de produit 2020 : 44 et 55.
02

Factorisation

x2−9x+20=(x−4)(x−5)x^2-9x+20=(x-4)(x-5)
Donc x=4x=4 ou x=5x=5.
7Intermédiaire

Discriminant négatif

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Énoncé

Étudier l’équation 3x2+2x+5=03x^2+2x+5=0.

Correction détaillée

01

Calcul du discriminant

Δ=22−4×3×5=4−60=−56\Delta = 2^2 - 4\times 3\times 5 = 4-60=-56
02

Conclusion

Comme Δ<0\Delta<0, l’équation n’admet aucune solution réelle.
8Facile

Racine double

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Énoncé

Résoudre 4x2−12x+9=04x^2-12x+9=0.

Correction détaillée

01

Discriminant

Δ=(−12)2−4×4×9=144−144=0\Delta = (-12)^2 - 4\times 4\times 9 = 144-144=0
02

Solution

x0=−b2a=128=32x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{8}=\frac{3}{2}
Il y a une racine double : x=32\mathbf{x=\frac{3}{2}}.
9Intermédiaire

Sommet d’un trinôme

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Énoncé

Déterminer le sommet de la parabole f(x)=x2−4x+1f(x)=x^2-4x+1.

Correction détaillée

01

Abscisse du sommet

xS=−b2a=42=2x_S=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2
02

Ordonnée du sommet

f(2)=4−8+1=−3f(2)=4-8+1=-3
Le sommet est S(2,−3)\mathbf{S(2,-3)}.
10Intermédiaire

Forme canonique

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Énoncé

Mettre f(x)=x2+6x+5f(x)=x^2+6x+5 sous forme canonique, puis résoudre f(x)=0f(x)=0.

Correction détaillée

01

Compléter le carré

x2+6x+5=(x+3)2−9+5=(x+3)2−4x^2+6x+5=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4
02

Résolution

(x+3)2−4=0⇒(x+3)2=4⇒x+3=±2(x+3)^2-4=0 \Rightarrow (x+3)^2=4 \Rightarrow x+3=\pm 2
Donc x=−5x=-5 ou x=−1x=-1.
11Intermédiaire

Signe d’un trinôme

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Énoncé

Étudier le signe de f(x)=x2−x−6f(x)=x^2-x-6.

Correction détaillée

01

Racines

x2−x−6=(x−3)(x+2)x^2-x-6=(x-3)(x+2)
Les racines sont −2-2 et 33.
02

Conclusion

Comme le coefficient de x2x^2 est positif, ff est positive à l’extérieur des racines et négative entre elles.
Ainsi f(x)≤0f(x)\le 0 sur [−2,3][-2,3].
12Difficile

Paramètre et discriminant

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Énoncé

Pour quelle valeur de mm l’équation x2−4x+m=0x^2-4x+m=0 admet-elle une racine double ?

Correction détaillée

01

Condition

Il faut Δ=0\Delta=0.
02

Calcul

Δ=(−4)2−4m=16−4m\Delta = (-4)^2 - 4m = 16-4m
16−4m=0⇒m=416-4m=0 \Rightarrow m=4
13Intermédiaire

Résoudre une inéquation

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Énoncé

Résoudre x2−4x+3>0x^2-4x+3>0.

Correction détaillée

01

Factoriser

x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2-4x+3=(x-1)(x-3)
02

Signe du produit

Le produit est positif en dehors des racines.
Ainsi la solution est ]−∞,1[∪]3,+∞[]-\infty,1[\cup]3,+\infty[.
14Difficile

Aire d’un rectangle

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Énoncé

Un rectangle a pour côtés xx et 12−x12-x.
1. Exprimer son aire.
2. Pour quelle valeur de xx l’aire est-elle maximale ?

Correction détaillée

01

Expression

A(x)=x(12−x)=−x2+12xA(x)=x(12-x)=-x^2+12x
02

Maximum

La parabole est tournée vers le bas. Son sommet a pour abscisse
xS=−122(−1)=6x_S=-\frac{12}{2(-1)}=6
L’aire est maximale pour x=6\mathbf{x=6}.
15Difficile

Somme et produit des racines

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Énoncé

On sait que x1x_1 et x2x_2 sont les racines de x2−7x+10=0x^2-7x+10=0.
1. Déterminer x1x_1 et x2x_2.
2. Vérifier leur somme et leur produit.

Correction détaillée

01

Résolution

x2−7x+10=(x−5)(x−2)x^2-7x+10=(x-5)(x-2)
Donc les racines sont 22 et 55.
02

Vérification

x1+x2=2+5=7x1x2=2×5=10x_1+x_2=2+5=7 \qquad x_1x_2=2\times 5=10

Suivi personnel

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15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

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Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 03

Fonctions Affines

Droites, coefficient directeur et équations de droites

Chapitre 05

Vecteurs dans le Plan

Coordonnées, norme, colinéarité et translations

Chapitre 02

Fonctions — Généralités

Image, antécédent, domaine de définition et représentation graphique