MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 03 · Seconde

Fonctions Affines

Droites, coefficient directeur et équations de droites

1Facile

Équation d'une droite passant par deux points

Énoncé

Déterminer l'équation de la droite (AB)(AB) passant par A(−2,5)A(-2, 5) et B(4,−1)B(4, -1).

Correction détaillée

01

Calcul du coefficient directeur

a=yB−yAxB−xA=−1−54−(−2)=−66=−1a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-1 - 5}{4 - (-2)} = \frac{-6}{6} = -1
02

Équation de la forme $y = ax + b$

On sait a=−1a = -1, donc y=−x+by = -x + b. On substitue le point A(−2,5)A(-2, 5) :
5=−(−2)+b  ⟹  5=2+b  ⟹  b=35 = -(-2) + b \implies 5 = 2 + b \implies b = 3
03

Vérification et conclusion

Vérification avec B(4,−1)B(4, -1) : y=−4+3=−1y = -4 + 3 = -1. ✓
L'équation de la droite (AB)(AB) est y=−x+3\mathbf{y = -x + 3}.
2Intermédiaire

Position relative de deux droites

Énoncé

On considère les droites d1:y=2x−3d_1 : y = 2x - 3 et d2:4x−2y+1=0d_2 : 4x - 2y + 1 = 0.
1. Ces droites sont-elles parallèles, sécantes ou confondues ?
2. Si elles sont sécantes, trouver leur point d'intersection.

Correction détaillée

01

Mise sous forme $y = ax + b$ de $d_2$

4x−2y+1=0  ⟹  2y=4x+1  ⟹  y=2x+124x - 2y + 1 = 0 \implies 2y = 4x + 1 \implies y = 2x + \dfrac{1}{2}.
Donc d2:y=2x+12d_2 : y = 2x + \frac{1}{2}.
02

Comparaison des coefficients directeurs

d1d_1 et d2d_2 ont le même coefficient directeur a=2a = 2 mais des ordonnées à l'origine différentes (−3≠12-3 \neq \frac{1}{2}). Les droites sont parallèles et distinctes.
03

Conclusion

Deux droites parallèles distinctes n'ont aucun point d'intersection. Le système {y=2x−3y=2x+12\begin{cases} y = 2x - 3 \\ y = 2x + \frac{1}{2} \end{cases} est incompatible.
3Facile

Intersection de droites sécantes

Énoncé

On considère les droites d1:y=3x−2d_1 : y = 3x - 2 et d2:y=−x+6d_2 : y = -x + 6.
1. Montrer que d1d_1 et d2d_2 sont sécantes.
2. Calculer les coordonnées de leur point d'intersection PP.
3. Vérifier que PP appartient bien aux deux droites.

Correction détaillée

01

Vérification que les droites sont sécantes

d1d_1 a un coefficient directeur a1=3a_1 = 3 et d2d_2 a un coefficient directeur a2=−1a_2 = -1.
Comme a1≠a2a_1 \neq a_2, les droites ne sont pas parallèles : elles sont donc sécantes en un unique point.
02

Résolution du système

On cherche PP en résolvant 3x−2=−x+63x - 2 = -x + 6 :
3x+x=6+2  ⟹  4x=8  ⟹  x=23x + x = 6 + 2 \implies 4x = 8 \implies x = 2
y=3×2−2=4y = 3 \times 2 - 2 = 4
Le point d'intersection est P(2,4)P(2, 4).
03

Vérification dans les deux équations

Dans d1d_1 : y=3×2−2=4y = 3 \times 2 - 2 = 4 ✓
Dans d2d_2 : y=−2+6=4y = -2 + 6 = 4 ✓
Le point P(2,4)P(2, 4) appartient bien aux deux droites.
4Intermédiaire

Droites parallèles et problème concret

Énoncé

Un plombier facture ses prestations avec deux tarifs :
- Tarif A : 4040 € de déplacement fixe, puis 3030 € par heure.
- Tarif B : pas de frais de déplacement, mais 5050 € par heure.
1. Exprimer le coût total CA(h)C_A(h) et CB(h)C_B(h) en fonction du nombre d'heures hh.
2. Pour quelle durée les deux tarifs reviennent-ils au même prix ?
3. Quel tarif est préférable pour une prestation de 3 heures ? de 5 heures ?

Correction détaillée

01

Expressions des fonctions affines

CA(h)=30h+40CB(h)=50hC_A(h) = 30h + 40 \qquad C_B(h) = 50h
CAC_A est une fonction affine de pente 3030 et d'ordonnée à l'origine 4040.
CBC_B est une fonction linéaire (proportionnelle) de pente 5050.
02

Égalité des tarifs

On résout CA(h)=CB(h)C_A(h) = C_B(h) :
30h+40=50h  ⟹  40=20h  ⟹  h=230h + 40 = 50h \implies 40 = 20h \implies h = 2
Pour exactement 2 heures, les deux tarifs coûtent le même prix : CB(2)=100C_B(2) = 100 €.
03

Comparaison selon la durée

- h=3h = 3 h : CA(3)=90+40=130C_A(3) = 90 + 40 = 130 €, CB(3)=150C_B(3) = 150 € → Tarif A moins cher.
- h=5h = 5 h : CA(5)=150+40=190C_A(5) = 150 + 40 = 190 €, CB(5)=250C_B(5) = 250 € → Tarif A encore moins cher.
Pour h>2h > 2, le tarif A est toujours avantageux (pente plus faible).