MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 03 · Seconde

Fonctions Affines

Droites, coefficient directeur et équations de droites

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Travailler Fonctions Affines en Seconde

Ce chapitre de fonctions affines en seconde te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Relier expression, tableau et lecture graphique.
  • Identifier le type de question: image, antécédent, signe ou variation.

Compétences à maîtriser

  • Lire et exploiter une fonction dans plusieurs représentations.
  • Rédiger une conclusion claire à partir d’un tableau ou d’un calcul.

Erreurs fréquentes

  • Confondre image et antécédent.
  • Conclure sans citer le signe ou le tableau étudié.

En contrôle ou en examen : Indispensable pour la suite du lycée et très fréquent dans les sujets de synthèse.

1Facile

Équation d'une droite passant par deux points

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Énoncé

Déterminer l'équation de la droite (AB)(AB) passant par A(−2,5)A(-2, 5) et B(4,−1)B(4, -1).

Correction détaillée

01

Calcul du coefficient directeur

a=yB−yAxB−xA=−1−54−(−2)=−66=−1a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-1 - 5}{4 - (-2)} = \frac{-6}{6} = -1
02

Équation de la forme $y = ax + b$

On sait a=−1a = -1, donc y=−x+by = -x + b. On substitue le point A(−2,5)A(-2, 5) :
5=−(−2)+b  ⟹  5=2+b  ⟹  b=35 = -(-2) + b \implies 5 = 2 + b \implies b = 3
03

Vérification et conclusion

Vérification avec B(4,−1)B(4, -1) : y=−4+3=−1y = -4 + 3 = -1. ✓
L'équation de la droite (AB)(AB) est y=−x+3\mathbf{y = -x + 3}.
2Intermédiaire

Position relative de deux droites

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Énoncé

On considère les droites d1:y=2x−3d_1 : y = 2x - 3 et d2:4x−2y+1=0d_2 : 4x - 2y + 1 = 0.
1. Ces droites sont-elles parallèles, sécantes ou confondues ?
2. Si elles sont sécantes, trouver leur point d'intersection.

Correction détaillée

01

Mise sous forme $y = ax + b$ de $d_2$

4x−2y+1=0  ⟹  2y=4x+1  ⟹  y=2x+124x - 2y + 1 = 0 \implies 2y = 4x + 1 \implies y = 2x + \dfrac{1}{2}.
Donc d2:y=2x+12d_2 : y = 2x + \frac{1}{2}.
02

Comparaison des coefficients directeurs

d1d_1 et d2d_2 ont le même coefficient directeur a=2a = 2 mais des ordonnées à l'origine différentes (−3≠12-3 \neq \frac{1}{2}). Les droites sont parallèles et distinctes.
03

Conclusion

Deux droites parallèles distinctes n'ont aucun point d'intersection. Le système {y=2x−3y=2x+12\begin{cases} y = 2x - 3 \\ y = 2x + \frac{1}{2} \end{cases} est incompatible.
3Facile

Intersection de droites sécantes

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Énoncé

On considère les droites d1:y=3x−2d_1 : y = 3x - 2 et d2:y=−x+6d_2 : y = -x + 6.
1. Montrer que d1d_1 et d2d_2 sont sécantes.
2. Calculer les coordonnées de leur point d'intersection PP.
3. Vérifier que PP appartient bien aux deux droites.

Correction détaillée

01

Vérification que les droites sont sécantes

d1d_1 a un coefficient directeur a1=3a_1 = 3 et d2d_2 a un coefficient directeur a2=−1a_2 = -1.
Comme a1≠a2a_1 \neq a_2, les droites ne sont pas parallèles : elles sont donc sécantes en un unique point.
02

Résolution du système

On cherche PP en résolvant 3x−2=−x+63x - 2 = -x + 6 :
3x+x=6+2  ⟹  4x=8  ⟹  x=23x + x = 6 + 2 \implies 4x = 8 \implies x = 2
y=3×2−2=4y = 3 \times 2 - 2 = 4
Le point d'intersection est P(2,4)P(2, 4).
03

Vérification dans les deux équations

Dans d1d_1 : y=3×2−2=4y = 3 \times 2 - 2 = 4 ✓
Dans d2d_2 : y=−2+6=4y = -2 + 6 = 4 ✓
Le point P(2,4)P(2, 4) appartient bien aux deux droites.
4Intermédiaire

Droites parallèles et problème concret

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Énoncé

Un plombier facture ses prestations avec deux tarifs :
- Tarif A : 4040 € de déplacement fixe, puis 3030 € par heure.
- Tarif B : pas de frais de déplacement, mais 5050 € par heure.
1. Exprimer le coût total CA(h)C_A(h) et CB(h)C_B(h) en fonction du nombre d'heures hh.
2. Pour quelle durée les deux tarifs reviennent-ils au même prix ?
3. Quel tarif est préférable pour une prestation de 3 heures ? de 5 heures ?

Correction détaillée

01

Expressions des fonctions affines

CA(h)=30h+40CB(h)=50hC_A(h) = 30h + 40 \qquad C_B(h) = 50h
CAC_A est une fonction affine de pente 3030 et d'ordonnée à l'origine 4040.
CBC_B est une fonction linéaire (proportionnelle) de pente 5050.
02

Égalité des tarifs

On résout CA(h)=CB(h)C_A(h) = C_B(h) :
30h+40=50h  ⟹  40=20h  ⟹  h=230h + 40 = 50h \implies 40 = 20h \implies h = 2
Pour exactement 2 heures, les deux tarifs coûtent le même prix : CB(2)=100C_B(2) = 100 €.
03

Comparaison selon la durée

- h=3h = 3 h : CA(3)=90+40=130C_A(3) = 90 + 40 = 130 €, CB(3)=150C_B(3) = 150 € → Tarif A moins cher.
- h=5h = 5 h : CA(5)=150+40=190C_A(5) = 150 + 40 = 190 €, CB(5)=250C_B(5) = 250 € → Tarif A encore moins cher.
Pour h>2h > 2, le tarif A est toujours avantageux (pente plus faible).
5Facile

Lire coefficient directeur et ordonnée à l’origine

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Énoncé

Pour chacune des fonctions suivantes, donner le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine :
1. f(x)=3x−4f(x)=3x-4
2. g(x)=−12x+7g(x)=-\dfrac{1}{2}x+7

Correction détaillée

01

Identification

Dans ax+bax+b, le coefficient directeur est aa et l’ordonnée à l’origine est bb.
02

Réponses

f:a=3, b=−4g:a=−12, b=7f : a=3,\ b=-4 \qquad g : a=-\frac{1}{2},\ b=7
6Intermédiaire

Déterminer une fonction affine par deux valeurs

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Énoncé

Déterminer la fonction affine f(x)=ax+bf(x)=ax+b telle que f(0)=3f(0)=3 et f(2)=9f(2)=9.

Correction détaillée

01

Trouver $b$

f(0)=b=3f(0)=b=3
02

Trouver $a$

f(2)=2a+3=9⇒2a=6⇒a=3f(2)=2a+3=9 \Rightarrow 2a=6 \Rightarrow a=3
Donc f(x)=3x+3\mathbf{f(x)=3x+3}.
7Facile

Tracer par un tableau de valeurs

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Énoncé

Pour la fonction h(x)=−2x+1h(x)=-2x+1, calculer les images de −1-1, 00 et 22.

Correction détaillée

01

Calcul

h(−1)=3h(0)=1h(2)=−3h(-1)=3 \qquad h(0)=1 \qquad h(2)=-3
02

Points obtenus

La droite passe par (−1,3)(-1,3), (0,1)(0,1) et (2,−3)(2,-3).
8Facile

Vérifier l’appartenance à une droite

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Énoncé

Le point M(3,5)M(3,5) appartient-il à la droite d:y=2x−1d : y = 2x-1 ?

Correction détaillée

01

Substitution

Si MM appartient à dd, ses coordonnées doivent vérifier l’équation.
2×3−1=52\times 3 - 1 = 5
02

Conclusion

On obtient bien l’ordonnée de MM, donc M∈d\mathbf{M\in d}.
9Facile

Fonction constante et variation

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Énoncé

Étudier la fonction u(x)=4u(x)=4 : coefficient directeur, ordonnée à l’origine et variation.

Correction détaillée

01

Écriture affine

On écrit u(x)=0x+4u(x)=0x+4.
02

Conclusion

Le coefficient directeur vaut 00, l’ordonnée à l’origine vaut 44 et la fonction est constante.
10Intermédiaire

Intersection de deux fonctions affines

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Énoncé

Déterminer le point d’intersection des droites y=4x+1y=4x+1 et y=−2x+13y=-2x+13.

Correction détaillée

01

Résolution

4x+1=−2x+13⇒6x=12⇒x=24x+1=-2x+13 \Rightarrow 6x=12 \Rightarrow x=2
02

Ordonnée

y=4×2+1=9y=4\times 2+1=9
Le point d’intersection est (2,9)\mathbf{(2,9)}.
11Intermédiaire

Parallélisme

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Énoncé

Les droites d1:y=−3x+2d_1 : y = -3x+2 et d2:6x+2y−10=0d_2 : 6x + 2y - 10 = 0 sont-elles parallèles ?

Correction détaillée

01

Mettre $d_2$ sous forme réduite

6x+2y−10=0⇒2y=−6x+10⇒y=−3x+56x+2y-10=0 \Rightarrow 2y=-6x+10 \Rightarrow y=-3x+5
02

Comparer

Les deux droites ont le même coefficient directeur −3-3 et des ordonnées à l’origine différentes.
Elles sont donc parallèles distinctes.
12Intermédiaire

Signe de la différence de deux fonctions affines

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Énoncé

Étudier le signe de f(x)−g(x)f(x)-g(x) avec f(x)=5x−2f(x)=5x-2 et g(x)=2x+4g(x)=2x+4.

Correction détaillée

01

Calcul de la différence

f(x)−g(x)=5x−2−(2x+4)=3x−6=3(x−2)f(x)-g(x)=5x-2-(2x+4)=3x-6=3(x-2)
02

Conclusion

Le signe est celui de x−2x-2.
Ainsi f(x)>g(x)f(x)>g(x) si x>2x>2, égalité pour x=2x=2, et f(x)<g(x)f(x)<g(x) si x<2x<2.
13Difficile

Choisir le bon modèle affine

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Énoncé

Un parking facture 6 € d’entrée puis 1,5 € par heure.
1. Donner la fonction coût C(h)C(h).
2. Calculer le prix pour 4 h.
3. Déterminer la durée correspondant à 15 €.

Correction détaillée

01

Modélisation

C(h)=1,5h+6C(h)=1{,}5h+6
02

Applications

C(4)=12C(4)=12
1,5h+6=15⇒1,5h=9⇒h=61{,}5h+6=15 \Rightarrow 1{,}5h=9 \Rightarrow h=6
14Intermédiaire

Droite passant par un point avec pente donnée

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Énoncé

Déterminer l’équation de la droite de coefficient directeur 22 passant par A(1,−3)A(1,-3).

Correction détaillée

01

Forme de départ

On cherche y=2x+by=2x+b.
02

Utiliser le point

−3=2×1+b⇒b=−5-3=2\times 1+b \Rightarrow b=-5
Donc la droite a pour équation y=2x−5\mathbf{y=2x-5}.
15Difficile

Comparer des tarifs croisés

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Énoncé

Deux abonnements sont proposés :
- Offre A : 1212 € par mois.
- Offre B : 55 € fixes puis 77 € par mois.
1. Écrire les fonctions correspondantes.
2. À partir de combien de mois l’offre A devient-elle la moins chère ?

Correction détaillée

01

Fonctions

A(x)=12xB(x)=7x+5A(x)=12x \qquad B(x)=7x+5
02

Comparaison

12x<7x+5⇒5x<5⇒x<112x<7x+5 \Rightarrow 5x<5 \Rightarrow x<1
Pour un nombre entier de mois, les deux offres sont égales pour 11 mois et l’offre B est ensuite moins chère.
Il n’y a donc pas de durée entière positive à partir de laquelle A devient moins chère.

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 02

Fonctions — Généralités

Image, antécédent, domaine de définition et représentation graphique

Chapitre 04

Équations du Second Degré

Discriminant, racines et signe du trinôme

Chapitre 01

Calcul Algébrique

Développement, factorisation et identités remarquables