MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 02 · Seconde

Fonctions — Généralités

Image, antécédent, domaine de définition et représentation graphique

1Facile

Images, antécédents et domaine de définition

Énoncé

Soit f(x)=x+3x−1f(x) = \dfrac{x + 3}{x - 1}.
1. Déterminer le domaine de définition DfD_f.
2. Calculer f(0)f(0), f(3)f(3) et f(−1)f(-1).
3. Résoudre f(x)=2f(x) = 2 pour trouver les antécédents de 22.

Correction détaillée

01

Domaine de définition

La fraction est définie quand le dénominateur est non nul : x−1≠0x - 1 \neq 0, soit x≠1x \neq 1.
Df=R∖{1}=]−∞,1[∪]1,+∞[D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} = ]-\infty, 1[ \cup ]1, +\infty[
02

Calcul des images

f(0)=0+30−1=3−1=−3f(0) = \frac{0+3}{0-1} = \frac{3}{-1} = -3
f(3)=3+33−1=62=3f(3) = \frac{3+3}{3-1} = \frac{6}{2} = 3
f(−1)=−1+3−1−1=2−2=−1f(-1) = \frac{-1+3}{-1-1} = \frac{2}{-2} = -1
03

Résolution de $f(x) = 2$

x+3x−1=2  ⟹  x+3=2(x−1)  ⟹  x+3=2x−2  ⟹  x=5\frac{x+3}{x-1} = 2 \implies x + 3 = 2(x-1) \implies x + 3 = 2x - 2 \implies x = 5
55 est l'unique antécédent de 22 par ff.
2Intermédiaire

Parité et monotonie

Énoncé

Soit g(x)=x3−4xg(x) = x^3 - 4x définie sur R\mathbb{R}.
1. Montrer que gg est une fonction impaire.
2. Étudier le signe de g′(x)g'(x) et dresser le tableau de variations de gg.

Correction détaillée

01

Parité de $g$

On calcule g(−x)g(-x) et on compare à −g(x)-g(x) :
g(−x)=(−x)3−4(−x)=−x3+4x=−(x3−4x)=−g(x)g(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) = -g(x)
Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x). gg est impaire (symétrie par rapport à l'origine).
02

Dérivée de $g$

g′(x)=3x2−4g'(x) = 3x^2 - 4
g′(x)=0⇔x2=43⇔x=±23=±233g'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}} = \pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}
03

Tableau de variations

g′(x)=3(x2−43)>0⇔∣x∣>233g'(x) = 3(x^2 - \frac{4}{3}) > 0 \Leftrightarrow |x| > \frac{2\sqrt{3}}{3}.
x−∞−233233+∞g′(x)+0−0+g(x)↗↘↗\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & -\frac{2\sqrt{3}}{3} & & \frac{2\sqrt{3}}{3} & +\infty \\ \hline g'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline g(x) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array}
3Facile

Lecture graphique et domaine de définition

Énoncé

Soit h(x)=2x−4h(x) = \sqrt{2x - 4}.
1. Déterminer le domaine de définition DhD_h.
2. Calculer h(2)h(2), h(4)h(4) et h(6)h(6).
3. Résoudre h(x)=4h(x) = 4 et interpréter le résultat.

Correction détaillée

01

Domaine de définition

La racine carrée est définie pour des radicandes positifs ou nuls :
2x−4≥0⇔2x≥4⇔x≥22x - 4 \geq 0 \Leftrightarrow 2x \geq 4 \Leftrightarrow x \geq 2
Dh=[2,+∞[D_h = [2, +\infty[
02

Calcul des images

h(2)=2×2−4=0=0h(2) = \sqrt{2 \times 2 - 4} = \sqrt{0} = 0
h(4)=2×4−4=4=2h(4) = \sqrt{2 \times 4 - 4} = \sqrt{4} = 2
h(6)=2×6−4=8=22h(6) = \sqrt{2 \times 6 - 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
03

Résolution de $h(x) = 4$

2x−4=4⇔2x−4=16(on eˊleˋve au carreˊ, valide car 4≥0)\sqrt{2x - 4} = 4 \Leftrightarrow 2x - 4 = 16 \quad (\text{on élève au carré, valide car } 4 \geq 0)
2x=20⇒x=102x = 20 \Rightarrow x = 10
L'unique antécédent de 44 par hh est x=10x = 10.
4Intermédiaire

Comparaison de fonctions et encadrement

Énoncé

On considère les fonctions f(x)=x2f(x) = x^2 et g(x)=2x−1g(x) = 2x - 1 sur R\mathbb{R}.
1. Résoudre f(x)=g(x)f(x) = g(x).
2. Étudier le signe de f(x)−g(x)f(x) - g(x) et déterminer quand f(x)>g(x)f(x) > g(x).
3. En déduire les positions relatives des courbes Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g.

Correction détaillée

01

Résolution de $f(x) = g(x)$

x2=2x−1⇔x2−2x+1=0⇔(x−1)2=0x^2 = 2x - 1 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^2 = 0
x=1(racine double)x = 1 \quad (\text{racine double})
Les courbes se touchent en un unique point : (1,1)(1, 1).
02

Signe de $f(x) - g(x)$

f(x)−g(x)=x2−2x+1=(x−1)2≥0pour tout x∈Rf(x) - g(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}
(x−1)2=0(x-1)^2 = 0 uniquement en x=1x = 1, donc f(x)>g(x)f(x) > g(x) pour tout x≠1x \neq 1.
03

Positions relatives des courbes

Puisque f(x)−g(x)≥0f(x) - g(x) \geq 0 pour tout xx, la parabole Cf\mathcal{C}_f est au-dessus de la droite Cg\mathcal{C}_g sur tout R\mathbb{R}, sauf en x=1x = 1 où elles se touchent sans se croiser (point de tangence).