MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 02 · Seconde

Fonctions — Généralités

Image, antécédent, domaine de définition et représentation graphique

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Travailler Fonctions — Généralités en Seconde

Ce chapitre de fonctions — généralités en seconde te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Relier expression, tableau et lecture graphique.
  • Identifier le type de question: image, antécédent, signe ou variation.

Compétences à maîtriser

  • Lire et exploiter une fonction dans plusieurs représentations.
  • Rédiger une conclusion claire à partir d’un tableau ou d’un calcul.

Erreurs fréquentes

  • Confondre image et antécédent.
  • Conclure sans citer le signe ou le tableau étudié.

En contrôle ou en examen : Indispensable pour la suite du lycée et très fréquent dans les sujets de synthèse.

1Facile

Images, antécédents et domaine de définition

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Énoncé

Soit f(x)=x+3x−1f(x) = \dfrac{x + 3}{x - 1}.
1. Déterminer le domaine de définition DfD_f.
2. Calculer f(0)f(0), f(3)f(3) et f(−1)f(-1).
3. Résoudre f(x)=2f(x) = 2 pour trouver les antécédents de 22.

Correction détaillée

01

Domaine de définition

La fraction est définie quand le dénominateur est non nul : x−1≠0x - 1 \neq 0, soit x≠1x \neq 1.
Df=R∖{1}=]−∞,1[∪]1,+∞[D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} = ]-\infty, 1[ \cup ]1, +\infty[
02

Calcul des images

f(0)=0+30−1=3−1=−3f(0) = \frac{0+3}{0-1} = \frac{3}{-1} = -3
f(3)=3+33−1=62=3f(3) = \frac{3+3}{3-1} = \frac{6}{2} = 3
f(−1)=−1+3−1−1=2−2=−1f(-1) = \frac{-1+3}{-1-1} = \frac{2}{-2} = -1
03

Résolution de $f(x) = 2$

x+3x−1=2  ⟹  x+3=2(x−1)  ⟹  x+3=2x−2  ⟹  x=5\frac{x+3}{x-1} = 2 \implies x + 3 = 2(x-1) \implies x + 3 = 2x - 2 \implies x = 5
55 est l'unique antécédent de 22 par ff.
2Intermédiaire

Parité et monotonie

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Énoncé

Soit g(x)=x3−4xg(x) = x^3 - 4x définie sur R\mathbb{R}.
1. Montrer que gg est une fonction impaire.
2. Étudier le signe de g′(x)g'(x) et dresser le tableau de variations de gg.

Correction détaillée

01

Parité de $g$

On calcule g(−x)g(-x) et on compare à −g(x)-g(x) :
g(−x)=(−x)3−4(−x)=−x3+4x=−(x3−4x)=−g(x)g(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) = -g(x)
Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x). gg est impaire (symétrie par rapport à l'origine).
02

Dérivée de $g$

g′(x)=3x2−4g'(x) = 3x^2 - 4
g′(x)=0⇔x2=43⇔x=±23=±233g'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}} = \pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}
03

Tableau de variations

g′(x)=3(x2−43)>0⇔∣x∣>233g'(x) = 3(x^2 - \frac{4}{3}) > 0 \Leftrightarrow |x| > \frac{2\sqrt{3}}{3}.
x−∞−233233+∞g′(x)+0−0+g(x)↗↘↗\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & -\frac{2\sqrt{3}}{3} & & \frac{2\sqrt{3}}{3} & +\infty \\ \hline g'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline g(x) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array}
3Facile

Lecture graphique et domaine de définition

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Énoncé

Soit h(x)=2x−4h(x) = \sqrt{2x - 4}.
1. Déterminer le domaine de définition DhD_h.
2. Calculer h(2)h(2), h(4)h(4) et h(6)h(6).
3. Résoudre h(x)=4h(x) = 4 et interpréter le résultat.

Correction détaillée

01

Domaine de définition

La racine carrée est définie pour des radicandes positifs ou nuls :
2x−4≥0⇔2x≥4⇔x≥22x - 4 \geq 0 \Leftrightarrow 2x \geq 4 \Leftrightarrow x \geq 2
Dh=[2,+∞[D_h = [2, +\infty[
02

Calcul des images

h(2)=2×2−4=0=0h(2) = \sqrt{2 \times 2 - 4} = \sqrt{0} = 0
h(4)=2×4−4=4=2h(4) = \sqrt{2 \times 4 - 4} = \sqrt{4} = 2
h(6)=2×6−4=8=22h(6) = \sqrt{2 \times 6 - 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
03

Résolution de $h(x) = 4$

2x−4=4⇔2x−4=16(on eˊleˋve au carreˊ, valide car 4≥0)\sqrt{2x - 4} = 4 \Leftrightarrow 2x - 4 = 16 \quad (\text{on élève au carré, valide car } 4 \geq 0)
2x=20⇒x=102x = 20 \Rightarrow x = 10
L'unique antécédent de 44 par hh est x=10x = 10.
4Intermédiaire

Comparaison de fonctions et encadrement

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Énoncé

On considère les fonctions f(x)=x2f(x) = x^2 et g(x)=2x−1g(x) = 2x - 1 sur R\mathbb{R}.
1. Résoudre f(x)=g(x)f(x) = g(x).
2. Étudier le signe de f(x)−g(x)f(x) - g(x) et déterminer quand f(x)>g(x)f(x) > g(x).
3. En déduire les positions relatives des courbes Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g.

Correction détaillée

01

Résolution de $f(x) = g(x)$

x2=2x−1⇔x2−2x+1=0⇔(x−1)2=0x^2 = 2x - 1 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^2 = 0
x=1(racine double)x = 1 \quad (\text{racine double})
Les courbes se touchent en un unique point : (1,1)(1, 1).
02

Signe de $f(x) - g(x)$

f(x)−g(x)=x2−2x+1=(x−1)2≥0pour tout x∈Rf(x) - g(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}
(x−1)2=0(x-1)^2 = 0 uniquement en x=1x = 1, donc f(x)>g(x)f(x) > g(x) pour tout x≠1x \neq 1.
03

Positions relatives des courbes

Puisque f(x)−g(x)≥0f(x) - g(x) \geq 0 pour tout xx, la parabole Cf\mathcal{C}_f est au-dessus de la droite Cg\mathcal{C}_g sur tout R\mathbb{R}, sauf en x=1x = 1 où elles se touchent sans se croiser (point de tangence).
5Facile

Calcul d’images pour une fonction affine

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Énoncé

Soit f(x)=−2x+5f(x)= -2x+5.
1. Calculer f(−1)f(-1), f(0)f(0) et f(3)f(3).
2. Donner l’antécédent de 11.

Correction détaillée

01

Calcul des images

f(−1)=7f(0)=5f(3)=−1f(-1)=7 \qquad f(0)=5 \qquad f(3)=-1
02

Recherche d’antécédent

−2x+5=1⇒−2x=−4⇒x=2-2x+5=1 \Rightarrow -2x=-4 \Rightarrow x=2
6Facile

Fonction définie par morceaux de domaine

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Énoncé

On considère g(x)=1x+4g(x)=\dfrac{1}{x+4}.
1. Déterminer son domaine de définition.
2. Calculer g(−3)g(-3) et g(0)g(0).

Correction détaillée

01

Domaine

Il faut x+4≠0x+4 \neq 0, donc x≠−4x \neq -4.
Dg=R∖{−4}D_g = \mathbb{R}\setminus\{-4\}
02

Images

g(−3)=1g(0)=14g(-3)=1 \qquad g(0)=\frac{1}{4}
7Intermédiaire

Résoudre une égalité fonctionnelle

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Énoncé

Soit h(x)=x2−9h(x)=x^2-9.
1. Calculer les antécédents de 00.
2. Résoudre h(x)=7h(x)=7.

Correction détaillée

01

Antécédents de $0$

x2−9=0⇒(x−3)(x+3)=0⇒x=−3 ou x=3x^2-9=0 \Rightarrow (x-3)(x+3)=0 \Rightarrow x=-3 \text{ ou } x=3
02

Antécédents de $7$

x2−9=7⇒x2=16⇒x=−4 ou x=4x^2-9=7 \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=-4 \text{ ou } x=4
8Intermédiaire

Comparer deux images

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Énoncé

On considère f(x)=x2+1f(x)=x^2+1.
1. Calculer f(2)f(2) et f(−2)f(-2).
2. Que remarque-t-on ?
3. La fonction semble-t-elle paire ?

Correction détaillée

01

Calcul

f(2)=5f(−2)=5f(2)=5 \qquad f(-2)=5
02

Observation

Les deux images sont égales. Plus généralement,
f(−x)=(−x)2+1=x2+1=f(x)f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)
La fonction est donc paire.
9Facile

Racine carrée et domaine

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Énoncé

Soit u(x)=x+5u(x)=\sqrt{x+5}.
1. Déterminer DuD_u.
2. Calculer u(4)u(4).
3. Résoudre u(x)=3u(x)=3.

Correction détaillée

01

Domaine

x+5≥0⇒x≥−5x+5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5
Donc Du=[−5,+∞[D_u=[-5,+\infty[.
02

Image et antécédent

u(4)=9=3u(4)=\sqrt{9}=3
x+5=3⇒x+5=9⇒x=4\sqrt{x+5}=3 \Rightarrow x+5=9 \Rightarrow x=4
10Intermédiaire

Signe d’une fonction simple

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Énoncé

Étudier le signe de v(x)=x−2v(x)=x-2 puis préciser quand v(x)v(x) est positif.

Correction détaillée

01

Valeur charnière

x−2=0⇔x=2x-2=0 \Leftrightarrow x=2
02

Signe

Si x<2x<2, alors x−2<0x-2<0.
Si x=2x=2, alors x−2=0x-2=0.
Si x>2x>2, alors x−2>0x-2>0.
Ainsi v(x)>0\mathbf{v(x)>0} pour x>2\mathbf{x>2}.
11Intermédiaire

Fonction inverse et lecture d’antécédent

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Énoncé

On considère w(x)=3xw(x)=\dfrac{3}{x}.
1. Déterminer le domaine de définition.
2. Calculer l’antécédent de −1-1.

Correction détaillée

01

Domaine

Il faut x≠0x \neq 0, donc Dw=R∖{0}D_w=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
02

Antécédent de $-1$

3x=−1⇒3=−x⇒x=−3\frac{3}{x}=-1 \Rightarrow 3=-x \Rightarrow x=-3
12Intermédiaire

Comparer des fonctions sur un intervalle

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Énoncé

Sur [0,+∞[[0,+\infty[, comparer f(x)=x+1f(x)=x+1 et g(x)=x+1g(x)=\sqrt{x}+1 pour x=0x=0, 11, 44, 99.

Correction détaillée

01

Calcul des valeurs

x=0:f(0)=1, g(0)=1x=1:f(1)=2, g(1)=2x=4:f(4)=5, g(4)=3x=9:f(9)=10, g(9)=4\begin{aligned}x=0 &: f(0)=1,\ g(0)=1 \\ x=1 &: f(1)=2,\ g(1)=2 \\ x=4 &: f(4)=5,\ g(4)=3 \\ x=9 &: f(9)=10,\ g(9)=4 \end{aligned}
02

Conclusion

Les deux fonctions coïncident en 00 et 11, puis f(x)f(x) devient plus grande que g(x)g(x) sur les valeurs testées.
13Facile

Résoudre par lecture algébrique

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Énoncé

Soit p(x)=2x+7p(x)=2x+7.
Résoudre successivement :
1. p(x)=7p(x)=7
2. p(x)=15p(x)=15
3. p(x)=−1p(x)=-1

Correction détaillée

01

Mise en équation

2x+7=7⇒x=02x+7=7 \Rightarrow x=0
2x+7=15⇒2x=8⇒x=42x+7=15 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4
02

Dernier cas

2x+7=−1⇒2x=−8⇒x=−42x+7=-1 \Rightarrow 2x=-8 \Rightarrow x=-4
14Difficile

Étude d’une variation simple

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Énoncé

On considère q(x)=−3x+2q(x)= -3x+2 sur R\mathbb{R}.
1. La fonction est-elle croissante ou décroissante ?
2. Comparer q(1)q(1) et q(5)q(5).

Correction détaillée

01

Rôle du coefficient directeur

Une fonction affine ax+bax+b est décroissante si a<0a<0.
Ici a=−3<0a=-3<0, donc qq est décroissante.
02

Comparaison

q(1)=−1q(5)=−13q(1)=-1 \qquad q(5)=-13
Comme la fonction est décroissante et 1<51<5, on a bien q(1)>q(5)q(1)>q(5).
15Difficile

Problème de coût avec domaine pertinent

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Énoncé

Le prix d’un trajet est donné par C(x)=1,80x+2C(x)=1{,}80x+2, où xx est le nombre de kilomètres parcourus.
1. Calculer C(5)C(5) et C(12)C(12).
2. Déterminer le nombre de kilomètres correspondant à un coût de 2020 €.

Correction détaillée

01

Calculs directs

C(5)=1,8×5+2=11C(5)=1{,}8\times 5+2=11
C(12)=1,8×12+2=23,6C(12)=1{,}8\times 12+2=23{,}6
02

Recherche inverse

1,8x+2=20⇒1,8x=18⇒x=101{,}8x+2=20 \Rightarrow 1{,}8x=18 \Rightarrow x=10
Le trajet de 2020 € correspond à 10\mathbf{10} km.

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 01

Calcul Algébrique

Développement, factorisation et identités remarquables

Chapitre 03

Fonctions Affines

Droites, coefficient directeur et équations de droites

Chapitre 04

Équations du Second Degré

Discriminant, racines et signe du trinôme