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Chapitre 01 · Seconde

Calcul Algébrique

Développement, factorisation et identités remarquables

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Travailler Calcul Algébrique en Seconde

Ce chapitre de calcul algébrique en seconde te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Reprendre les bases de seconde liées à calcul algébrique.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de calcul algébrique.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Facile

Développer et réduire une expression

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Énoncé

Développer et réduire les expressions suivantes :
1. A=(2x−3)(x+4)A = (2x - 3)(x + 4)
2. B=(3x+1)2−(x−2)(3x+1)B = (3x + 1)^2 - (x - 2)(3x + 1)

Correction détaillée

01

Développement de $A$

On applique la distributivité :
A=2x⋅x+2x⋅4−3⋅x−3⋅4A = 2x \cdot x + 2x \cdot 4 - 3 \cdot x - 3 \cdot 4
A=2x2+8x−3x−12=2x2+5x−12A = 2x^2 + 8x - 3x - 12 = \mathbf{2x^2 + 5x - 12}
02

Facteur commun dans $B$

On remarque que (3x+1)(3x + 1) est un facteur commun des deux termes :
B=(3x+1)[(3x+1)−(x−2)]B = (3x + 1)\bigl[(3x + 1) - (x - 2)\bigr]
03

Simplification du crochet

(3x+1)−(x−2)=3x+1−x+2=2x+3(3x + 1) - (x - 2) = 3x + 1 - x + 2 = 2x + 3. Donc :
B=(3x+1)(2x+3)B = (3x + 1)(2x + 3)
On développe pour la forme réduite :
B=6x2+9x+2x+3=6x2+11x+3B = 6x^2 + 9x + 2x + 3 = \mathbf{6x^2 + 11x + 3}
2Facile

Factorisation par les identités remarquables

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Énoncé

Factoriser les expressions suivantes :
1. A=9x2−16A = 9x^2 - 16
2. B=x2−10x+25B = x^2 - 10x + 25
3. C=4x2+12x+9C = 4x^2 + 12x + 9

Correction détaillée

01

Factorisation de $A$ — différence de carrés

On reconnaît a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) avec a=3xa = 3x et b=4b = 4 :
A=(3x)2−42=(3x−4)(3x+4)A = (3x)^2 - 4^2 = \mathbf{(3x - 4)(3x + 4)}
02

Factorisation de $B$ — carré parfait

On reconnaît a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 avec a=xa = x, b=5b = 5 :
B=x2−2×x×5+52=(x−5)2B = x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = \mathbf{(x - 5)^2}
03

Factorisation de $C$ — carré parfait

On reconnaît a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 avec a=2xa = 2x, b=3b = 3 :
C=(2x)2+2×2x×3+32=(2x+3)2C = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = \mathbf{(2x + 3)^2}
3Intermédiaire

Double distributivité et réduction

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Énoncé

Développer et réduire les expressions suivantes :
1. C=(x−2)(x+5)−(x+1)(x−3)C = (x - 2)(x + 5) - (x + 1)(x - 3)
2. D=(2x−1)2+(x+3)(2x−1)D = (2x - 1)^2 + (x + 3)(2x - 1)

Correction détaillée

01

Développement de chaque produit dans $C$

(x−2)(x+5)=x2+5x−2x−10=x2+3x−10(x - 2)(x + 5) = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10
(x+1)(x−3)=x2−3x+x−3=x2−2x−3(x + 1)(x - 3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3
Donc :
C=(x2+3x−10)−(x2−2x−3)C = (x^2 + 3x - 10) - (x^2 - 2x - 3)
02

Réduction de $C$

On distribue le signe moins :
C=x2+3x−10−x2+2x+3=5x−7C = x^2 + 3x - 10 - x^2 + 2x + 3 = \mathbf{5x - 7}
Les termes en x2x^2 se sont annulés : CC est une expression du premier degré.
03

Développement de $D$ par facteur commun

On remarque le facteur commun (2x−1)(2x - 1) :
D=(2x−1)[(2x−1)+(x+3)]=(2x−1)(3x+2)D = (2x - 1)\bigl[(2x - 1) + (x + 3)\bigr] = (2x - 1)(3x + 2)
Développé : D=6x2+4x−3x−2=6x2+x−2D = 6x^2 + 4x - 3x - 2 = \mathbf{6x^2 + x - 2}
4Difficile

Factorisation complète et résolution

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Énoncé

Factoriser complètement E=3x2−75E = 3x^2 - 75 puis F=x3−x2−4x+4F = x^3 - x^2 - 4x + 4.
En déduire les solutions de E=0E = 0 et F=0F = 0.

Correction détaillée

01

Factorisation de $E$

On met d'abord 33 en facteur :
E=3(x2−25)=3(x−5)(x+5)E = 3(x^2 - 25) = 3(x - 5)(x + 5)
E=0⇔x−5=0E = 0 \Leftrightarrow x - 5 = 0 ou x+5=0x + 5 = 0, soit x=5\mathbf{x = 5} ou x=−5\mathbf{x = -5}.
02

Factorisation de $F$ par regroupement

On regroupe les termes deux par deux :
F=x2(x−1)−4(x−1)=(x−1)(x2−4)F = x^2(x - 1) - 4(x - 1) = (x - 1)(x^2 - 4)
On reconnaît ensuite une différence de carrés :
F=(x−1)(x−2)(x+2)F = (x - 1)(x - 2)(x + 2)
03

Solutions de $F = 0$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :
x−1=0⇒x=1x−2=0⇒x=2x+2=0⇒x=−2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \qquad x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \qquad x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2
L'ensemble solution est S={−2, 1, 2}S = \{-2,\ 1,\ 2\}.
5Facile

Réduire après développement simple

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Énoncé

Développer et réduire :
1. A=5(x−3)+2xA = 5(x - 3) + 2x
2. B=4(2x+1)−3(x−2)B = 4(2x + 1) - 3(x - 2)

Correction détaillée

01

Développement

A=5x−15+2x=7x−15A = 5x - 15 + 2x = 7x - 15
B=8x+4−3x+6B = 8x + 4 - 3x + 6
02

Réduction

B=5x+10B = 5x + 10
Les formes réduites sont donc A=7x−15\mathbf{A = 7x - 15} et B=5x+10\mathbf{B = 5x + 10}.
6Facile

Identifier une identité remarquable

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Énoncé

Développer sans détailler toute la distributivité :
1. (x+7)2(x+7)^2
2. (3x−2)2(3x-2)^2
3. (5x−1)(5x+1)(5x-1)(5x+1)

Correction détaillée

01

Formules utiles

On utilise (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 et (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
02

Applications

(x+7)2=x2+14x+49(x+7)^2 = x^2 + 14x + 49
(3x−2)2=9x2−12x+4(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4
(5x−1)(5x+1)=25x2−1(5x-1)(5x+1) = 25x^2 - 1
7Facile

Mettre en facteur un facteur commun

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Énoncé

Factoriser :
1. A=6x2+9xA = 6x^2 + 9x
2. B=4x(x−3)−7(x−3)B = 4x(x-3) - 7(x-3)

Correction détaillée

01

Repérer le facteur commun

Dans AA, le facteur commun est 3x3x.
Dans BB, le facteur commun est (x−3)(x-3).
02

Factorisation

A=3x(2x+3)A = 3x(2x+3)
B=(x−3)(4x−7)B = (x-3)(4x-7)
8Intermédiaire

Résoudre une équation produit

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Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} :
1. (2x−5)(x+3)=0(2x-5)(x+3)=0
2. (x−4)2=0(x-4)^2=0

Correction détaillée

01

Principe

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
02

Résolution

(2x−5)(x+3)=0⇒x=52 ou x=−3(2x-5)(x+3)=0 \Rightarrow x=\frac{5}{2} \text{ ou } x=-3
(x−4)2=0⇒x=4(x-4)^2=0 \Rightarrow x=4
9Intermédiaire

Factorisation avec changement de forme

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Énoncé

Factoriser complètement :
1. A=x2+6x+9−4A = x^2 + 6x + 9 - 4
2. B=2x2−8xB = 2x^2 - 8x

Correction détaillée

01

Réécriture utile

A=(x+3)2−22A = (x+3)^2 - 2^2
B=2x(x−4)B = 2x(x-4)
02

Factorisation finale

A=(x+1)(x+5)A = (x+1)(x+5)
B=2x(x−4)B = 2x(x-4)
10Facile

Développer puis calculer pour une valeur

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Énoncé

On considère E(x)=(x−1)(2x+3)E(x) = (x-1)(2x+3).
1. Développer E(x)E(x).
2. Calculer E(4)E(4).

Correction détaillée

01

Développement

E(x)=2x2+3x−2x−3=2x2+x−3E(x) = 2x^2 + 3x - 2x - 3 = 2x^2 + x - 3
02

Substitution

E(4)=2×16+4−3=33E(4) = 2\times 16 + 4 - 3 = 33
11Intermédiaire

Comparer deux écritures

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Énoncé

Montrer que pour tout réel xx, les expressions A=(x+2)2−4A=(x+2)^2-4 et B=x(x+4)B=x(x+4) sont égales.

Correction détaillée

01

Développer $A$

A=x2+4x+4−4=x2+4xA = x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x
02

Développer $B$ et conclure

B=x2+4xB = x^2 + 4x
On obtient la même expression réduite : A=B\mathbf{A=B} pour tout réel xx.
12Intermédiaire

Encadrer une expression factorisée

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Énoncé

On sait que x=3x=3 est une racine de P(x)=x2−7x+12P(x)=x^2-7x+12.
1. Factoriser P(x)P(x).
2. Résoudre P(x)=0P(x)=0.

Correction détaillée

01

Recherche du second facteur

On cherche deux nombres de somme 77 et de produit 1212 : 33 et 44.
P(x)=(x−3)(x−4)P(x)=(x-3)(x-4)
02

Résolution

(x−3)(x−4)=0⇒x=3 ou x=4(x-3)(x-4)=0 \Rightarrow x=3 \text{ ou } x=4
13Intermédiaire

Expression avec fraction simple

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Énoncé

Réduire l’expression F=x(x+2)−(x−1)(x+1)2F = \dfrac{x(x+2) - (x-1)(x+1)}{2}.

Correction détaillée

01

Développement du numérateur

x(x+2)=x2+2x(x−1)(x+1)=x2−1x(x+2)=x^2+2x \qquad (x-1)(x+1)=x^2-1
02

Réduction

F=x2+2x−(x2−1)2=2x+12F = \frac{x^2+2x-(x^2-1)}{2} = \frac{2x+1}{2}
14Difficile

Problème de dimensions

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Énoncé

Un rectangle a pour longueur x+5x+5 et pour largeur x−1x-1.
1. Exprimer son aire A(x)A(x).
2. Calculer A(6)A(6).
3. Pour quelle valeur de xx l’aire vaut-elle 4040 ?

Correction détaillée

01

Aire algébrique

A(x)=(x+5)(x−1)=x2+4x−5A(x)=(x+5)(x-1)=x^2+4x-5
02

Calcul pour $x=6$

A(6)=36+24−5=55A(6)=36+24-5=55
03

Résolution de $A(x)=40$

x2+4x−5=40⇔x2+4x−45=0x^2+4x-5=40 \Leftrightarrow x^2+4x-45=0
On factorise : (x+9)(x−5)=0(x+9)(x-5)=0, donc x=−9x=-9 ou x=5x=5.
Dans le contexte géométrique, on garde x=5\mathbf{x=5}.
15Difficile

Chaîne de factorisations

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Énoncé

Factoriser complètement G=(x2−1)+x(x−1)G = (x^2-1) + x(x-1).

Correction détaillée

01

Première transformation

G=(x−1)(x+1)+x(x−1)G=(x-1)(x+1)+x(x-1)
02

Mise en facteur

G=(x−1)[(x+1)+x]=(x−1)(2x+1)G=(x-1)\bigl[(x+1)+x\bigr]=(x-1)(2x+1)

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 02

Fonctions — Généralités

Image, antécédent, domaine de définition et représentation graphique

Chapitre 03

Fonctions Affines

Droites, coefficient directeur et équations de droites

Chapitre 04

Équations du Second Degré

Discriminant, racines et signe du trinôme