Calcul Algébrique

On applique la distributivité :
$$A = 2x \cdot x + 2x \cdot 4 - 3 \cdot x - 3 \cdot 4$$
$$A = 2x^2 + 8x - 3x - 12 = \mathbf{2x^2 + 5x - 12}$$

On remarque que $(3x + 1)$ est un facteur commun des deux termes :
$$B = (3x + 1)\bigl[(3x + 1) - (x - 2)\bigr]$$

$(3x + 1) - (x - 2) = 3x + 1 - x + 2 = 2x + 3$. Donc :
$$B = (3x + 1)(2x + 3)$$
On développe pour la forme réduite :
$$B = 6x^2 + 9x + 2x + 3 = \mathbf{6x^2 + 11x + 3}$$

On reconnaît $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = 3x$ et $b = 4$ :
$$A = (3x)^2 - 4^2 = \mathbf{(3x - 4)(3x + 4)}$$

On reconnaît $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ avec $a = x$, $b = 5$ :
$$B = x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = \mathbf{(x - 5)^2}$$

On reconnaît $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ avec $a = 2x$, $b = 3$ :
$$C = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = \mathbf{(2x + 3)^2}$$

$(x - 2)(x + 5) = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10$
$(x + 1)(x - 3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$
Donc :
$$C = (x^2 + 3x - 10) - (x^2 - 2x - 3)$$

On distribue le signe moins :
$$C = x^2 + 3x - 10 - x^2 + 2x + 3 = \mathbf{5x - 7}$$
Les termes en $x^2$ se sont annulés : $C$ est une expression du premier degré.

On remarque le facteur commun $(2x - 1)$ :
$$D = (2x - 1)\bigl[(2x - 1) + (x + 3)\bigr] = (2x - 1)(3x + 2)$$
Développé : $D = 6x^2 + 4x - 3x - 2 = \mathbf{6x^2 + x - 2}$

On met d'abord $3$ en facteur :
$$E = 3(x^2 - 25) = 3(x - 5)(x + 5)$$
$E = 0 \Leftrightarrow x - 5 = 0$ ou $x + 5 = 0$, soit $\mathbf{x = 5}$ ou $\mathbf{x = -5}$.

On regroupe les termes deux par deux :
$$F = x^2(x - 1) - 4(x - 1) = (x - 1)(x^2 - 4)$$
On reconnaît ensuite une différence de carrés :
$$F = (x - 1)(x - 2)(x + 2)$$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :
$$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \qquad x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \qquad x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$
L'ensemble solution est $S = \{-2,\ 1,\ 2\}$.