MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 05 · Seconde

Vecteurs dans le Plan

Coordonnées, norme, colinéarité et translations

1Facile

Coordonnées et norme d'un vecteur

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne A(1,4)A(1, 4), B(5,1)B(5, 1) et C(−2,3)C(-2, 3).
1. Calculer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
2. Calculer ∥AB→∥\|\overrightarrow{AB}\| et ∥AC→∥\|\overrightarrow{AC}\|.

Correction détaillée

01

Coordonnées des vecteurs

AB→=(xB−xA, yB−yA)=(5−1, 1−4)=(4, −3)\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A) = (5-1,\ 1-4) = (4,\ -3)
AC→=(xC−xA, yC−yA)=(−2−1, 3−4)=(−3, −1)\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A,\ y_C - y_A) = (-2-1,\ 3-4) = (-3,\ -1)
02

Norme de $\overrightarrow{AB}$

∥AB→∥=42+(−3)2=16+9=25=5\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
03

Norme de $\overrightarrow{AC}$

∥AC→∥=(−3)2+(−1)2=9+1=10\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
2Intermédiaire

Colinéarité et alignement

Énoncé

On donne A(0,2)A(0, 2), B(3,5)B(3, 5) et C(6,8)C(6, 8).
1. Calculer AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
2. Les points AA, BB, CC sont-ils alignés ? Justifier avec les vecteurs.

Correction détaillée

01

Calcul des vecteurs

AB→=(3−0, 5−2)=(3, 3)\overrightarrow{AB} = (3-0,\ 5-2) = (3,\ 3)
AC→=(6−0, 8−2)=(6, 6)\overrightarrow{AC} = (6-0,\ 8-2) = (6,\ 6)
02

Test de colinéarité

Deux vecteurs u⃗(a,b)\vec{u}(a, b) et v⃗(c,d)\vec{v}(c, d) sont colinéaires si et seulement si ad−bc=0ad - bc = 0.
ad−bc=3×6−3×6=18−18=0ad - bc = 3 \times 6 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0
03

Conclusion

AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires (déterminant nul). Comme ils partagent le point AA, les points AA, BB et CC sont alignés.
On remarque aussi que AC→=2AB→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}, ce qui confirme l'alignement.
3Facile

Combinaison de vecteurs et milieu

Énoncé

On donne A(2,1)A(2, 1), B(6,5)B(6, 5), C(−2,3)C(-2, 3) dans un repère orthonormé.
1. Calculer les coordonnées de AB→+AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.
2. Déterminer les coordonnées du milieu II de [BC][BC] et vérifier que AI→\overrightarrow{AI} est bien la demi-somme de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.

Correction détaillée

01

Calcul de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

AB→=(6−2, 5−1)=(4, 4)\overrightarrow{AB} = (6-2,\ 5-1) = (4,\ 4)
AC→=(−2−2, 3−1)=(−4, 2)\overrightarrow{AC} = (-2-2,\ 3-1) = (-4,\ 2)
AB→+AC→=(4+(−4), 4+2)=(0, 6)\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (4 + (-4),\ 4 + 2) = (0,\ 6)
02

Milieu $I$ de $[BC]$

I=(xB+xC2, yB+yC2)=(6+(−2)2, 5+32)=(2, 4)I = \left(\frac{x_B + x_C}{2},\ \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{6 + (-2)}{2},\ \frac{5 + 3}{2}\right) = (2,\ 4)
AI→=(2−2, 4−1)=(0, 3)\overrightarrow{AI} = (2 - 2,\ 4 - 1) = (0,\ 3)
03

Vérification de la relation

AB→+AC→2=(0, 6)2=(0, 3)\frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} = \frac{(0,\ 6)}{2} = (0,\ 3)
On retrouve bien AI→=AB→+AC→2\overrightarrow{AI} = \dfrac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} : c'est la propriété du vecteur médian.
4Intermédiaire

Translation et parallélogramme

Énoncé

On donne A(1,2)A(1, 2), B(4,5)B(4, 5) et C(7,3)C(7, 3).
1. Calculer les coordonnées du point DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme.
2. Vérifier en calculant les milieux des diagonales.
3. Calculer ∥AB→∥\|\overrightarrow{AB}\| et ∥BC→∥\|\overrightarrow{BC}\| : ABCDABCD est-il un losange ?

Correction détaillée

01

Coordonnées de $D$

ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, c'est-à-dire si les diagonales [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu.
AB→=(3,3)⇒D=C−AB→=(7−3, 3−3)=(4, 0)\overrightarrow{AB} = (3, 3) \Rightarrow D = C - \overrightarrow{AB} = (7-3,\ 3-3) = (4,\ 0)
02

Vérification par les milieux des diagonales

Milieu de [AC][AC] : (1+72,2+32)=(4,52)\left(\frac{1+7}{2}, \frac{2+3}{2}\right) = \left(4, \frac{5}{2}\right)
Milieu de [BD][BD] : (4+42,5+02)=(4,52)\left(\frac{4+4}{2}, \frac{5+0}{2}\right) = \left(4, \frac{5}{2}\right) ✓
Les milieux coïncident : ABCDABCD est bien un parallélogramme.
03

Test du losange

∥AB→∥=32+32=18=32\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
BC→=(7−4, 3−5)=(3, −2)⇒∥BC→∥=9+4=13\overrightarrow{BC} = (7-4,\ 3-5) = (3,\ -2) \Rightarrow \|\overrightarrow{BC}\| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}
Comme 32≠133\sqrt{2} \neq \sqrt{13}, les côtés sont inégaux : ABCDABCD n'est pas un losange.