MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 05 · Seconde

Vecteurs dans le Plan

Coordonnées, norme, colinéarité et translations

📖 Voir le cours

Réviser efficacement

Travailler Vecteurs dans le Plan en Seconde

Ce chapitre de vecteurs dans le plan en seconde te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours completVoir le programme du niveauMéthodologie de révision

Prérequis

  • Repérer précisément les données de la figure et les codages utiles.
  • Identifier la propriété géométrique avant de commencer les calculs.

Compétences à maîtriser

  • Choisir la bonne propriété et la rédiger proprement.
  • Passer d’une figure à une démonstration ou à un calcul justifié.

Erreurs fréquentes

  • Utiliser une propriété simplement parce que la figure “semble” la montrer.
  • Oublier de vérifier les conditions d’application.

En contrôle ou en examen : Les chapitres de géométrie rapportent des points quand la rédaction reste rigoureuse.

1Facile

Coordonnées et norme d'un vecteur

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne A(1,4)A(1, 4), B(5,1)B(5, 1) et C(−2,3)C(-2, 3).
1. Calculer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
2. Calculer ∥AB→∥\|\overrightarrow{AB}\| et ∥AC→∥\|\overrightarrow{AC}\|.

Correction détaillée

01

Coordonnées des vecteurs

AB→=(xB−xA, yB−yA)=(5−1, 1−4)=(4, −3)\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A) = (5-1,\ 1-4) = (4,\ -3)
AC→=(xC−xA, yC−yA)=(−2−1, 3−4)=(−3, −1)\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A,\ y_C - y_A) = (-2-1,\ 3-4) = (-3,\ -1)
02

Norme de $\overrightarrow{AB}$

∥AB→∥=42+(−3)2=16+9=25=5\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
03

Norme de $\overrightarrow{AC}$

∥AC→∥=(−3)2+(−1)2=9+1=10\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
2Intermédiaire

Colinéarité et alignement

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On donne A(0,2)A(0, 2), B(3,5)B(3, 5) et C(6,8)C(6, 8).
1. Calculer AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
2. Les points AA, BB, CC sont-ils alignés ? Justifier avec les vecteurs.

Correction détaillée

01

Calcul des vecteurs

AB→=(3−0, 5−2)=(3, 3)\overrightarrow{AB} = (3-0,\ 5-2) = (3,\ 3)
AC→=(6−0, 8−2)=(6, 6)\overrightarrow{AC} = (6-0,\ 8-2) = (6,\ 6)
02

Test de colinéarité

Deux vecteurs u⃗(a,b)\vec{u}(a, b) et v⃗(c,d)\vec{v}(c, d) sont colinéaires si et seulement si ad−bc=0ad - bc = 0.
ad−bc=3×6−3×6=18−18=0ad - bc = 3 \times 6 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0
03

Conclusion

AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires (déterminant nul). Comme ils partagent le point AA, les points AA, BB et CC sont alignés.
On remarque aussi que AC→=2AB→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}, ce qui confirme l'alignement.
3Facile

Combinaison de vecteurs et milieu

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On donne A(2,1)A(2, 1), B(6,5)B(6, 5), C(−2,3)C(-2, 3) dans un repère orthonormé.
1. Calculer les coordonnées de AB→+AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.
2. Déterminer les coordonnées du milieu II de [BC][BC] et vérifier que AI→\overrightarrow{AI} est bien la demi-somme de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.

Correction détaillée

01

Calcul de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

AB→=(6−2, 5−1)=(4, 4)\overrightarrow{AB} = (6-2,\ 5-1) = (4,\ 4)
AC→=(−2−2, 3−1)=(−4, 2)\overrightarrow{AC} = (-2-2,\ 3-1) = (-4,\ 2)
AB→+AC→=(4+(−4), 4+2)=(0, 6)\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (4 + (-4),\ 4 + 2) = (0,\ 6)
02

Milieu $I$ de $[BC]$

I=(xB+xC2, yB+yC2)=(6+(−2)2, 5+32)=(2, 4)I = \left(\frac{x_B + x_C}{2},\ \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{6 + (-2)}{2},\ \frac{5 + 3}{2}\right) = (2,\ 4)
AI→=(2−2, 4−1)=(0, 3)\overrightarrow{AI} = (2 - 2,\ 4 - 1) = (0,\ 3)
03

Vérification de la relation

AB→+AC→2=(0, 6)2=(0, 3)\frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} = \frac{(0,\ 6)}{2} = (0,\ 3)
On retrouve bien AI→=AB→+AC→2\overrightarrow{AI} = \dfrac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} : c'est la propriété du vecteur médian.
4Intermédiaire

Translation et parallélogramme

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On donne A(1,2)A(1, 2), B(4,5)B(4, 5) et C(7,3)C(7, 3).
1. Calculer les coordonnées du point DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme.
2. Vérifier en calculant les milieux des diagonales.
3. Calculer ∥AB→∥\|\overrightarrow{AB}\| et ∥BC→∥\|\overrightarrow{BC}\| : ABCDABCD est-il un losange ?

Correction détaillée

01

Coordonnées de $D$

ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, c'est-à-dire si les diagonales [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu.
AB→=(3,3)⇒D=C−AB→=(7−3, 3−3)=(4, 0)\overrightarrow{AB} = (3, 3) \Rightarrow D = C - \overrightarrow{AB} = (7-3,\ 3-3) = (4,\ 0)
02

Vérification par les milieux des diagonales

Milieu de [AC][AC] : (1+72,2+32)=(4,52)\left(\frac{1+7}{2}, \frac{2+3}{2}\right) = \left(4, \frac{5}{2}\right)
Milieu de [BD][BD] : (4+42,5+02)=(4,52)\left(\frac{4+4}{2}, \frac{5+0}{2}\right) = \left(4, \frac{5}{2}\right) ✓
Les milieux coïncident : ABCDABCD est bien un parallélogramme.
03

Test du losange

∥AB→∥=32+32=18=32\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
BC→=(7−4, 3−5)=(3, −2)⇒∥BC→∥=9+4=13\overrightarrow{BC} = (7-4,\ 3-5) = (3,\ -2) \Rightarrow \|\overrightarrow{BC}\| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}
Comme 32≠133\sqrt{2} \neq \sqrt{13}, les côtés sont inégaux : ABCDABCD n'est pas un losange.
5Facile

Vecteur opposé

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Soit u⃗=(3,−5)\vec{u}=(3,-5).
1. Donner −u⃗-\vec{u}.
2. Vérifier que u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}.

Correction détaillée

01

Vecteur opposé

−u⃗=(−3,5)-\vec{u}=(-3,5)
02

Somme

(3,−5)+(−3,5)=(0,0)=0⃗(3,-5)+(-3,5)=(0,0)=\vec{0}
6Facile

Addition de coordonnées

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Calculer u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v} avec u⃗=(2,1)\vec{u}=(2,1) et v⃗=(−4,3)\vec{v}=(-4,3).

Correction détaillée

01

Calcul

u⃗+v⃗=(2−4,1+3)=(−2,4)\vec{u}+\vec{v}=(2-4,1+3)=(-2,4)
02

Conclusion

La somme vaut (−2,4)\mathbf{(-2,4)}.
7Facile

Multiplication par un réel

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Calculer 2u⃗2\vec{u} puis −3u⃗-3\vec{u} pour u⃗=(−1,4)\vec{u}=(-1,4).

Correction détaillée

01

Règle

On multiplie chaque coordonnée par le réel.
02

Applications

2u⃗=(−2,8)−3u⃗=(3,−12)2\vec{u}=(-2,8) \qquad -3\vec{u}=(3,-12)
8Intermédiaire

Coordonnées d’un point image par translation

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Le point A(2,−1)A(2,-1) est translaté par le vecteur u⃗=(5,3)\vec{u}=(5,3).
Déterminer les coordonnées de son image A′A'.

Correction détaillée

01

Translation

A′=A+u⃗=(2+5,−1+3)A' = A + \vec{u} = (2+5,-1+3)
02

Résultat

A′=(7,2)A'=(7,2)
9Intermédiaire

Tester une colinéarité simple

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Les vecteurs u⃗=(4,−2)\vec{u}=(4,-2) et v⃗=(−6,3)\vec{v}=(-6,3) sont-ils colinéaires ?

Correction détaillée

01

Recherche d’un coefficient

On observe que −6=−32×4-6=-\dfrac{3}{2}\times 4 et 3=−32×(−2)3=-\dfrac{3}{2}\times (-2).
02

Conclusion

On a v⃗=−32u⃗\vec{v}=-\dfrac{3}{2}\vec{u}, donc les vecteurs sont colinéaires.
10Facile

Milieu à l’aide des coordonnées

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Déterminer le milieu de [AB][AB] avec A(−3,4)A(-3,4) et B(5,2)B(5,2).

Correction détaillée

01

Formule du milieu

I(−3+52,4+22)I\left(\frac{-3+5}{2},\frac{4+2}{2}\right)
02

Résultat

I(1,3)I(1,3)
11Intermédiaire

Norme d’un vecteur

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Calculer la norme de u⃗=(−6,8)\vec{u}=(-6,8).

Correction détaillée

01

Formule

∥u⃗∥=(−6)2+82\|\vec{u}\|=\sqrt{(-6)^2+8^2}
02

Calcul

∥u⃗∥=36+64=100=10\|\vec{u}\|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10
12Intermédiaire

Relation de Chasles

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On donne A(1,1)A(1,1), B(4,3)B(4,3), C(6,−2)C(6,-2).
Vérifier que AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

Correction détaillée

01

Calcul des vecteurs

AB→=(3,2)BC→=(2,−5)AC→=(5,−3)\overrightarrow{AB}=(3,2) \qquad \overrightarrow{BC}=(2,-5) \qquad \overrightarrow{AC}=(5,-3)
02

Vérification

(3,2)+(2,−5)=(5,−3)=AC→(3,2)+(2,-5)=(5,-3)=\overrightarrow{AC}
13Intermédiaire

Parallélogramme à compléter

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On donne A(0,0)A(0,0), B(3,1)B(3,1) et D(−1,4)D(-1,4).
Déterminer le point CC pour que ABCDABCD soit un parallélogramme.

Correction détaillée

01

Utiliser $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

AB→=(3,1)\overrightarrow{AB}=(3,1)
Donc C=D+AB→=(−1+3,4+1)C=D+\overrightarrow{AB}=(-1+3,4+1).
02

Résultat

C(2,5)C(2,5)
14Difficile

Alignement de trois points

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Les points A(1,2)A(1,2), B(3,5)B(3,5) et C(5,8)C(5,8) sont-ils alignés ?

Correction détaillée

01

Vecteurs

AB→=(2,3)AC→=(4,6)\overrightarrow{AB}=(2,3) \qquad \overrightarrow{AC}=(4,6)
02

Conclusion

On a AC→=2AB→\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}, donc les trois points sont alignés.
15Difficile

Problème de déplacement

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Un drone se déplace de u⃗=(4,−1)\vec{u}=(4,-1) puis de v⃗=(−2,5)\vec{v}=(-2,5) à partir du point O(0,0)O(0,0).
1. Quel est son vecteur déplacement total ?
2. Quelle est sa position finale ?

Correction détaillée

01

Somme des déplacements

u⃗+v⃗=(2,4)\vec{u}+\vec{v}=(2,4)
02

Position finale

En partant de O(0,0)O(0,0), on arrive au point de coordonnées (2,4)\mathbf{(2,4)}.

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 04

Équations du Second Degré

Discriminant, racines et signe du trinôme

Chapitre 06

Statistiques Descriptives

Moyenne, médiane, quartiles et écart-type

Chapitre 03

Fonctions Affines

Droites, coefficient directeur et équations de droites