MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 06 · Seconde

Statistiques Descriptives

Moyenne, médiane, quartiles et écart-type

1Facile

Indicateurs de position

Énoncé

Les notes d'une classe sur 20 sont : 8,12,14,9,15,11,13,16,10,128, 12, 14, 9, 15, 11, 13, 16, 10, 12.
1. Calculer la moyenne xˉ\bar{x}.
2. Trouver la médiane MeMe, le premier quartile Q1Q_1 et le troisième quartile Q3Q_3.

Correction détaillée

01

Calcul de la moyenne

xˉ=8+12+14+9+15+11+13+16+10+1210=12010=12\bar{x} = \frac{8 + 12 + 14 + 9 + 15 + 11 + 13 + 16 + 10 + 12}{10} = \frac{120}{10} = 12
02

Tri et médiane

Données triées : 8,9,10,11,12,12,13,14,15,168, 9, 10, 11, \mathbf{12, 12}, 13, 14, 15, 16.
n=10n = 10 (pair) : la médiane est la moyenne des 5e et 6e valeurs :
Me=12+122=12Me = \frac{12 + 12}{2} = 12
03

Quartiles $Q_1$ et $Q_3$

Q1Q_1 = médiane de la moitié inférieure {8,9,10,11,12}\{8, 9, 10, 11, 12\} → Q1=10Q_1 = 10.
Q3Q_3 = médiane de la moitié supérieure {12,13,14,15,16}\{12, 13, 14, 15, 16\} → Q3=14Q_3 = 14.
Étendue interquartile : Q3−Q1=14−10=4Q_3 - Q_1 = 14 - 10 = 4.
2Intermédiaire

Variance et écart-type

Énoncé

Une série de 5 valeurs a pour moyenne xˉ=6\bar{x} = 6. Les valeurs sont : 4,5,7,8,64, 5, 7, 8, 6.
Calculer la variance VV et l'écart-type σ\sigma.

Correction détaillée

01

Vérification de la moyenne

xˉ=4+5+7+8+65=305=6✓\bar{x} = \frac{4 + 5 + 7 + 8 + 6}{5} = \frac{30}{5} = 6 \checkmark
02

Calcul des écarts à la moyenne

xixi−xˉ(xi−xˉ)24−245−11711824600\begin{array}{c|c|c} x_i & x_i - \bar{x} & (x_i - \bar{x})^2 \\ \hline 4 & -2 & 4 \\ 5 & -1 & 1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 8 & 2 & 4 \\ 6 & 0 & 0 \end{array}
03

Variance et écart-type

V=1n∑i=1n(xi−xˉ)2=4+1+1+4+05=105=2V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \frac{4+1+1+4+0}{5} = \frac{10}{5} = 2
σ=V=2≈1,41\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{2} \approx 1{,}41
L'écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne.
3Facile

Moyenne pondérée et série avec effectifs

Énoncé

Les résultats d'un contrôle dans une classe de 30 élèves sont présentés dans le tableau suivant :
Note xiEffectif ni43871212166202\begin{array}{c|c} \text{Note } x_i & \text{Effectif } n_i \\ \hline 4 & 3 \\ 8 & 7 \\ 12 & 12 \\ 16 & 6 \\ 20 & 2 \end{array}
1. Calculer la moyenne xˉ\bar{x}.
2. Déterminer la médiane.
3. Calculer l'étendue de la série.

Correction détaillée

01

Calcul de la moyenne pondérée

xˉ=∑nixi∑ni=3×4+7×8+12×12+6×16+2×2030\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i} = \frac{3 \times 4 + 7 \times 8 + 12 \times 12 + 6 \times 16 + 2 \times 20}{30}
=12+56+144+96+4030=34830=11,6= \frac{12 + 56 + 144 + 96 + 40}{30} = \frac{348}{30} = 11{,}6
02

Détermination de la médiane

Effectifs cumulés croissants : 3,10,22,28,303, 10, 22, 28, 30.
n=30n = 30 : la médiane est la moyenne de la 15e et 16e valeur.
Les valeurs 11 à 22 correspondent à la note 1212 → les 15e et 16e valeurs valent toutes deux 1212.
Me=12Me = 12
03

Étendue et interprétation

Eˊtendue=xmax⁡−xmin⁡=20−4=16\text{Étendue} = x_{\max} - x_{\min} = 20 - 4 = 16
L'étendue de 16 points montre une forte disparité des résultats. La moyenne 11,611{,}6 et la médiane 1212 sont proches, ce qui indique une distribution relativement symétrique.
4Difficile

Diagramme en boîte et comparaison de séries

Énoncé

Deux groupes d'élèves ont passé le même test noté sur 20. Voici les indicateurs statistiques :
- Groupe A : min =5= 5, Q1=9Q_1 = 9, Me=12Me = 12, Q3=15Q_3 = 15, max =18= 18, xˉ=11,5\bar{x} = 11{,}5
- Groupe B : min =2= 2, Q1=7Q_1 = 7, Me=11Me = 11, Q3=16Q_3 = 16, max =20= 20, xˉ=11\bar{x} = 11
1. Comparer les étendues interquartiles des deux groupes.
2. Quel groupe a les résultats les plus homogènes ?
3. Dans quel groupe la distribution est-elle asymétrique ? Justifier.

Correction détaillée

01

Calcul des étendues interquartiles

Groupe A : IQRA=Q3−Q1=15−9=6IQR_A = Q_3 - Q_1 = 15 - 9 = 6
Groupe B : IQRB=Q3−Q1=16−7=9IQR_B = Q_3 - Q_1 = 16 - 7 = 9
L'étendue interquartile du groupe A est plus faible, indiquant que les 50%50\% centraux des élèves du groupe A sont plus regroupés autour de la médiane.
02

Comparaison de l'homogénéité

Le groupe B a une étendue totale de 20−2=1820 - 2 = 18 et un IQR=9IQR = 9, contre 18−5=1318 - 5 = 13 et IQR=6IQR = 6 pour le groupe A.
Les deux indicateurs de dispersion sont plus faibles pour le groupe A : le groupe A est plus homogène.
03

Analyse de l'asymétrie

Groupe A : Me−Q1=12−9=3Me - Q_1 = 12 - 9 = 3 et Q3−Me=15−12=3Q_3 - Me = 15 - 12 = 3 → distribution symétrique autour de la médiane.
Groupe B : Me−Q1=11−7=4Me - Q_1 = 11 - 7 = 4 et Q3−Me=16−11=5Q_3 - Me = 16 - 11 = 5 → la moitié supérieure est plus étalée : distribution asymétrique à droite (quelques très bonnes notes tirent la boîte vers le haut).