MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 06 · Seconde

Statistiques Descriptives

Moyenne, médiane, quartiles et écart-type

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Travailler Statistiques Descriptives en Seconde

Ce chapitre de statistiques descriptives en seconde te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Bien distinguer données, fréquence, probabilité et événement.
  • Savoir organiser l’information dans un tableau ou un arbre si nécessaire.

Compétences à maîtriser

  • Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
  • Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Erreurs fréquentes

  • Confondre événement contraire et événement impossible.
  • Donner un résultat numérique sans interprétation.

En contrôle ou en examen : Ce type de question valorise surtout la méthode et la lecture attentive de l’énoncé.

1Facile

Indicateurs de position

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Énoncé

Les notes d'une classe sur 20 sont : 8,12,14,9,15,11,13,16,10,128, 12, 14, 9, 15, 11, 13, 16, 10, 12.
1. Calculer la moyenne xˉ\bar{x}.
2. Trouver la médiane MeMe, le premier quartile Q1Q_1 et le troisième quartile Q3Q_3.

Correction détaillée

01

Calcul de la moyenne

xˉ=8+12+14+9+15+11+13+16+10+1210=12010=12\bar{x} = \frac{8 + 12 + 14 + 9 + 15 + 11 + 13 + 16 + 10 + 12}{10} = \frac{120}{10} = 12
02

Tri et médiane

Données triées : 8,9,10,11,12,12,13,14,15,168, 9, 10, 11, \mathbf{12, 12}, 13, 14, 15, 16.
n=10n = 10 (pair) : la médiane est la moyenne des 5e et 6e valeurs :
Me=12+122=12Me = \frac{12 + 12}{2} = 12
03

Quartiles $Q_1$ et $Q_3$

Q1Q_1 = médiane de la moitié inférieure {8,9,10,11,12}\{8, 9, 10, 11, 12\} → Q1=10Q_1 = 10.
Q3Q_3 = médiane de la moitié supérieure {12,13,14,15,16}\{12, 13, 14, 15, 16\} → Q3=14Q_3 = 14.
Étendue interquartile : Q3−Q1=14−10=4Q_3 - Q_1 = 14 - 10 = 4.
2Intermédiaire

Variance et écart-type

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Énoncé

Une série de 5 valeurs a pour moyenne xˉ=6\bar{x} = 6. Les valeurs sont : 4,5,7,8,64, 5, 7, 8, 6.
Calculer la variance VV et l'écart-type σ\sigma.

Correction détaillée

01

Vérification de la moyenne

xˉ=4+5+7+8+65=305=6✓\bar{x} = \frac{4 + 5 + 7 + 8 + 6}{5} = \frac{30}{5} = 6 \checkmark
02

Calcul des écarts à la moyenne

xixi−xˉ(xi−xˉ)24−245−11711824600\begin{array}{c|c|c} x_i & x_i - \bar{x} & (x_i - \bar{x})^2 \\ \hline 4 & -2 & 4 \\ 5 & -1 & 1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 8 & 2 & 4 \\ 6 & 0 & 0 \end{array}
03

Variance et écart-type

V=1n∑i=1n(xi−xˉ)2=4+1+1+4+05=105=2V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \frac{4+1+1+4+0}{5} = \frac{10}{5} = 2
σ=V=2≈1,41\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{2} \approx 1{,}41
L'écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne.
3Facile

Moyenne pondérée et série avec effectifs

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Énoncé

Les résultats d'un contrôle dans une classe de 30 élèves sont présentés dans le tableau suivant :
Note xiEffectif ni43871212166202\begin{array}{c|c} \text{Note } x_i & \text{Effectif } n_i \\ \hline 4 & 3 \\ 8 & 7 \\ 12 & 12 \\ 16 & 6 \\ 20 & 2 \end{array}
1. Calculer la moyenne xˉ\bar{x}.
2. Déterminer la médiane.
3. Calculer l'étendue de la série.

Correction détaillée

01

Calcul de la moyenne pondérée

xˉ=∑nixi∑ni=3×4+7×8+12×12+6×16+2×2030\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i} = \frac{3 \times 4 + 7 \times 8 + 12 \times 12 + 6 \times 16 + 2 \times 20}{30}
=12+56+144+96+4030=34830=11,6= \frac{12 + 56 + 144 + 96 + 40}{30} = \frac{348}{30} = 11{,}6
02

Détermination de la médiane

Effectifs cumulés croissants : 3,10,22,28,303, 10, 22, 28, 30.
n=30n = 30 : la médiane est la moyenne de la 15e et 16e valeur.
Les valeurs 11 à 22 correspondent à la note 1212 → les 15e et 16e valeurs valent toutes deux 1212.
Me=12Me = 12
03

Étendue et interprétation

Eˊtendue=xmax⁡−xmin⁡=20−4=16\text{Étendue} = x_{\max} - x_{\min} = 20 - 4 = 16
L'étendue de 16 points montre une forte disparité des résultats. La moyenne 11,611{,}6 et la médiane 1212 sont proches, ce qui indique une distribution relativement symétrique.
4Difficile

Diagramme en boîte et comparaison de séries

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Énoncé

Deux groupes d'élèves ont passé le même test noté sur 20. Voici les indicateurs statistiques :
- Groupe A : min =5= 5, Q1=9Q_1 = 9, Me=12Me = 12, Q3=15Q_3 = 15, max =18= 18, xˉ=11,5\bar{x} = 11{,}5
- Groupe B : min =2= 2, Q1=7Q_1 = 7, Me=11Me = 11, Q3=16Q_3 = 16, max =20= 20, xˉ=11\bar{x} = 11
1. Comparer les étendues interquartiles des deux groupes.
2. Quel groupe a les résultats les plus homogènes ?
3. Dans quel groupe la distribution est-elle asymétrique ? Justifier.

Correction détaillée

01

Calcul des étendues interquartiles

Groupe A : IQRA=Q3−Q1=15−9=6IQR_A = Q_3 - Q_1 = 15 - 9 = 6
Groupe B : IQRB=Q3−Q1=16−7=9IQR_B = Q_3 - Q_1 = 16 - 7 = 9
L'étendue interquartile du groupe A est plus faible, indiquant que les 50%50\% centraux des élèves du groupe A sont plus regroupés autour de la médiane.
02

Comparaison de l'homogénéité

Le groupe B a une étendue totale de 20−2=1820 - 2 = 18 et un IQR=9IQR = 9, contre 18−5=1318 - 5 = 13 et IQR=6IQR = 6 pour le groupe A.
Les deux indicateurs de dispersion sont plus faibles pour le groupe A : le groupe A est plus homogène.
03

Analyse de l'asymétrie

Groupe A : Me−Q1=12−9=3Me - Q_1 = 12 - 9 = 3 et Q3−Me=15−12=3Q_3 - Me = 15 - 12 = 3 → distribution symétrique autour de la médiane.
Groupe B : Me−Q1=11−7=4Me - Q_1 = 11 - 7 = 4 et Q3−Me=16−11=5Q_3 - Me = 16 - 11 = 5 → la moitié supérieure est plus étalée : distribution asymétrique à droite (quelques très bonnes notes tirent la boîte vers le haut).
5Facile

Étendue d’une série

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Énoncé

On considère la série : 12,7,15,9,18,1012, 7, 15, 9, 18, 10.
Calculer l’étendue.

Correction détaillée

01

Repérer extrêmes

Le minimum est 77 et le maximum est 1818.
02

Calcul

Eˊtendue=18−7=11\text{Étendue}=18-7=11
6Facile

Moyenne simple

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Énoncé

Calculer la moyenne de la série : 5,7,8,10,105, 7, 8, 10, 10.

Correction détaillée

01

Somme

5+7+8+10+10=405+7+8+10+10=40
02

Moyenne

xˉ=405=8\bar{x}=\frac{40}{5}=8
7Facile

Médiane d’une série impaire

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Énoncé

Déterminer la médiane de la série : 14,9,11,7,16,12,1014, 9, 11, 7, 16, 12, 10.

Correction détaillée

01

Tri

Données triées : 7,9,10,11,12,14,167, 9, 10, 11, 12, 14, 16.
02

Médiane

Il y a 77 valeurs, la médiane est la 4e : 11\mathbf{11}.
8Intermédiaire

Quartiles

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Énoncé

Pour la série triée 2,4,5,6,8,9,11,13,142, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 14, donner Q1Q_1, la médiane et Q3Q_3.

Correction détaillée

01

Repérage

La médiane est la 5e valeur : 88.
02

Quartiles

Moitié inférieure : 2,4,5,62,4,5,6 donc Q1=4Q_1=4 ou, avec la définition usuelle de Seconde par rang, la 3e valeur est 55.
En prenant la définition usuelle française par rang : Q1=5Q_1=5 et Q3=11Q_3=11.
9Intermédiaire

Moyenne pondérée courte

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Énoncé

Une note 88 apparaît 2 fois, la note 1010 apparaît 5 fois et la note 1414 apparaît 3 fois.
Calculer la moyenne.

Correction détaillée

01

Somme pondérée

2×8+5×10+3×14=16+50+42=1082\times 8 + 5\times 10 + 3\times 14 = 16+50+42=108
02

Division par l’effectif total

xˉ=10810=10,8\bar{x}=\frac{108}{10}=10{,}8
10Intermédiaire

Lecture d’effectifs cumulés

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Énoncé

Une série comporte les effectifs suivants :
xi1234ni3548\begin{array}{c|cccc}x_i&1&2&3&4\\\hline n_i&3&5&4&8\end{array}
Donner les effectifs cumulés croissants.

Correction détaillée

01

Addition progressive

33+5=88+4=1212+8=203 \qquad 3+5=8 \qquad 8+4=12 \qquad 12+8=20
02

Résultat

Les effectifs cumulés croissants sont 3,8,12,20\mathbf{3, 8, 12, 20}.
11Intermédiaire

Variance sur une petite série

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Énoncé

Calculer la variance de la série 1,3,51, 3, 5.

Correction détaillée

01

Moyenne

xˉ=1+3+53=3\bar{x}=\frac{1+3+5}{3}=3
02

Carrés des écarts

V=(1−3)2+(3−3)2+(5−3)23=4+0+43=83V=\frac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{3}=\frac{4+0+4}{3}=\frac{8}{3}
12Intermédiaire

Écart-type

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Énoncé

On sait que la variance d’une série vaut 99. Calculer l’écart-type.

Correction détaillée

01

Définition

L’écart-type est la racine carrée de la variance.
02

Calcul

σ=9=3\sigma=\sqrt{9}=3
13Difficile

Comparer deux dispersions

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Énoncé

Deux séries ont la même moyenne 1212.
- Série A : écart-type 1,21{,}2
- Série B : écart-type 3,53{,}5
Laquelle est la plus dispersée ?

Correction détaillée

01

Principe

Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
02

Conclusion

La série B est la plus dispersée car 3,5>1,23{,}5 > 1{,}2.
14Difficile

Médiane avec effectifs

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Énoncé

Les valeurs 66, 99, 1212 ont pour effectifs respectifs 44, 77, 55.
Déterminer la médiane.

Correction détaillée

01

Effectif total

n=4+7+5=16n=4+7+5=16
La médiane est la moyenne des 8e et 9e valeurs.
02

Repérage

Les positions 1 à 4 valent 66, les positions 5 à 11 valent 99.
Les 8e et 9e valeurs valent donc 99.
Me=9Me=9
15Difficile

Problème de notes

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Énoncé

Une élève obtient les notes 1111, 1414, 99 et 1616.
Quelle note doit-elle obtenir au dernier contrôle pour avoir une moyenne de 1313 ?

Correction détaillée

01

Somme visée

Avec 5 notes, il faut un total de 5×13=655\times 13=65 points.
02

Calcul de la note manquante

11+14+9+16=5011+14+9+16=50
La note manquante vaut 65−50=1565-50=15.

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

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Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 05

Vecteurs dans le Plan

Coordonnées, norme, colinéarité et translations

Chapitre 07

Probabilités

Événements, probabilité conditionnelle et arbres de probabilité

Chapitre 04

Équations du Second Degré

Discriminant, racines et signe du trinôme