MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 07 · Seconde

Probabilités

Événements, probabilité conditionnelle et arbres de probabilité

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Travailler Probabilités en Seconde

Ce chapitre de probabilités en seconde te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Bien distinguer données, fréquence, probabilité et événement.
  • Savoir organiser l’information dans un tableau ou un arbre si nécessaire.

Compétences à maîtriser

  • Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
  • Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Erreurs fréquentes

  • Confondre événement contraire et événement impossible.
  • Donner un résultat numérique sans interprétation.

En contrôle ou en examen : Ce type de question valorise surtout la méthode et la lecture attentive de l’énoncé.

1Intermédiaire

Probabilité avec un arbre pondéré

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Énoncé

Un sac contient 4 billes rouges et 6 billes bleues. On tire successivement 2 billes sans remise.
1. Construire un arbre de probabilités.
2. Calculer la probabilité que les 2 billes soient de la même couleur.

Correction détaillée

01

Arbre des probabilités

Au premier tirage : P(R1)=410P(R_1) = \dfrac{4}{10} et P(B1)=610P(B_1) = \dfrac{6}{10}.
Au second tirage (sans remise, 9 billes restantes) :
- Après R1R_1 : P(R2∣R1)=39P(R_2|R_1) = \dfrac{3}{9}, P(B2∣R1)=69P(B_2|R_1) = \dfrac{6}{9}
- Après B1B_1 : P(R2∣B1)=49P(R_2|B_1) = \dfrac{4}{9}, P(B2∣B1)=59P(B_2|B_1) = \dfrac{5}{9}
02

Probabilité — 2 rouges

P(R1∩R2)=P(R1)×P(R2∣R1)=410×39=1290=215P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}
03

Probabilité — 2 bleues, puis conclusion

P(B1∩B2)=P(B1)×P(B2∣B1)=610×59=3090=13P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \times P(B_2|B_1) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}
Les événements sont disjoints, donc :
P(meˆme couleur)=215+13=215+515=715P(\text{même couleur}) = \frac{2}{15} + \frac{1}{3} = \frac{2}{15} + \frac{5}{15} = \mathbf{\frac{7}{15}}
2Facile

Événements et complémentaire

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Énoncé

On lance deux dés équilibrés à 6 faces. On note AA l'événement "la somme vaut au moins 10".
1. Calculer P(A)P(A) par dénombrement.
2. En déduire P(Aˉ)P(\bar{A}).

Correction détaillée

01

Dénombrement de l'univers

L'univers Ω\Omega est l'ensemble des couples (d1,d2)(d_1, d_2) avec d1,d2∈{1,…,6}d_1, d_2 \in \{1,\ldots,6\}. Il y a ∣Ω∣=36|\Omega| = 36 issues équiprobables.
02

Cas favorables à $A$ : somme $\geq 10$

- Somme =10= 10 : (4,6),(5,5),(6,4)(4,6), (5,5), (6,4) → 3 cas
- Somme =11= 11 : (5,6),(6,5)(5,6), (6,5) → 2 cas
- Somme =12= 12 : (6,6)(6,6) → 1 cas
Total : 6 cas favorables.
P(A)=636=16P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
03

Probabilité du complémentaire

P(Aˉ)=1−P(A)=1−16=56≈83,3%P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 83{,}3\%
Il y a donc 5 chances sur 6 que la somme soit inférieure à 10.
3Intermédiaire

Probabilité conditionnelle et formule des probabilités totales

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Énoncé

Dans un lycée, 60%60\% des élèves pratiquent un sport. Parmi les sportifs, 80%80\% réussissent l'année. Parmi les non-sportifs, 65%65\% réussissent.
1. Représenter la situation par un arbre de probabilités.
2. Calculer la probabilité qu'un élève réussisse son année.
3. Sachant qu'un élève a réussi, quelle est la probabilité qu'il soit sportif ?

Correction détaillée

01

Arbre de probabilités

On note SS : être sportif, Sˉ\bar{S} : ne pas l'être, RR : réussir.
P(S)=0,6P(Sˉ)=0,4P(S) = 0{,}6 \quad P(\bar{S}) = 0{,}4
P(R∣S)=0,8P(Rˉ∣S)=0,2P(R|S) = 0{,}8 \quad P(\bar{R}|S) = 0{,}2
P(R∣Sˉ)=0,65P(Rˉ∣Sˉ)=0,35P(R|\bar{S}) = 0{,}65 \quad P(\bar{R}|\bar{S}) = 0{,}35
02

Probabilité de réussir (probabilités totales)

P(R)=P(S)×P(R∣S)+P(Sˉ)×P(R∣Sˉ)P(R) = P(S) \times P(R|S) + P(\bar{S}) \times P(R|\bar{S})
P(R)=0,6×0,8+0,4×0,65=0,48+0,26=0,74P(R) = 0{,}6 \times 0{,}8 + 0{,}4 \times 0{,}65 = 0{,}48 + 0{,}26 = 0{,}74
Il y a 74 % de chances qu'un élève réussisse son année.
03

Probabilité conditionnelle (formule de Bayes)

P(S∣R)=P(S∩R)P(R)=P(S)×P(R∣S)P(R)=0,480,74≈0,649P(S|R) = \frac{P(S \cap R)}{P(R)} = \frac{P(S) \times P(R|S)}{P(R)} = \frac{0{,}48}{0{,}74} \approx 0{,}649
Sachant qu'un élève a réussi, la probabilité qu'il soit sportif est d'environ 64,9 %.
4Facile

Équiprobabilité et dénombrement

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Énoncé

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs : pique, cœur, carreau, trèfle ; 8 valeurs : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as).
Soit AA : "tirer un roi", BB : "tirer une carte de cœur".
1. Calculer P(A)P(A), P(B)P(B) et P(A∩B)P(A \cap B).
2. Calculer P(A∪B)P(A \cup B).
3. Les événements AA et BB sont-ils indépendants ?

Correction détaillée

01

Calcul de $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$

AA : 4 rois dans 32 cartes → P(A)=432=18P(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}
BB : 8 cartes de cœur → P(B)=832=14P(B) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}
A∩BA \cap B : le roi de cœur (1 carte) → P(A∩B)=132P(A \cap B) = \dfrac{1}{32}
02

Calcul de $P(A \cup B)$

On applique la formule d'inclusion-exclusion :
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
=18+14−132=432+832−132=1132= \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{32} = \frac{4}{32} + \frac{8}{32} - \frac{1}{32} = \frac{11}{32}
03

Test d'indépendance

AA et BB sont indépendants si P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B).
P(A)×P(B)=18×14=132P(A) \times P(B) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{32}
Or P(A∩B)=132P(A \cap B) = \dfrac{1}{32} : l'égalité est vérifiée.
AA et BB sont bien des événements indépendants.
5Facile

Pièce équilibrée

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Énoncé

On lance une pièce équilibrée deux fois.
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une fois pile ?

Correction détaillée

01

Univers

Les issues sont (P,P)(P,P), (P,F)(P,F), (F,P)(F,P), (F,F)(F,F), toutes équiprobables.
02

Cas favorables

Deux issues conviennent : (P,F)(P,F) et (F,P)(F,P).
P=24=12P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
6Facile

Complémentaire

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Énoncé

Dans une urne, la probabilité de tirer une boule verte est 0,350{,}35.
Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule verte ?

Correction détaillée

01

Formule

P(V‾)=1−P(V)P(\overline{V})=1-P(V)
02

Calcul

P(V‾)=1−0,35=0,65P(\overline{V})=1-0{,}35=0{,}65
7Intermédiaire

Somme de probabilités disjointes

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Énoncé

On lance un dé. Calculer la probabilité d’obtenir un nombre pair ou strictement supérieur à 44.

Correction détaillée

01

Cas favorables

Pairs : {2,4,6}\{2,4,6\}.
Supérieurs à 44 : {5,6}\{5,6\}.
Union : {2,4,5,6}\{2,4,5,6\}.
02

Probabilité

P=46=23P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
8Intermédiaire

Tirage avec remise

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Énoncé

Une urne contient 3 boules noires et 2 boules blanches. On tire deux fois avec remise.
Calculer la probabilité d’obtenir deux boules blanches.

Correction détaillée

01

Probabilités élémentaires

P(B)=25P(B)=\frac{2}{5}
Avec remise, les tirages sont indépendants.
02

Calcul

P(B∩B)=25×25=425P(B\cap B)=\frac{2}{5}\times\frac{2}{5}=\frac{4}{25}
9Intermédiaire

Tirage sans remise

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Énoncé

Une urne contient 5 jetons numérotés 1 à 5. On tire successivement 2 jetons sans remise.
Calculer la probabilité de tirer d’abord 1 puis 2.

Correction détaillée

01

Premier tirage

P(1)=15P(1)=\frac{1}{5}
02

Second tirage

P(2∣1)=14P(2\mid 1)=\frac{1}{4}
Donc P(1 puis 2)=15×14=120P(1\text{ puis }2)=\frac{1}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{20}
10Facile

Événements incompatibles

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Énoncé

On lance un dé. Les événements AA : "obtenir 1" et BB : "obtenir 6" sont-ils incompatibles ?

Correction détaillée

01

Définition

Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
02

Conclusion

Sur un seul lancer, on ne peut pas obtenir à la fois 1 et 6.
Donc AA et BB sont incompatibles.
11Difficile

Indépendance simple

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Énoncé

On lance deux pièces équilibrées. Soit AA : "la première pièce donne pile" et BB : "la seconde pièce donne pile".
Montrer que AA et BB sont indépendants.

Correction détaillée

01

Probabilités séparées

P(A)=12P(B)=12P(A)=\frac{1}{2} \qquad P(B)=\frac{1}{2}
02

Probabilité conjointe

P(A∩B)=14=12×12=P(A)P(B)P(A\cap B)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=P(A)P(B)
Donc AA et BB sont indépendants.
12Difficile

Probabilités totales

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Énoncé

Une machine fabrique 70%70\% de pièces de type A et 30%30\% de type B.
Le taux de défaut est de 2%2\% pour A et 5%5\% pour B.
Quelle est la probabilité qu’une pièce soit défectueuse ?

Correction détaillée

01

Formule

P(D)=P(A)P(D∣A)+P(B)P(D∣B)P(D)=P(A)P(D\mid A)+P(B)P(D\mid B)
02

Calcul

P(D)=0,7×0,02+0,3×0,05=0,014+0,015=0,029P(D)=0{,}7\times 0{,}02 + 0{,}3\times 0{,}05 = 0{,}014+0{,}015=0{,}029
La probabilité vaut 2,9%\mathbf{2{,}9\%}.
13Difficile

Conditionnelle

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Énoncé

Dans une classe, 40%40\% des élèves font latin. Parmi eux, 75%75\% ont plus de 12 de moyenne. Parmi les non-latinistes, 50%50\% ont plus de 12.
Calculer la probabilité qu’un élève ait plus de 12, puis la probabilité qu’il fasse latin sachant qu’il a plus de 12.

Correction détaillée

01

Probabilité d’avoir plus de 12

P(M)=0,4×0,75+0,6×0,5=0,3+0,3=0,6P(M)=0{,}4\times 0{,}75 + 0{,}6\times 0{,}5 = 0{,}3+0{,}3=0{,}6
02

Conditionnelle

P(L∣M)=P(L∩M)P(M)=0,4×0,750,6=0,30,6=0,5P(L\mid M)=\frac{P(L\cap M)}{P(M)}=\frac{0{,}4\times 0{,}75}{0{,}6}=\frac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5
14Intermédiaire

Cartes et union

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Énoncé

Dans un jeu de 52 cartes, on note AA : "tirer un as" et BB : "tirer un trèfle".
Calculer P(A∪B)P(A\cup B).

Correction détaillée

01

Données utiles

P(A)=452,P(B)=1352,P(A∩B)=152P(A)=\frac{4}{52},\quad P(B)=\frac{13}{52},\quad P(A\cap B)=\frac{1}{52}
02

Inclusion-exclusion

P(A∪B)=452+1352−152=1652=413P(A\cup B)=\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}
15Difficile

Problème de transport

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Énoncé

Un usager prend le bus avec probabilité 0,60{,}6 ou le vélo avec probabilité 0,40{,}4. S’il prend le bus, il est en retard avec probabilité 0,10{,}1. S’il prend le vélo, il est en retard avec probabilité 0,250{,}25.
Calculer la probabilité d’être en retard.

Correction détaillée

01

Probabilités totales

P(R)=0,6×0,1+0,4×0,25P(R)=0{,}6\times 0{,}1 + 0{,}4\times 0{,}25
02

Calcul

P(R)=0,06+0,10=0,16P(R)=0{,}06+0{,}10=0{,}16
La probabilité d’être en retard est de 16%\mathbf{16\%}.

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 06

Statistiques Descriptives

Moyenne, médiane, quartiles et écart-type

Chapitre 08

Géométrie dans le Plan

Droites, distances, milieu et médiatrice

Chapitre 05

Vecteurs dans le Plan

Coordonnées, norme, colinéarité et translations