Probabilités — Exercices Corrigés Seconde | Mathématiques by Kaizen Market

1Intermédiaire

Probabilité avec un arbre pondéré

Énoncé

Un sac contient 4 billes rouges et 6 billes bleues. On tire successivement 2 billes sans remise.
1. Construire un arbre de probabilités.
2. Calculer la probabilité que les 2 billes soient de la même couleur.

Correction détaillée

01

Arbre des probabilités

Au premier tirage :

P(R_1) = \dfrac{4}{10}

et

P(B_1) = \dfrac{6}{10}

.
Au second tirage (sans remise, 9 billes restantes) :
- Après

R_1

:

P(R_2|R_1) = \dfrac{3}{9}

,

P(B_2|R_1) = \dfrac{6}{9}

- Après

B_1

:

P(R_2|B_1) = \dfrac{4}{9}

,

P(B_2|B_1) = \dfrac{5}{9}

02

Probabilité — 2 rouges

P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}

03

Probabilité — 2 bleues, puis conclusion

P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \times P(B_2|B_1) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}

Les événements sont disjoints, donc :

P(\text{même couleur}) = \frac{2}{15} + \frac{1}{3} = \frac{2}{15} + \frac{5}{15} = \mathbf{\frac{7}{15}}

2Facile

Événements et complémentaire

Énoncé

On lance deux dés équilibrés à 6 faces. On note

A

l'événement "la somme vaut au moins 10".
1. Calculer

P(A)

par dénombrement.
2. En déduire

P(\bar{A})

.

Correction détaillée

01

Dénombrement de l'univers

L'univers

\Omega

est l'ensemble des couples

(d_1, d_2)

avec

d_1, d_2 \in \{1,\ldots,6\}

. Il y a

|\Omega| = 36

issues équiprobables.

02

Cas favorables à $A$ : somme $\geq 10$

- Somme

= 10

:

(4,6), (5,5), (6,4)

→ 3 cas
- Somme

= 11

:

(5,6), (6,5)

→ 2 cas
- Somme

= 12

:

(6,6)

→ 1 cas
Total : 6 cas favorables.

P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

03

Probabilité du complémentaire

P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 83{,}3\%

Il y a donc 5 chances sur 6 que la somme soit inférieure à 10.

3Intermédiaire

Probabilité conditionnelle et formule des probabilités totales

Énoncé

Dans un lycée,

60\%

des élèves pratiquent un sport. Parmi les sportifs,

80\%

réussissent l'année. Parmi les non-sportifs,

65\%

réussissent.
1. Représenter la situation par un arbre de probabilités.
2. Calculer la probabilité qu'un élève réussisse son année.
3. Sachant qu'un élève a réussi, quelle est la probabilité qu'il soit sportif ?

Correction détaillée

01

Arbre de probabilités

On note

S

: être sportif,

\bar{S}

: ne pas l'être,

R

: réussir.

P(S) = 0{,}6 \quad P(\bar{S}) = 0{,}4

P(R|S) = 0{,}8 \quad P(\bar{R}|S) = 0{,}2

P(R|\bar{S}) = 0{,}65 \quad P(\bar{R}|\bar{S}) = 0{,}35

02

Probabilité de réussir (probabilités totales)

P(R) = P(S) \times P(R|S) + P(\bar{S}) \times P(R|\bar{S})

P(R) = 0{,}6 \times 0{,}8 + 0{,}4 \times 0{,}65 = 0{,}48 + 0{,}26 = 0{,}74

Il y a 74 % de chances qu'un élève réussisse son année.

03

Probabilité conditionnelle (formule de Bayes)

P(S|R) = \frac{P(S \cap R)}{P(R)} = \frac{P(S) \times P(R|S)}{P(R)} = \frac{0{,}48}{0{,}74} \approx 0{,}649

Sachant qu'un élève a réussi, la probabilité qu'il soit sportif est d'environ 64,9 %.

4Facile

Équiprobabilité et dénombrement

Énoncé

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs : pique, cœur, carreau, trèfle ; 8 valeurs : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as).
Soit

A

: "tirer un roi",

B

: "tirer une carte de cœur".
1. Calculer

P(A)

,

P(B)

et

P(A \cap B)

.
2. Calculer

P(A \cup B)

.
3. Les événements

A

et

B

sont-ils indépendants ?

Correction détaillée

01

Calcul de $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$

A

: 4 rois dans 32 cartes →

P(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}

B

: 8 cartes de cœur →

P(B) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}

A \cap B

: le roi de cœur (1 carte) →

P(A \cap B) = \dfrac{1}{32}

02

Calcul de $P(A \cup B)$

On applique la formule d'inclusion-exclusion :

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

= \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{32} = \frac{4}{32} + \frac{8}{32} - \frac{1}{32} = \frac{11}{32}

03

Test d'indépendance

A

et

B

sont indépendants si

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

.

P(A) \times P(B) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{32}

Or

P(A \cap B) = \dfrac{1}{32}

: l'égalité est vérifiée.
$A$ et $B$ sont bien des événements indépendants.