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Chapitre 08 · Seconde

Géométrie dans le Plan

Droites, distances, milieu et médiatrice

Réviser efficacement

Travailler Géométrie dans le Plan en Seconde

Ce chapitre de géométrie dans le plan en seconde te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours complet Voir le programme du niveau Méthodologie de révision

Prérequis

Reprendre les bases de seconde liées à géométrie dans le plan.
Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

Maîtriser les méthodes essentielles de géométrie dans le plan.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Facile

Milieu, distance et médiatrice

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On donne

A(2, -1)

B(8, 5)

dans un repère orthonormé.
1. Calculer les coordonnées du milieu

I

[AB]

.
2. Calculer la distance

AB

.
3. Donner l'équation de la médiatrice de

[AB]

Correction détaillée

Coordonnées du milieu $I$

I = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{2+8}{2},\ \frac{-1+5}{2}\right) = (5,\ 2)

Distance $AB$

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}

Médiatrice de $[AB]$

La médiatrice passe par

I(5, 2)

et est perpendiculaire à

(AB)

.
Le vecteur

\overrightarrow{AB} = (6, 6)

est directeur de

(AB)

, donc

\vec{n}(1, -1)

est normal à

(AB)

.
Équation de la médiatrice :

1(x - 5) - 1(y - 2) = 0 \Rightarrow \mathbf{x - y - 3 = 0}

2Intermédiaire

Équation d'un cercle

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On considère le cercle

\mathcal{C}

de centre

\Omega(3, -2)

et de rayon

r = 5

.
1. Écrire l'équation cartésienne de

\mathcal{C}

.
2. Le point

M(7, 1)

appartient-il à

\mathcal{C}

Correction détaillée

Équation du cercle

Un cercle de centre

\Omega(a, b)

et de rayon

r

a pour équation

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25

Test d'appartenance du point $M$

On substitue

M(7, 1)

(7-3)^2 + (1+2)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25

Conclusion

On obtient

25 = 25

. ✓ Le point

M(7, 1)

appartient au cercle

\mathcal{C}

.
Alternativement :

\Omega M = \sqrt{(7-3)^2+(1+2)^2} = \sqrt{25} = 5 = r

3Intermédiaire

Triangle et hauteurs

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On considère le triangle

ABC

avec

A(0, 0)

B(6, 0)

C(2, 4)

dans un repère orthonormé.
1. Calculer les longueurs des trois côtés et vérifier si le triangle est rectangle.
2. Déterminer l'équation de la hauteur issue de

C

Correction détaillée

Calcul des longueurs des côtés

AB = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6

AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

BC = \sqrt{(6-2)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

Test du triangle rectangle (Pythagore)

On teste si

AB^2 = AC^2 + BC^2

(hypoténuse

= AB

si angle droit en

C

) :

AC^2 + BC^2 = 20 + 32 = 52 \neq 36 = AB^2

On vérifie

\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-2)(-4) + (-4)(-4)...

Non :

\overrightarrow{CA} = (-2,-4)

\overrightarrow{CB} = (4,-4)

→

(-2)(4) + (-4)(-4) = -8 + 16 = 8 \neq 0

. Le triangle n'est pas rectangle.

Équation de la hauteur issue de $C$

La hauteur issue de

C

est perpendiculaire à

(AB)

(AB)

est horizontal (vecteur

(6,0)

), donc la hauteur est verticale :

x = 2

.
Le pied

H

de la hauteur est

H(2, 0)

, et

CH = 4

(hauteur relative à la base

AB

).
Équation de la hauteur : $x = 2$ .

4Difficile

Intersection de cercle et droite

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On considère le cercle

\mathcal{C}

d'équation

(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25

et la droite

d : y = x + 4

.
1. Déterminer le centre

\Omega

et le rayon

r

du cercle.
2. Trouver les points d'intersection de

\mathcal{C}

et de

d

.
3. Calculer la distance du centre

\Omega

à la droite

d

Correction détaillée

Identification du centre et du rayon

L'équation

(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25

est de la forme

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

avec

a = 1

b = 2

r^2 = 25

.
Centre $\Omega(1, 2)$ , rayon $r = 5$ .

Points d'intersection

On substitue

y = x + 4

dans l'équation du cercle :

(x-1)^2 + (x+4-2)^2 = 25 \Rightarrow (x-1)^2 + (x+2)^2 = 25

x^2 - 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 = 25 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 20 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 10 = 0

\Delta = 1 + 40 = 41 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}

Deux points d'intersection (la droite est sécante au cercle).

Distance du centre $\Omega$ à la droite $d$

La droite

d : y = x + 4

s'écrit

x - y + 4 = 0

. La distance d'un point

\Omega(1, 2)

à la droite

ax + by + c = 0

est :

d(\Omega, d) = \frac{|a \cdot 1 + b \cdot 2 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|1 - 2 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12

Comme

\frac{3\sqrt{2}}{2} < 5 = r

, la droite est bien sécante au cercle.

5Facile

Distance entre deux points

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Énoncé

Calculer la distance entre

A(-1,2)

B(3,5)

Correction détaillée

Formule

AB=\sqrt{(3-(-1))^2+(5-2)^2}

Calcul

AB=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5

6Facile

Milieu d’un segment

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Déterminer le milieu de

[CD]

avec

C(4,-2)

D(10,6)

Correction détaillée

Application de la formule

I\left(\frac{4+10}{2},\frac{-2+6}{2}\right)

Résultat

I(7,2)

7Facile

Équation d’une droite horizontale

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Donner l’équation de la droite passant par

A(3,-4)

et parallèle à l’axe des abscisses.

Correction détaillée

Observation

Une droite parallèle à l’axe des abscisses a une ordonnée constante.

Conclusion

Comme elle passe par

A(3,-4)

, son équation est

\mathbf{y=-4}

8Facile

Équation d’une droite verticale

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Donner l’équation de la droite passant par

B(-2,5)

et parallèle à l’axe des ordonnées.

Correction détaillée

Observation

Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une abscisse constante.

Conclusion

Comme elle passe par

B(-2,5)

, son équation est

\mathbf{x=-2}

9Intermédiaire

Appartenance à un cercle

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Le point

M(1,4)

appartient-il au cercle de centre

O(1,1)

et de rayon

3

Correction détaillée

Distance au centre

OM=\sqrt{(1-1)^2+(4-1)^2}=3

Conclusion

Comme

OM=r

, le point

M

appartient au cercle.

10Intermédiaire

Pente d’une droite

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Déterminer le coefficient directeur de la droite passant par

A(2,1)

B(6,9)

Correction détaillée

Formule

a=\frac{9-1}{6-2}=\frac{8}{4}

Résultat

a=2

11Intermédiaire

Droite perpendiculaire

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Une droite

d

a pour coefficient directeur

\dfrac{1}{3}

.
Quel est celui d’une droite perpendiculaire à

d

Correction détaillée

Rappel

Pour deux droites perpendiculaires, les coefficients directeurs sont opposés inverses.

Réponse

a'=-3

12Intermédiaire

Médiatrice par équidistance

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Énoncé

Déterminer l’ensemble des points équidistants de

A(0,0)

B(4,0)

Correction détaillée

Milieu et direction

Le segment

[AB]

a pour milieu

(2,0)

et est horizontal.

Conclusion

La médiatrice est la droite verticale passant par le milieu :

\mathbf{x=2}

13Intermédiaire

Intersection de deux droites

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Trouver le point d’intersection des droites

x+y=5

y=x+1

Correction détaillée

Substitution

x+(x+1)=5 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2

Ordonnée

y=2+1=3

Le point d’intersection est

\mathbf{(2,3)}

14Difficile

Distance d’un point à une droite horizontale

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Calculer la distance du point

M(3,7)

à la droite

y=2

Correction détaillée

Observation

La droite est horizontale, la distance est donc la différence des ordonnées.

Calcul

d(M, y=2)=|7-2|=5

15Difficile

Problème de triangle isocèle

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On donne

A(-2,0)

B(2,0)

C(0,3)

.
Montrer que le triangle

ABC

est isocèle en

C

Correction détaillée

Calcul des longueurs

CA=\sqrt{(0+2)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13}

CB=\sqrt{(0-2)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13}

Conclusion

Comme

CA=CB

, le triangle

ABC

est isocèle en $C$ .

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 07

Travailler Géométrie dans le Plan en Seconde

Milieu, distance et médiatrice

Coordonnées du milieu $I$

Distance $AB$

Médiatrice de $[AB]$

Équation d'un cercle

Équation du cercle

Test d'appartenance du point $M$

Conclusion

Triangle et hauteurs

Calcul des longueurs des côtés

Test du triangle rectangle (Pythagore)

Équation de la hauteur issue de $C$

Intersection de cercle et droite

Identification du centre et du rayon

Points d'intersection

Distance du centre $\Omega$ à la droite $d$

Distance entre deux points

Formule

Calcul

Milieu d’un segment

Application de la formule

Résultat

Équation d’une droite horizontale

Observation

Conclusion

Équation d’une droite verticale

Observation

Conclusion

Appartenance à un cercle

Distance au centre

Conclusion

Pente d’une droite

Formule

Résultat

Droite perpendiculaire

Rappel

Réponse

Médiatrice par équidistance

Milieu et direction

Conclusion

Intersection de deux droites

Substitution

Ordonnée

Distance d’un point à une droite horizontale

Observation

Calcul

Problème de triangle isocèle

Calcul des longueurs

Conclusion

Garder le cap sur ce chapitre

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Chapitres liés à revoir ensuite

Probabilités

Statistiques Descriptives

Vecteurs dans le Plan