Géométrie dans le Plan — Exercices Corrigés Seconde

1Facile

Milieu, distance et médiatrice

Énoncé

On donne

A(2, -1)

et

B(8, 5)

dans un repère orthonormé.
1. Calculer les coordonnées du milieu

I

de

[AB]

.
2. Calculer la distance

AB

.
3. Donner l'équation de la médiatrice de

[AB]

.

Correction détaillée

01

Coordonnées du milieu $I$

I = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{2+8}{2},\ \frac{-1+5}{2}\right) = (5,\ 2)

02

Distance $AB$

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}

03

Médiatrice de $[AB]$

La médiatrice passe par

I(5, 2)

et est perpendiculaire à

(AB)

.
Le vecteur

\overrightarrow{AB} = (6, 6)

est directeur de

(AB)

, donc

\vec{n}(1, -1)

est normal à

(AB)

.
Équation de la médiatrice :

1(x - 5) - 1(y - 2) = 0 \Rightarrow \mathbf{x - y - 3 = 0}

.

2Intermédiaire

Équation d'un cercle

Énoncé

On considère le cercle

\mathcal{C}

de centre

\Omega(3, -2)

et de rayon

r = 5

.
1. Écrire l'équation cartésienne de

\mathcal{C}

.
2. Le point

M(7, 1)

appartient-il à

\mathcal{C}

?

Correction détaillée

01

Équation du cercle

Un cercle de centre

\Omega(a, b)

et de rayon

r

a pour équation

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

:

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25

02

Test d'appartenance du point $M$

On substitue

M(7, 1)

:

(7-3)^2 + (1+2)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25

03

Conclusion

On obtient

25 = 25

. ✓ Le point

M(7, 1)

appartient au cercle

\mathcal{C}

.
Alternativement :

\Omega M = \sqrt{(7-3)^2+(1+2)^2} = \sqrt{25} = 5 = r

.

3Intermédiaire

Triangle et hauteurs

Énoncé

On considère le triangle

ABC

avec

A(0, 0)

,

B(6, 0)

et

C(2, 4)

dans un repère orthonormé.
1. Calculer les longueurs des trois côtés et vérifier si le triangle est rectangle.
2. Déterminer l'équation de la hauteur issue de

C

.

Correction détaillée

01

Calcul des longueurs des côtés

AB = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6

AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

BC = \sqrt{(6-2)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

02

Test du triangle rectangle (Pythagore)

On teste si

AB^2 = AC^2 + BC^2

(hypoténuse

= AB

si angle droit en

C

) :

AC^2 + BC^2 = 20 + 32 = 52 \neq 36 = AB^2

On vérifie

\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-2)(-4) + (-4)(-4)...

Non :

\overrightarrow{CA} = (-2,-4)

,

\overrightarrow{CB} = (4,-4)

→

(-2)(4) + (-4)(-4) = -8 + 16 = 8 \neq 0

. Le triangle n'est pas rectangle.

03

Équation de la hauteur issue de $C$

La hauteur issue de

C

est perpendiculaire à

(AB)

.

(AB)

est horizontal (vecteur

(6,0)

), donc la hauteur est verticale :

x = 2

.
Le pied

H

de la hauteur est

H(2, 0)

, et

CH = 4

(hauteur relative à la base

AB

).
Équation de la hauteur : $x = 2$ .

4Difficile

Intersection de cercle et droite

Énoncé

On considère le cercle

\mathcal{C}

d'équation

(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25

et la droite

d : y = x + 4

.
1. Déterminer le centre

\Omega

et le rayon

r

du cercle.
2. Trouver les points d'intersection de

\mathcal{C}

et de

d

.
3. Calculer la distance du centre

\Omega

à la droite

d

.

Correction détaillée

01

Identification du centre et du rayon

L'équation

(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25

est de la forme

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

avec

a = 1

,

b = 2

,

r^2 = 25

.
Centre $\Omega(1, 2)$ , rayon $r = 5$ .

02

Points d'intersection

On substitue

y = x + 4

dans l'équation du cercle :

(x-1)^2 + (x+4-2)^2 = 25 \Rightarrow (x-1)^2 + (x+2)^2 = 25

x^2 - 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 = 25 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 20 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 10 = 0

\Delta = 1 + 40 = 41 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}

Deux points d'intersection (la droite est sécante au cercle).

03

Distance du centre $\Omega$ à la droite $d$

La droite

d : y = x + 4

s'écrit

x - y + 4 = 0

. La distance d'un point

\Omega(1, 2)

à la droite

ax + by + c = 0

est :

d(\Omega, d) = \frac{|a \cdot 1 + b \cdot 2 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|1 - 2 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12

Comme

\frac{3\sqrt{2}}{2} < 5 = r

, la droite est bien sécante au cercle.