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Chapitre 06 · Seconde

Cours

Statistiques

Indicateurs de tendance centrale et de dispersion

Les statistiques permettent de résumer et d'analyser des données numériques. En Seconde, on étudie les indicateurs de position (moyenne, médiane, quartiles) et de dispersion (étendue, écart interquartile). On apprend à lire et construire des diagrammes (boîte à moustaches, histogramme) et à comparer des séries statistiques.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Points de vigilance

Confondre événement contraire et événement impossible.
Donner un résultat numérique sans interprétation.

1Indicateurs de position

Moyenne : Pour une série de

n

valeurs

x_1, x_2, \ldots, x_n

, la moyenne est :

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

Médiane : Valeur qui partage la série (triée par ordre croissant) en deux moitiés égales. Si

n

est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.

Mode : Valeur (ou classe) qui apparaît le plus fréquemment dans la série.

Définition

Moyenne pondérée

Si les valeurs

x_i

ont pour effectifs

n_i

(ou fréquences

f_i

), la moyenne est

\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i} = \sum f_i x_i

Définition

Médiane

Valeur

M

telle que 50 % des données sont inférieures ou égales à

M

. Elle est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.

Exemple 1— Calcul de la moyenne et de la médiane

Calculer la moyenne et la médiane de la série :

3, 7, 4, 9, 2, 8, 5

Solution

Triée :

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9

(

n = 7

).
Moyenne :

\bar{x} = \dfrac{2+3+4+5+7+8+9}{7} = \dfrac{38}{7} \approx 5{,}43

.
Médiane :

n = 7

(impair), la valeur centrale est la 4ème :

M = \mathbf{5}

Moyenne : somme ÷ nombre de valeurs.
Médiane : valeur centrale de la série triée.
La médiane est robuste aux valeurs extrêmes (outliers).

2Indicateurs de dispersion

Étendue :

e = x_{\max} - x_{\min}

. Simple mais très sensible aux valeurs extrêmes.

Quartiles :
-

Q_1

(premier quartile) : 25 % des données sont inférieures à

Q_1

.
-

Q_3

(troisième quartile) : 75 % des données sont inférieures à

Q_3

.

Écart interquartile :

EI = Q_3 - Q_1

. Mesure la dispersion des 50 % centraux.

La boîte à moustaches (boxplot) représente graphiquement

\min

Q_1

, médiane,

Q_3

\max

Définition

Quartile $Q_1$

Premier quartile : valeur telle que 25 % des données lui sont inférieures ou égales. On le lit sur la série triée après avoir repéré le rang

n/4

Définition

Quartile $Q_3$

Troisième quartile : valeur telle que 75 % des données lui sont inférieures ou égales. Rang

3n/4

Définition

Écart interquartile

EI = Q_3 - Q_1

. Il mesure la dispersion des données « typiques » en ignorant les 25 % les plus faibles et les 25 % les plus élevés.

Exemple 1— Quartiles et boîte à moustaches

Série triée :

2, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 23

. Calculer

Q_1

, la médiane et

Q_3

Solution

n = 10

.
Médiane : moyenne des 5ème et 6ème valeurs :

M = \dfrac{10 + 12}{2} = 11

Q_1

: médiane de la moitié inférieure

\{2, 5, 7, 8, 10\}

→

Q_1 = 7

Q_3

: médiane de la moitié supérieure

\{12, 15, 18, 20, 23\}

→

Q_3 = 18

EI = 18 - 7 = 11

Étendue = max − min (sensible aux extremes).
$EI = Q_3 - Q_1$ (robuste).
Boîte à moustaches : 5 indicateurs ( $\min$ , $Q_1$ , $M$ , $Q_3$ , $\max$ ).

★ À retenir

1
Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}$ .
2
Médiane : valeur centrale de la série triée.
3
$Q_1$ : 25 % en dessous ; $Q_3$ : 75 % en dessous.
4
Écart interquartile : $EI = Q_3 - Q_1$ .
5
La boîte à moustaches représente les 5 indicateurs clés.

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Exercices — Statistiques

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Chapitre 05

Statistiques

Comment utiliser ce cours efficacement

1Indicateurs de position

2Indicateurs de dispersion

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