P(A)

Chapitre 07 · Seconde

Cours

Probabilités

Événements, loi de probabilité et calculs

Les probabilités permettent de mesurer le degré de certitude d'un événement aléatoire. En Seconde, on formalise la notion d'expérience aléatoire, d'univers et d'événement, on construit des tableaux et arbres de probabilités, et on applique les formules fondamentales : probabilité de la réunion, du complémentaire et, en cas d'indépendance, du produit.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Points de vigilance

Confondre événement contraire et événement impossible.
Donner un résultat numérique sans interprétation.

1Vocabulaire et définitions

Expérience aléatoire : expérience dont l'issue n'est pas prévisible à l'avance, mais dont on connaît tous les résultats possibles.

Univers $\Omega$ : ensemble de toutes les issues possibles.

Événement : sous-ensemble de

\Omega

. L'événement certain est

\Omega

, l'événement impossible est

\emptyset

.

Probabilité : à chaque événement

A

on associe un réel

P(A) \in [0\,;\,1]

vérifiant

P(\Omega) = 1

Définition

Événement élémentaire

Événement constitué d'une seule issue. L'univers

\Omega

est la réunion de tous les événements élémentaires.

Définition

Événement contraire

Le contraire de

A

est

\bar{A}

(ou

A^c

) : toutes les issues de

\Omega

qui ne sont pas dans

A

. On a

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Définition

Équiprobabilité

Lorsque toutes les issues sont également probables,

P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}

Exemple 1— Probabilité et complémentaire

On lance un dé équilibré à 6 faces. Calculer

P(A)

où

A

= « obtenir un multiple de 3 ».

Solution

\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

. Multiples de 3 :

\{3, 6\}

P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

$P(A) \in [0\,;\,1]$ pour tout événement $A$ .
$P(\Omega) = 1$ et $P(\emptyset) = 0$ .
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .

2Réunion et intersection d'événements

Réunion :

A \cup B

= «

A

B

» (au moins l'un des deux se réalise).

Intersection :

A \cap B

= «

A

B

» (les deux se réalisent simultanément).

Formule de la réunion :

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Événements incompatibles (ou mutuellement exclusifs) :

A \cap B = \emptyset

, donc

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Exemple 1— Formule de la réunion

Dans une classe,

P(A) = 0{,}6

P(B) = 0{,}5

P(A \cap B) = 0{,}3

. Calculer

P(A \cup B)

Solution

P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}3 = \mathbf{0{,}8}

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Si $A$ et $B$ incompatibles : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

3Indépendance et arbre de probabilités

Deux événements

A

B

sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

L'arbre de probabilités est un outil graphique pour calculer les probabilités d'issues composées. On multiplie les probabilités le long d'une branche et on additionne les probabilités des branches qui aboutissent au même événement.

Exemple 1— Arbre et événements indépendants

On lance deux fois une pièce équilibrée. Calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois face.

Solution

Univers :

\{(P,P), (P,F), (F,P), (F,F)\}

, équiprobable.
Événement « exactement une face » :

\{(P,F), (F,P)\}

P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Par indépendance :

P(P,F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

et idem pour

(F,P)

. Donc

P = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .
Arbre : multiplier le long des branches, additionner les branches favorables.

★ À retenir

1
$P(A) \in [0\,;\,1]$ ; $P(\Omega) = 1$ ; $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .
2
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
3
Équiprobabilité : $P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas totaux}}$ .
4
Indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .
5
Arbre : multiplier sur une branche, additionner les branches favorables.

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Exercices — Probabilités

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Chapitre 06

Probabilités

Comment utiliser ce cours efficacement

1Vocabulaire et définitions

2Réunion et intersection d'événements

3Indépendance et arbre de probabilités

★ À retenir

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