MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 08 · Seconde

Cours

Géométrie dans le Plan

Distances, milieux, cercles et théorème de Thalès

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La géométrie plane en Seconde articule le calcul analytique (coordonnées, distances, milieux) et la géométrie classique (Thalès, Pythagore, trigonométrie). On apprend à démontrer des propriétés géométriques par le calcul de coordonnées, ce qui prépare aux approches vectorielles et à la géométrie analytique du lycée.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de géométrie dans le plan.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Distance et milieu dans le plan

Dans un repère orthonormé, si A(xA ; yA)A(x_A\,;\,y_A) et B(xB ; yB)B(x_B\,;\,y_B) :

Distance :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Milieu II de [AB][AB] :
I=(xA+xB2 ; yA+yB2)I = \left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\frac{y_A + y_B}{2}\right)

Ces formules découlent directement du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par AA, BB et leur projection.

Définition

Repère orthonormé

Repère (O ; i⃗, j⃗)(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j}) où i⃗\vec{i} et j⃗\vec{j} sont perpendiculaires et de norme 11. Les formules de distance et de milieu sont valides dans ce cadre.
Exemple 1— Distance et milieu
Calculer ABAB et les coordonnées du milieu II de [AB][AB] avec A(1 ; 2)A(1\,;\,2) et B(5 ; −2)B(5\,;\,-2).

Solution

AB=(5−1)2+(−2−2)2=16+16=32=42AB = \sqrt{(5-1)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
I=(1+52 ; 2+(−2)2)=(3 ; 0)I = \left(\frac{1+5}{2}\,;\,\frac{2+(-2)}{2}\right) = (3\,;\,0)
  • AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.
  • Milieu : coordonnées moyennes de AA et BB.

2Équation d'un cercle

Le cercle de centre Ω(a ; b)\Omega(a\,;\,b) et de rayon r>0r > 0 est l'ensemble des points M(x ; y)M(x\,;\,y) tels que ΩM=r\Omega M = r, c'est-à-dire :
(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

En particulier, le cercle de centre O(0 ; 0)O(0\,;\,0) et de rayon rr a pour équation x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2.

Pour déterminer si un point appartient au cercle, on vérifie que ses coordonnées vérifient l'équation.
Exemple 1— Équation d'un cercle
Écrire l'équation du cercle de centre A(2 ; −1)A(2\,;\,-1) et de rayon 33.

Solution

(x−2)2+(y+1)2=9(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9
Exemple 2— Appartenance à un cercle
Le point M(5 ; −1)M(5\,;\,-1) appartient-il au cercle de centre A(2 ; −1)A(2\,;\,-1) et rayon 33 ?

Solution

(5−2)2+(−1+1)2=9+0=9=32(5-2)^2 + (-1+1)^2 = 9 + 0 = 9 = 3^2. ✓\checkmark Le point MM appartient au cercle.
  • Équation : (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
  • Vérifier l'appartenance : substituer les coordonnées et tester l'égalité.

3Théorème de Thalès et trigonométrie

Théorème de Thalès : Si MM est sur [AB][AB] et NN est sur [AC][AC] avec MN∥BCMN \parallel BC, alors :
AMAB=ANAC=MNBC\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}

Trigonométrie dans le triangle rectangle (angle A^\hat{A} dans un triangle rectangle en CC) :
cos⁡A^=adjacenthypoteˊnuse=ACAB,sin⁡A^=opposeˊhypoteˊnuse=BCAB,tan⁡A^=BCAC\cos \hat{A} = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}, \quad \sin \hat{A} = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}, \quad \tan \hat{A} = \frac{BC}{AC}

Définition

Droites parallèles et rapport

La réciproque de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles : si AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} et M∈[AB]M \in [AB], N∈[AC]N \in [AC], alors MN∥BCMN \parallel BC.
Exemple 1— Application de Thalès
Dans un triangle ABCABC, MN∥BCMN \parallel BC avec AM=3AM = 3, AB=9AB = 9, BC=6BC = 6. Calculer MNMN.

Solution

Par Thalès : AMAB=MNBC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}, donc 39=MN6\dfrac{3}{9} = \dfrac{MN}{6}.
MN=3×69=2MN = \frac{3 \times 6}{9} = 2
Exemple 2— Calcul d'angle par trigonométrie
Dans un triangle rectangle en CC, AC=4AC = 4 et AB=6AB = 6. Calculer l'angle A^\hat{A}.

Solution

cos⁡A^=ACAB=46=23≈0,667\cos \hat{A} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667
A^=arccos⁡(23)≈48,2°\hat{A} = \arccos\left(\frac{2}{3}\right) \approx 48{,}2°
  • Thalès : rapports de longueurs égaux si MN∥BCMN \parallel BC.
  • cos⁡=adjhyp\cos = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}, sin⁡=opphyp\sin = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}, tan⁡=oppadj\tan = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}.
  • Réciproque de Thalès : égalité des rapports ⟹ droites parallèles.

★ À retenir

  • 1
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.
  • 2
    Milieu : I=(xA+xB2 ; yA+yB2)I = \left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right).
  • 3
    Cercle de centre (a ; b)(a\,;\,b) et rayon rr : (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
  • 4
    Thalès : AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC} si MN∥BCMN \parallel BC.
  • 5
    cos⁡A^=adjhyp\cos \hat{A} = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}, sin⁡A^=opphyp\sin \hat{A} = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}.

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Événements, probabilité conditionnelle et arbres de probabilité

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