MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 04 · Seconde

Cours

Second Degré

Trinôme, discriminant et parabole

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Le second degré est l'étape suivante après les fonctions affines. Une fonction polynôme de degré 2 a pour graphe une parabole. On apprend à étudier le signe du discriminant pour déterminer le nombre de racines, à lire les propriétés de la parabole (sommet, axe de symétrie) et à résoudre des équations du second degré.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de second degré.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Fonction carré et parabole

La fonction carré est f(x)=x2f(x) = x^2. Son graphe est une parabole avec :
- un sommet en O(0 ; 0)O(0\,;\,0),
- un axe de symétrie : l'axe des ordonnées (x=0x = 0),
- une ouverture vers le haut (car le coefficient de x2x^2 est positif).

Plus généralement, f(x)=a(x−h)2+kf(x) = a(x - h)^2 + k est une parabole de sommet (h ; k)(h\,;\,k), ouverte vers le haut si a>0a > 0 et vers le bas si a<0a < 0.

Définition

Trinôme du second degré

Expression de la forme ax2+bx+cax^2 + bx + c avec a≠0a \neq 0. La lettre aa est le coefficient dominant, bb le coefficient de xx et cc le terme constant.

Définition

Forme canonique

Écriture a(x−h)2+ka(x-h)^2 + k d'un trinôme, où (h ; k)(h\,;\,k) est le sommet de la parabole. On obtient h=−b2ah = -\dfrac{b}{2a} et k=f(h)k = f(h).
Exemple 1— Sommet d'une parabole
Déterminer le sommet de la parabole f(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1.

Solution

h=−−42×2=44=1h = -\dfrac{-4}{2 \times 2} = \dfrac{4}{4} = 1. Puis k=f(1)=2−4+1=−1k = f(1) = 2 - 4 + 1 = -1.
Sommet : S(1 ; −1)\mathbf{S(1\,;\,-1)}. La parabole ouvre vers le haut (a=2>0a = 2 > 0).
  • a>0a > 0 : parabole ouverte vers le haut (minimum en SS).
  • a<0a < 0 : parabole ouverte vers le bas (maximum en SS).
  • Sommet : h=−b2ah = -\dfrac{b}{2a}, k=f(h)k = f(h).

2Discriminant et racines

Pour résoudre ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 (a≠0a \neq 0), on calcule le discriminant :
Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

- Si Δ>0\Delta > 0 : deux racines réelles distinctes x1=−b−Δ2ax_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.
- Si Δ=0\Delta = 0 : une racine double x0=−b2ax_0 = \dfrac{-b}{2a}.
- Si Δ<0\Delta < 0 : aucune racine réelle (pas de solution dans R\mathbb{R}).

Définition

Racine (ou zéro)

Un réel rr est une racine de f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c si f(r)=0f(r) = 0. Graphiquement, c'est une abscisse d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.

Définition

Discriminant $\Delta$

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. Son signe détermine le nombre de racines réelles de l'équation ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.
Exemple 1— Résoudre avec $\Delta > 0$
Résoudre x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0.

Solution

Δ=25−24=1>0\Delta = 25 - 24 = 1 > 0.
x1=5−12=2x2=5+12=3x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3
Solutions : x=2x = 2 ou x=3x = 3.
Exemple 2— Résoudre avec $\Delta < 0$
Résoudre x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0.

Solution

Δ=1−4=−3<0\Delta = 1 - 4 = -3 < 0. Le discriminant est négatif : l'équation n'a pas de solution réelle.
  • Calculer Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac en premier.
  • Δ>0\Delta > 0 : 2 racines. Δ=0\Delta = 0 : 1 racine double. Δ<0\Delta < 0 : pas de racine.
  • Formule : x=−b±Δ2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.

3Signe du trinôme

Le signe de f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c dépend du signe de aa et des racines.

Si Δ>0\Delta > 0 : le trinôme s'annule en x1x_1 et x2x_2 (x1<x2x_1 < x_2). Il est du signe opposé à aa entre les racines, et du signe de aa à l'extérieur.

Si Δ=0\Delta = 0 : le trinôme est du signe de aa sur R\mathbb{R} entier (et vaut 00 en x0x_0).

Si Δ<0\Delta < 0 : le trinôme est toujours du signe de aa (jamais nul).
Exemple 1— Tableau de signes
Étudier le signe de f(x)=−x2+4x−3f(x) = -x^2 + 4x - 3.

Solution

a=−1<0a = -1 < 0, Δ=16−12=4>0\Delta = 16 - 12 = 4 > 0. Racines : x1=1x_1 = 1, x2=3x_2 = 3.

Tableau de signes :
x−∞13+∞f(x)−0+0−\begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & 1 & & 3 & & +\infty \\
\hline
f(x) & & - & 0 & + & 0 & - &
\end{array}
f(x)≥0f(x) \geq 0 pour x∈[1 ; 3]x \in [1\,;\,3].

⚠ Attention

Quand a<0a < 0, le trinôme est positif entre les racines. C'est l'inverse de l'intuition habituelle.
  • Δ>0\Delta > 0 : positif à l'extérieur des racines si a>0a > 0, entre les racines si a<0a < 0.
  • Δ<0\Delta < 0 : même signe que aa sur tout R\mathbb{R}.
  • Le tableau de signes est l'outil standard pour résoudre une inéquation du second degré.

★ À retenir

  • 1
    Discriminant : Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac.
  • 2
    Δ>0\Delta > 0 : x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}. Δ=0\Delta = 0 : x0=−b2ax_0 = -\dfrac{b}{2a}. Δ<0\Delta < 0 : pas de racine.
  • 3
    Sommet de la parabole : S ⁣(−b2a ; f ⁣(−b2a))S\!\left(-\dfrac{b}{2a}\,;\,f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right).
  • 4
    Signe du trinôme : du signe de aa hors des racines, signe opposé entre les racines (si Δ>0\Delta > 0).

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