ax+b

Chapitre 03 · Seconde

Cours

Fonctions Affines

Droites, pente et équations de droites

Les fonctions affines sont les fonctions les plus simples après les fonctions constantes. Leur graphe est une droite, ce qui les rend particulièrement faciles à visualiser. En Seconde, on apprend à déterminer l'équation d'une droite à partir de sa pente et d'un point, ou de deux points, et à résoudre des problèmes d'intersection de droites.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Lire et exploiter une fonction dans plusieurs représentations.
Rédiger une conclusion claire à partir d’un tableau ou d’un calcul.

Points de vigilance

Confondre image et antécédent.
Conclure sans citer le signe ou le tableau étudié.

1Définition et représentation

Une fonction

f

est affine si elle s'écrit

f(x) = ax + b

avec

a, b \in \mathbb{R}

.

-

a

est le coefficient directeur (ou pente) : il mesure l'inclinaison de la droite.
-

b

est l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de

f(0)

, le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Cas particuliers :
- Si

a = 0

f(x) = b

est une fonction constante (droite horizontale).
- Si

b = 0

f(x) = ax

est une fonction linéaire (droite passant par l'origine).

Définition

Coefficient directeur

Pour une droite passant par

A(x_1\,;\,y_1)

B(x_2\,;\,y_2)

avec

x_1 \neq x_2

a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

. C'est le taux d'accroissement de

f

entre

A

B

Définition

Ordonnée à l'origine

C'est la valeur

b = f(0)

, c'est-à-dire l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.

Exemple 1— Tracer une droite

Tracer la droite d'équation

y = 2x - 1

Solution

Pour

x = 0

y = -1

→ point

(0\,;\,-1)

.
Pour

x = 2

y = 3

→ point

(2\,;\,3)

.
On trace la droite passant par ces deux points. La pente

a = 2

signifie que quand

x

augmente de

1

y

augmente de

2

Exemple 2— Déterminer l'équation d'une droite

Déterminer l'équation de la droite passant par

A(-1\,;\,4)

B(3\,;\,0)

Solution

Coefficient directeur :

a = \dfrac{0 - 4}{3 - (-1)} = \dfrac{-4}{4} = -1

.
On cherche

b

y = -x + b

. On utilise le point

B(3\,;\,0)

0 = -3 + b \Rightarrow b = 3

.
Équation :

\mathbf{y = -x + 3}

$f(x) = ax + b$ : $a$ = pente, $b$ = ordonnée à l'origine.
$a > 0$ : droite croissante ; $a < 0$ : droite décroissante ; $a = 0$ : horizontale.
$a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ pour deux points connus.

2Positions relatives de deux droites

Dans le plan, deux droites d'équations

y = a_1 x + b_1

y = a_2 x + b_2

peuvent être :

- Parallèles si

a_1 = a_2

b_1 \neq b_2

(même pente, pas de point commun).
- Confondues si

a_1 = a_2

b_1 = b_2

(même droite).
- Sécantes si

a_1 \neq a_2

(elles se coupent en un unique point).

Pour trouver le point d'intersection de deux droites sécantes, on résout le système d'équations correspondant.

Exemple 1— Intersection de deux droites

Trouver l'intersection de

d_1 : y = 2x + 1

d_2 : y = -x + 7

Solution

On résout

2x + 1 = -x + 7

3x = 6 \Rightarrow x = 2

y = 2 \times 2 + 1 = 5

Le point d'intersection est

\mathbf{I(2\,;\,5)}

Droites parallèles : même coefficient directeur.
Droites sécantes : $a_1 \neq a_2$ , un seul point commun.
Point d'intersection : résoudre $a_1 x + b_1 = a_2 x + b_2$ .

3Équation réduite et formes d'une droite

Toute droite du plan a une équation de la forme

ax + by + c = 0

avec

(a, b) \neq (0, 0)

. Si

b \neq 0

, on peut écrire l'équation réduite

y = mx + p

.

Les droites verticales (parallèles à l'axe des ordonnées) sont de la forme

x = k

: elles ne sont pas le graphe d'une fonction.

Pour vérifier qu'un point

P(x_0\,;\,y_0)

appartient à une droite d'équation

y = ax + b

, on vérifie que

y_0 = ax_0 + b

Exemple 1— Appartenance d'un point

Le point

M(3\,;\,7)

appartient-il à la droite

d : y = 2x + 1

Solution

On calcule

2 \times 3 + 1 = 7

. Comme

7 = 7

, le point

M

appartient à

d

\checkmark

Droite verticale $x = k$ : n'est pas une fonction.
Vérifier l'appartenance : tester si l'équation est vérifiée.

★ À retenir

1
$f(x) = ax + b$ avec $a$ = coefficient directeur et $b$ = ordonnée à l'origine.
2
$a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (taux d'accroissement entre deux points).
3
Droites parallèles ⟺ même pente ( $a_1 = a_2$ , $b_1 \neq b_2$ ).
4
Intersection : résoudre $a_1 x + b_1 = a_2 x + b_2$ .

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Exercices — Fonctions Affines

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Chapitre 02

Fonctions Affines

Comment utiliser ce cours efficacement

1Définition et représentation

2Positions relatives de deux droites

3Équation réduite et formes d'une droite

★ À retenir

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Fonctions — Généralités

Équations du Second Degré

Calcul Algébrique