f(x)

Chapitre 02 · Seconde

Cours

Fonctions : Généralités

Notion de fonction, image, antécédent et représentation graphique

La notion de fonction est centrale en mathématiques. Une fonction décrit une relation entre deux grandeurs : à chaque valeur du « départ » correspond une unique valeur à l'« arrivée ». En Seconde, on étudie le vocabulaire fondamental (image, antécédent, domaine de définition), on lit des informations sur une courbe et on commence à analyser les variations d'une fonction.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Lire et exploiter une fonction dans plusieurs représentations.
Rédiger une conclusion claire à partir d’un tableau ou d’un calcul.

Points de vigilance

Confondre image et antécédent.
Conclure sans citer le signe ou le tableau étudié.

1Définition et vocabulaire

Une fonction

f

est une relation qui associe à tout réel

x

d'un ensemble

D_f

(appelé ensemble de définition) un unique réel noté

f(x)

.

On écrit :

f : x \mapsto f(x)

, lire «

f

associe à

x

l'image

f(x)

».

- Image :

f(x)

est l'image de

x

par

f

.
- Antécédent :

x

est un antécédent de

y

par

f

f(x) = y

.

Un réel

y

peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents. Mais chaque

x

n'a qu'une seule image.

Définition

Ensemble de définition

Ensemble des réels

x

pour lesquels

f(x)

est défini. On le note

D_f

\mathcal{D}_f

. Par défaut, c'est le plus grand sous-ensemble de

\mathbb{R}

où le calcul est possible.

Définition

Image

f(a)

est l'image de

a

par

f

: c'est le résultat du calcul de

f

a

. Graphiquement, c'est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse

a

Définition

Antécédent

a

est un antécédent de

b

par

f

f(a) = b

. Graphiquement, ce sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée

b

Exemple 1— Calculer une image

Soit

f(x) = 2x^2 - 3x + 1

. Calculer

f(2)

f(-1)

Solution

f(2) = 2 \times 4 - 3 \times 2 + 1 = 8 - 6 + 1 = \mathbf{3}

f(-1) = 2 \times 1 - 3 \times (-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = \mathbf{6}

Exemple 2— Trouver un antécédent

Soit

g(x) = 3x - 2

. Quel est l'antécédent de

7

par

g

Solution

On résout

g(x) = 7

3x - 2 = 7 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3

L'antécédent de

7

est

\mathbf{3}

Chaque $x \in D_f$ a exactement une image $f(x)$ .
Un réel peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
Image = ordonnée ; antécédent = abscisse sur la courbe.

2Représentation graphique et lecture

La courbe représentative (ou graphe) d'une fonction

f

est l'ensemble des points du plan de coordonnées

(x\,;\,f(x))

pour

x \in D_f

.

Sur la courbe :
- L'image de

a

se lit sur l'axe des ordonnées (axe vertical) : on part de

x = a

, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit

y = f(a)

.
- L'antécédent de

b

se lit sur l'axe des abscisses (axe horizontal) : on part de

y = b

, on cherche les intersections avec la courbe, puis on lit les valeurs de

x

.

L'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses donne les zéros de

f

(valeurs de

x

telles que

f(x) = 0

Exemple 1— Lecture graphique

Sur la courbe ci-dessous, lire

f(1)

et les antécédents de

2

Solution

Pour

f(1)

: on lit l'ordonnée au point d'abscisse

1

. Si la courbe passe par

(1\,;\,3)

, alors

f(1) = 3

.
Pour les antécédents de

2

: on trace la droite

y = 2

et on lit les abscisses des intersections avec la courbe.

Courbe = ensemble des points $(x\,;\,f(x))$ .
Image ↔ ordonnée ; antécédent ↔ abscisse.
Les zéros de $f$ sont les abscisses des intersections avec l'axe des $x$ .

3Variations et tableau de variation

Une fonction

f

est croissante sur un intervalle

I

si, pour tous

x_1 < x_2

dans

I

, on a

f(x_1) < f(x_2)

: la courbe « monte ».

Elle est décroissante sur

I

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

: la courbe « descend ».

Le tableau de variations résume ces informations en notant, dans chaque colonne, la flèche montante

\nearrow

(croissante) ou descendante

\searrow

(décroissante), avec les valeurs remarquables de

f

aux bornes et aux extremums.

Définition

Maximum

f

admet un maximum

M

sur

I

s'il existe

a \in I

tel que

f(a) = M

f(x) \leq M

pour tout

x \in I

Définition

Minimum

f

admet un minimum

m

sur

I

s'il existe

a \in I

tel que

f(a) = m

f(x) \geq m

pour tout

x \in I

Croissante : la courbe monte ; décroissante : elle descend.
Le tableau de variations donne les intervalles de monotonie.
Maxima et minima sont les valeurs aux « sommets » et « creux ».

★ À retenir

1
Image de $a$ = $f(a)$ = ordonnée du point de la courbe d'abscisse $a$ .
2
Antécédent de $b$ : résoudre $f(x) = b$ .
3
Croissante : $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ .
4
Décroissante : $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ .
5
Le tableau de variations résume les monotonies et les extremums.

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Chapitre 01

Fonctions : Généralités

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