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Chapitre 01 · Seconde

Cours

Calcul Algébrique

Développement, factorisation et identités remarquables

Le calcul algébrique est le socle de toutes les mathématiques du lycée. En Seconde, on consolide la maîtrise du développement et de la factorisation, on retrouve les trois identités remarquables et on apprend à choisir la forme la plus adaptée à la résolution d'un problème. Savoir passer d'une forme développée à une forme factorisée — et inversement — est une compétence clé pour résoudre des équations et des inéquations.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Maîtriser les méthodes essentielles de calcul algébrique.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Développer une expression algébrique

Développer une expression, c'est supprimer les parenthèses en appliquant la distributivité.

Distributivité simple :

k(a + b) = ka + kb

.

Double distributivité :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

.

On développe terme à terme, en faisant attention aux signes — en particulier devant une parenthèse précédée d'un signe «

-

» :

-(a - b) = -a + b

. Après développement, on réduit en regroupant les termes semblables.

Définition

Expression algébrique

Combinaison de nombres, de lettres et d'opérations. Elle peut prendre plusieurs formes équivalentes. Exemple :

(x+1)(x-3)

x^2 - 2x - 3

sont deux formes de la même expression.

Définition

Termes semblables

Termes ayant la même partie littérale. On les regroupe par addition :

5x^2

-2x^2

sont semblables ; leur somme est

3x^2

Exemple 1— Double distributivité

Développer et réduire

A = (2x - 3)(x + 4)

Solution

A = 2x \cdot x + 2x \cdot 4 + (-3) \cdot x + (-3) \cdot 4

A = 2x^2 + 8x - 3x - 12 = \mathbf{2x^2 + 5x - 12}

Exemple 2— Facteur commun apparent

Développer et réduire

B = (3x+1)^2 - (x-2)(3x+1)

Solution

On repère le facteur commun

(3x+1)

B = (3x+1)\bigl[(3x+1)-(x-2)\bigr] = (3x+1)(2x+3)

Forme développée :

B = 6x^2 + 9x + 2x + 3 = \mathbf{6x^2 + 11x + 3}

Développer = supprimer les parenthèses par distributivité.
Réduire = regrouper les termes semblables.
Attention aux signes devant les parenthèses.

2Les trois identités remarquables

Les identités remarquables sont des égalités algébriques vraies pour tous réels

a

b

. Les connaître permet de développer ou de factoriser rapidement sans erreur.

\boxed{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}

\boxed{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}

\boxed{(a+b)(a-b) = a^2 - b^2}

La troisième identité s'appelle différence de deux carrés. Pour l'utiliser en factorisation, on identifie

a

b

tels que l'expression s'écrive

a^2 - b^2

Définition

Carré parfait

Expression de la forme

(a+b)^2

(a-b)^2

. On reconnaît un carré parfait développé quand le terme du milieu vaut

2ab

et les extrêmes sont des carrés. Exemple :

x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2

Définition

Différence de deux carrés

Expression de la forme

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

. Exemple :

25x^2 - 9 = (5x-3)(5x+3)

Exemple 1— Développer avec une identité remarquable

Développer

C = (3x - 2)^2

Solution

On applique

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

avec

a = 3x

b = 2

C = 9x^2 - 12x + 4

Exemple 2— Factoriser avec la différence de carrés

Factoriser

D = 4x^2 - 25

Solution

4x^2 = (2x)^2

25 = 5^2

, donc :

D = (2x - 5)(2x + 5)

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — ne jamais écrire $a^2 + b^2$ .
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ .

3Factoriser une expression

Factoriser une expression, c'est l'écrire comme un produit de facteurs. C'est l'opération inverse du développement. On factorise notamment pour :
- résoudre une équation produit nul

A \times B = 0

,
- simplifier une fraction algébrique,
- étudier le signe d'une expression.

Méthodes de factorisation :
1. Facteur commun :

ka + kb = k(a+b)

.
2. Identités remarquables : reconnaître un carré parfait ou une différence de deux carrés.
3. Combinaison : développer puis regrouper pour faire apparaître un facteur commun.

Exemple 1— Mise en facteur commun

Factoriser

E = 6x^2 - 9x

Solution

Le facteur commun est

3x

E = 3x(2x - 3)

Exemple 2— Résoudre une équation par factorisation

Résoudre

(2x-1)(x+3) = 0

Solution

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul :

2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{1}{2} \qquad \text{ou} \qquad x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3

L'ensemble solution est

\left\{\tfrac{1}{2}\,;\,-3\right\}

⚠ Attention

Pour résoudre

A \times B = 0

, l'expression DOIT être sous forme factorisée égale à

0

. Si le membre droit n'est pas

0

, on ne peut pas conclure directement.

Factoriser = écrire comme un produit.
Un produit est nul ⟺ l'un de ses facteurs est nul.
Choisir la forme (développée ou factorisée) selon l'objectif.

★ À retenir

1
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
4
Factoriser pour résoudre une équation produit nul.
5
Développer pour réduire et comparer des expressions.

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Exercices — Calcul Algébrique

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 02

Calcul Algébrique

Comment utiliser ce cours efficacement

1Développer une expression algébrique

2Les trois identités remarquables

3Factoriser une expression

★ À retenir

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Chapitres liés à revoir ensuite

Fonctions — Généralités

Fonctions Affines

Équations du Second Degré