MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 06 · Quatrième

Cours

Trigonométrie

Cosinus, sinus et tangente dans le triangle rectangle

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La trigonométrie du triangle rectangle établit des relations entre les angles aigus et les rapports des longueurs des côtés. Les trois rapports fondamentaux — cosinus, sinus et tangente — permettent de calculer un angle ou une longueur inconnue à partir de données partielles. Ces outils sont essentiels en géométrie, en physique et dans toutes les sciences de l'ingénieur.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de trigonométrie.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Les trois rapports trigonométriques

Dans un triangle rectangle ABCABC rectangle en CC, pour l'angle aigu A^\hat{A} :

cos⁡(A^)=coˆteˊ adjacenthypoteˊnuse=ACAB\cos(\hat{A}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}

sin⁡(A^)=coˆteˊ opposeˊhypoteˊnuse=BCAB\sin(\hat{A}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}

tan⁡(A^)=coˆteˊ opposeˊcoˆteˊ adjacent=BCAC\tan(\hat{A}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{BC}{AC}

Le côté opposé à l'angle A^\hat{A} est le côté qui ne touche pas AA. Le côté adjacent est le côté non-hypoténuse qui touche AA.

Définition

Cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l'hypoténuse. Il est compris entre 00 et 11.

Définition

Sinus

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l'hypoténuse. Il est compris entre 00 et 11.

Définition

Tangente

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur du côté adjacent. Elle peut prendre n'importe quelle valeur positive.
Exemple 1— Calculer un côté
Dans le triangle ABCABC rectangle en CC, A^=35°\hat{A} = 35° et AB=10AB = 10 cm. Calculer ACAC et BCBC.

Solution

ACAC est adjacent à A^\hat{A} et ABAB est l'hypoténuse, donc :
cos⁡(35°)=ACAB  ⟹  AC=AB×cos⁡(35°)=10×cos⁡(35°)≈8,19 cm\cos(35°) = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \times \cos(35°) = 10 \times \cos(35°) \approx \mathbf{8{,}19 \text{ cm}}

BCBC est opposé à A^\hat{A}, donc :
sin⁡(35°)=BCAB  ⟹  BC=AB×sin⁡(35°)=10×sin⁡(35°)≈5,74 cm\sin(35°) = \frac{BC}{AB} \implies BC = AB \times \sin(35°) = 10 \times \sin(35°) \approx \mathbf{5{,}74 \text{ cm}}
  • Mémo SOH-CAH-TOA : Sin = Opposé/Hypoténuse, Cos = Adjacent/Hypoténuse, Tan = Opposé/Adjacent.
  • L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit (le plus long).
  • Adjacent et opposé dépendent de l'angle considéré.

2Calculer un angle

Pour calculer la mesure d'un angle à partir d'un rapport, on utilise les fonctions trigonométriques inverses :

A^=arccos⁡(ACAB),A^=arcsin⁡(BCAB),A^=arctan⁡(BCAC)\hat{A} = \arccos\left(\frac{AC}{AB}\right), \quad \hat{A} = \arcsin\left(\frac{BC}{AB}\right), \quad \hat{A} = \arctan\left(\frac{BC}{AC}\right)

Sur la calculatrice, les touches sont notées cos⁡−1\cos^{-1}, sin⁡−1\sin^{-1}, tan⁡−1\tan^{-1} (ou parfois acos\mathrm{acos}, asin\mathrm{asin}, atan\mathrm{atan}). S'assurer que la calculatrice est en mode degrés.
Exemple 1— Calculer un angle
Dans le triangle DEFDEF rectangle en FF, DE=8DE = 8 cm et DF=5DF = 5 cm. Calculer D^\hat{D}.

Solution

DFDF est adjacent à D^\hat{D} et DEDE est l'hypoténuse, donc :
cos⁡(D^)=DFDE=58=0,625\cos(\hat{D}) = \frac{DF}{DE} = \frac{5}{8} = 0{,}625
D^=arccos⁡(0,625)≈51,3°\hat{D} = \arccos(0{,}625) \approx \mathbf{51{,}3°}
  • Pour trouver un angle, utiliser arccos⁡\arccos, arcsin⁡\arcsin ou arctan⁡\arctan selon les côtés disponibles.
  • Vérifier que la calculatrice est en mode degrés.
  • La somme des angles dans un triangle est 180°180° : on peut en déduire le troisième angle.

★ À retenir

  • 1
    cos⁡(A^)=adjacenthypoteˊnuse\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}, sin⁡(A^)=opposeˊhypoteˊnuse\sin(\hat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}, tan⁡(A^)=opposeˊadjacent\tan(\hat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}.
  • 2
    Pour calculer un côté : multiplier l'hypoténuse par cos⁡\cos ou sin⁡\sin.
  • 3
    Pour calculer un angle : utiliser arccos⁡\arccos, arcsin⁡\arcsin ou arctan⁡\arctan.

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