Probabilités — Exercices Corrigés Quatrième | Mathématiques by Kaizen Market

1Facile

Calcul de probabilités simples

Énoncé

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes.
1. Quelle est la probabilité de tirer un roi ?
2. Quelle est la probabilité de tirer un cœur ?
3. Quelle est la probabilité de tirer le roi de cœur ?

Correction détaillée

01

Probabilité de tirer un roi

Il y a 4 rois dans 52 cartes.

P(\text{roi}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 7{,}7\%

02

Probabilité de tirer un cœur

Il y a 13 cartes de cœur sur 52.

P(\text{cœur}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 25\%

03

Probabilité du roi de cœur

Il y a 1 seul roi de cœur sur 52 cartes.

P(\text{roi de cœur}) = \frac{1}{52} \approx 1{,}9\%

2Intermédiaire

Fréquence et probabilité — loi des grands nombres

Énoncé

On lance une pièce équilibrée

200

fois. On obtient

108

fois "pile".
1. Calculer la fréquence observée de "pile".
2. Comparer à la probabilité théorique.
3. Que se passerait-il si on lançait la pièce

10\ 000

fois ?

Correction détaillée

01

Fréquence observée

f = \frac{\text{nombre de succès}}{\text{nombre d'essais}} = \frac{108}{200} = 0{,}54 = 54\%

02

Comparaison à la probabilité théorique

La probabilité théorique est

P(\text{pile}) = \dfrac{1}{2} = 50\%

.
L'écart est de

54\% - 50\% = 4\%

. Cet écart est normal pour seulement

200

lancers.

03

Loi des grands nombres

Plus le nombre de lancers augmente, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique. Avec

10\ 000

lancers, la fréquence serait très proche de

50\%

. C'est la loi des grands nombres.

3Intermédiaire

Probabilité avec un dé et tableau de résultats

Énoncé

On lance un dé à 6 faces équilibré numéroté de 1 à 6.
Soit

A

l'événement « obtenir un nombre pair » et

B

l'événement « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 ».
1. Calculer

P(A)

et

P(B)

.
2. Décrire et calculer la probabilité de

A \cap B

(A et B simultanément).
3. Calculer la probabilité de

\bar{A}

(complément de

A

).

Correction détaillée

01

Calcul de $P(A)$ et $P(B)$

L'univers est

\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

, soit 6 issues équiprobables.

A = \{2, 4, 6\}

donc

P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

.

B = \{4, 5, 6\}

donc

P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

.

02

Calcul de $P(A \cap B)$

A \cap B

correspond aux issues qui sont à la fois dans

A

et dans

B

:

A \cap B = \{2, 4, 6\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4, 6\}

P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\%

03

Probabilité du complémentaire $\bar{A}$

\bar{A}

est l'événement contraire de

A

: « obtenir un nombre impair ».

\bar{A} = \{1, 3, 5\}

P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Propriété :

P(A) + P(\bar{A}) = 1

toujours.

4Difficile

Probabilités et tableau à double entrée

Énoncé

Dans une classe de 30 élèves, 18 font du sport, 12 font de la musique et 5 font les deux.
1. Représenter ces données dans un tableau.
2. Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard fasse du sport mais pas de musique.
3. Calculer la probabilité qu'il ne fasse ni sport ni musique.

Correction détaillée

01

Tableau à double entrée

Notons

S

: sport,

M

: musique.

| | Musique | Pas musique | Total |
|---|---|---|---|
| Sport | 5 | 13 | 18 |
| Pas sport | 7 | 5 | 12 |
| Total | 12 | 18 | 30 |

Vérification :

5 + 13 = 18

✓ et

5 + 7 = 12

✓

02

Probabilité de sport sans musique

Les élèves qui font du sport mais pas de musique sont au nombre de

18 - 5 = 13

.

P(S \cap \bar{M}) = \frac{13}{30} \approx 43{,}3\%

03

Probabilité de ni sport ni musique

Les élèves qui ne font ni sport ni musique :

30 - (18 + 12 - 5) = 30 - 25 = 5

.

P(\bar{S} \cap \bar{M}) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\%

Vérification :

\dfrac{5+13+7+5}{30} = \dfrac{30}{30} = 1

✓