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Chapitre 06 · Quatrième

Trigonométrie

Sinus, cosinus, tangente dans le triangle rectangle

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Travailler Trigonométrie en Quatrième

Ce chapitre de trigonométrie en 4ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Reprendre les bases de 4ème liées à trigonométrie.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de trigonométrie.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Intermédiaire

Calculer un angle par trigonométrie

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Énoncé

Dans un triangle rectangle ABCABC rectangle en CC, on sait que AB=13AB = 13 cm et BC=5BC = 5 cm.
1. Calculer sin⁡(A^)\sin(\hat{A}).
2. En déduire la mesure de l'angle A^\hat{A} (arrondie au degré).

Correction détaillée

01

Identification dans le triangle rectangle

ABAB est l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit). BCBC est le côté opposé à l'angle A^\hat{A}.
sin⁡(A^)=coˆteˊ opposeˊhypoteˊnuse=BCAB=513≈0,385\sin(\hat{A}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13} \approx 0{,}385
02

Calcul de l'angle

A^=arcsin⁡ ⁣(513)≈arcsin⁡(0,385)≈22°38′\hat{A} = \arcsin\!\left(\frac{5}{13}\right) \approx \arcsin(0{,}385) \approx 22°38'
Soit environ A^≈23°\hat{A} \approx 23° (arrondi au degré).
03

Vérification avec $\hat{B}$

B^=90°−A^≈90°−23°=67°\hat{B} = 90° - \hat{A} \approx 90° - 23° = 67°.
Vérification : sin⁡(67°)≈0,921\sin(67°) \approx 0{,}921 et ACAB=1213≈0,923\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{13} \approx 0{,}923 ✓ (avec AC=132−52=12AC = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12).
2Intermédiaire

Calculer un côté par trigonométrie

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Énoncé

Dans un triangle rectangle DEFDEF rectangle en FF, on sait que D^=35°\hat{D} = 35° et DE=10DE = 10 cm.
Calculer DFDF et EFEF.

Correction détaillée

01

Calcul de $DF$ (côté adjacent à $\hat{D}$)

cos⁡(D^)=DFDE  ⟹  DF=DE×cos⁡(35°)=10×0,819≈8,19 cm\cos(\hat{D}) = \frac{DF}{DE} \implies DF = DE \times \cos(35°) = 10 \times 0{,}819 \approx 8{,}19 \text{ cm}
02

Calcul de $EF$ (côté opposé à $\hat{D}$)

sin⁡(D^)=EFDE  ⟹  EF=DE×sin⁡(35°)=10×0,574≈5,74 cm\sin(\hat{D}) = \frac{EF}{DE} \implies EF = DE \times \sin(35°) = 10 \times 0{,}574 \approx 5{,}74 \text{ cm}
03

Vérification par Pythagore

DF2+EF2≈8,192+5,742≈67,08+32,95≈100=DE2✓DF^2 + EF^2 \approx 8{,}19^2 + 5{,}74^2 \approx 67{,}08 + 32{,}95 \approx 100 = DE^2 \checkmark
3Intermédiaire

Utiliser la tangente

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Énoncé

Une tour de télécommunication est observée depuis un point AA situé à 8080 m de sa base BB au sol.
L'angle d'élévation A^\hat{A} est de 52°52°.
1. Exprimer la hauteur BCBC de la tour en fonction de tan⁡(52°)\tan(52°).
2. Calculer BCBC (arrondir au mètre).

Correction détaillée

01

Identification des éléments du triangle rectangle

Le triangle ABCABC est rectangle en BB. A^=52°\hat{A} = 52°, AB=80AB = 80 m (côté adjacent à A^\hat{A}) et BCBC est le côté opposé à A^\hat{A} (hauteur de la tour).
02

Application de la tangente

tan⁡(A^)=coˆteˊ opposeˊcoˆteˊ adjacent=BCAB\tan(\hat{A}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{BC}{AB}
tan⁡(52°)=BC80  ⟹  BC=80×tan⁡(52°)\tan(52°) = \frac{BC}{80} \implies BC = 80 \times \tan(52°)
03

Calcul numérique

BC=80×tan⁡(52°)≈80×1,280≈102,4 mBC = 80 \times \tan(52°) \approx 80 \times 1{,}280 \approx 102{,}4 \text{ m}
La tour fait environ 102102 m de haut.
Rappel : tan⁡(α)=sin⁡(α)cos⁡(α)\tan(\alpha) = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}
4Difficile

Choisir le bon rapport trigonométrique

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Énoncé

Dans un triangle rectangle IJKIJK rectangle en JJ, on connaît IJ=7IJ = 7 cm et JK=24JK = 24 cm.
1. Calculer IKIK (hypoténuse).
2. Calculer cos⁡(I^)\cos(\hat{I}) et en déduire I^\hat{I} au degré près.
3. En déduire K^\hat{K} sans calculatrice.

Correction détaillée

01

Calcul de l'hypoténuse $IK$

IK2=IJ2+JK2=72+242=49+576=625IK^2 = IJ^2 + JK^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625
IK=625=25 cmIK = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}
(Triplet pythagoricien : 77-2424-2525.)
02

Calcul de $\hat{I}$

IJ=7IJ = 7 cm est le côté adjacent à I^\hat{I}, IK=25IK = 25 cm est l'hypoténuse.
cos⁡(I^)=IJIK=725=0,28\cos(\hat{I}) = \frac{IJ}{IK} = \frac{7}{25} = 0{,}28
I^=arccos⁡(0,28)≈73,7°≈74°\hat{I} = \arccos(0{,}28) \approx 73{,}7° \approx 74°
03

Déduction de $\hat{K}$

Dans tout triangle, la somme des angles est 180°180°. Dans un triangle rectangle :
I^+K^=90°\hat{I} + \hat{K} = 90°
K^=90°−74°=16°\hat{K} = 90° - 74° = 16°
Vérification : sin⁡(K^)=IJIK=725=0,28\sin(\hat{K}) = \dfrac{IJ}{IK} = \dfrac{7}{25} = 0{,}28 et arcsin⁡(0,28)≈16°\arcsin(0{,}28) \approx 16° ✓
5Facile

Calculer un sinus

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 1010 cm et le côté opposé à l'angle α\alpha mesure 66 cm.
Calculer sin⁡(α)\sin(\alpha).

Correction détaillée

01

Rappel

sin⁡(α)=opposeˊhypoteˊnuse\sin(\alpha)=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}
02

Application

sin⁡(α)=610=0,6\sin(\alpha)=\frac{6}{10}=0{,}6
03

Résultat

On obtient sin⁡(α)=0,6\boxed{\sin(\alpha)=0{,}6}.
6Facile

Calculer un cosinus

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à l'angle β\beta mesure 88 cm et l'hypoténuse 1717 cm.
Calculer cos⁡(β)\cos(\beta).

Correction détaillée

01

Formule

cos⁡(β)=adjacenthypoteˊnuse\cos(\beta)=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}
02

Calcul

cos⁡(β)=817≈0,471\cos(\beta)=\frac{8}{17}\approx 0{,}471
03

Conclusion

Ainsi, cos⁡(β)=817\boxed{\cos(\beta)=\dfrac{8}{17}}.
7Intermédiaire

Utiliser la tangente

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, pour l'angle θ\theta, le côté opposé mesure 99 cm et le côté adjacent 1212 cm.
Calculer tan⁡(θ)\tan(\theta).

Correction détaillée

01

Formule

tan⁡(θ)=opposeˊadjacent\tan(\theta)=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}
02

Application

tan⁡(θ)=912=34=0,75\tan(\theta)=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}=0{,}75
03

Résultat

La tangente de l'angle vaut 0,75\boxed{0{,}75}.
8Intermédiaire

Trouver un angle avec le cosinus

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, on sait que cos⁡(α)=0,8\cos(\alpha)=0{,}8.
Déterminer α\alpha au degré près.

Correction détaillée

01

Lecture inverse

On utilise la fonction réciproque :
α=arccos⁡(0,8)\alpha=\arccos(0{,}8)
02

Calcul approché

α≈36,9°\alpha \approx 36{,}9°
03

Arrondi

Au degré près, on obtient 37°\boxed{37°}.
9Intermédiaire

Trouver un angle avec la tangente

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Énoncé

On sait que tan⁡(β)=1,5\tan(\beta)=1{,}5.
Calculer la mesure de l'angle β\beta au degré près.

Correction détaillée

01

Fonction réciproque

β=arctan⁡(1,5)\beta=\arctan(1{,}5)
02

Valeur approchée

β≈56,3°\beta \approx 56{,}3°
03

Réponse

L'angle mesure environ 56°\boxed{56°}.
10Intermédiaire

Calculer un côté avec le sinus

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 1414 cm et un angle aigu mesure 30°30°.
Calculer le côté opposé à cet angle.

Correction détaillée

01

Formule

sin⁡(30°)=opposeˊ14\sin(30°)=\frac{\text{opposé}}{14}
02

Calcul

Comme sin⁡(30°)=0,5\sin(30°)=0{,}5,
opposeˊ=14×0,5=7 cm\text{opposé}=14 \times 0{,}5=7\text{ cm}
03

Conclusion

Le côté opposé mesure 7 cm\boxed{7\text{ cm}}.
11Intermédiaire

Calculer un côté avec le cosinus

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 2020 cm et un angle aigu mesure 60°60°.
Calculer le côté adjacent à cet angle.

Correction détaillée

01

Formule

cos⁡(60°)=adjacent20\cos(60°)=\frac{\text{adjacent}}{20}
02

Calcul

Comme cos⁡(60°)=0,5\cos(60°)=0{,}5,
adjacent=20×0,5=10 cm\text{adjacent}=20 \times 0{,}5=10\text{ cm}
03

Conclusion

Le côté adjacent mesure 10 cm\boxed{10\text{ cm}}.
12Difficile

Hauteur d'un immeuble

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Énoncé

On observe le sommet d'un immeuble sous un angle de 40°40° depuis un point situé à 3030 m de sa base.
Calculer la hauteur de l'immeuble au mètre près.

Correction détaillée

01

Choix du bon rapport

On connaît le côté adjacent (3030 m) et on cherche le côté opposé (hh), donc on utilise la tangente :
tan⁡(40°)=h30\tan(40°)=\frac{h}{30}
02

Calcul

h=30×tan⁡(40°)≈30×0,839≈25,2h=30\times \tan(40°)\approx 30\times 0{,}839\approx 25{,}2
03

Réponse

La hauteur de l'immeuble est d'environ 25 m\boxed{25\text{ m}}.
13Difficile

Pente d'une route

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Énoncé

Une route monte de 1818 m sur une distance horizontale de 120120 m.
1. Calculer tan⁡(α)\tan(\alpha), où α\alpha est l'angle de pente.
2. En déduire α\alpha au degré près.

Correction détaillée

01

Tangente de l'angle

tan⁡(α)=18120=0,15\tan(\alpha)=\frac{18}{120}=0{,}15
02

Calcul de l'angle

α=arctan⁡(0,15)≈8,5°\alpha=\arctan(0{,}15)\approx 8{,}5°
03

Conclusion

L'angle de pente vaut environ 9°\boxed{9°}.
14Difficile

Relier trigonométrie et Pythagore

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 1313 cm et un côté de l'angle droit mesure 55 cm.
1. Calculer l'autre côté.
2. Calculer ensuite le sinus de l'angle opposé au côté de 55 cm.

Correction détaillée

01

Calcul du troisième côté

x2=132−52=169−25=144x^2=13^2-5^2=169-25=144
x=12 cmx=12\text{ cm}
02

Calcul du sinus

L'angle opposé au côté de 55 cm a pour sinus :
sin⁡=513\sin=\frac{5}{13}
03

Bilan

On obtient le triangle 55-1212-1313 et sin⁡=513\boxed{\sin=\dfrac{5}{13}}.
15Difficile

Bilan trigonométrique

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Énoncé

Dans un triangle rectangle ABCABC rectangle en CC, on connaît AC=9AC=9 cm, BC=12BC=12 cm.
1. Calculer ABAB.
2. Calculer sin⁡(A^)\sin(\hat{A}), cos⁡(A^)\cos(\hat{A}) et tan⁡(A^)\tan(\hat{A}).

Correction détaillée

01

Hypoténuse

AB2=92+122=81+144=225AB^2=9^2+12^2=81+144=225
AB=15 cmAB=15\text{ cm}
02

Rapports trigonométriques

Pour l'angle A^\hat{A}, le côté opposé est BC=12BC=12, le côté adjacent est AC=9AC=9 et l'hypoténuse est AB=15AB=15.
sin⁡(A^)=1215=45\sin(\hat{A})=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}
cos⁡(A^)=915=35\cos(\hat{A})=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}
03

Tangente

tan⁡(A^)=129=43\tan(\hat{A})=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}
On obtient donc sin⁡(A^)=45\boxed{\sin(\hat{A})=\frac45}, cos⁡(A^)=35\boxed{\cos(\hat{A})=\frac35} et tan⁡(A^)=43\boxed{\tan(\hat{A})=\frac43}.

Suivi personnel

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15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

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Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 05

Théorème de Thalès

Droites parallèles, rapports de longueurs et agrandissements

Chapitre 07

Probabilités

Expériences aléatoires, événements et fréquences

Chapitre 04

Théorème de Pythagore

Calculer une longueur et vérifier qu'un triangle est rectangle