MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 06 · Quatrième

Trigonométrie

Sinus, cosinus, tangente dans le triangle rectangle

1Intermédiaire

Calculer un angle par trigonométrie

Énoncé

Dans un triangle rectangle ABCABC rectangle en CC, on sait que AB=13AB = 13 cm et BC=5BC = 5 cm.
1. Calculer sin⁡(A^)\sin(\hat{A}).
2. En déduire la mesure de l'angle A^\hat{A} (arrondie au degré).

Correction détaillée

01

Identification dans le triangle rectangle

ABAB est l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit). BCBC est le côté opposé à l'angle A^\hat{A}.
sin⁡(A^)=coˆteˊ opposeˊhypoteˊnuse=BCAB=513≈0,385\sin(\hat{A}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13} \approx 0{,}385
02

Calcul de l'angle

A^=arcsin⁡ ⁣(513)≈arcsin⁡(0,385)≈22°38′\hat{A} = \arcsin\!\left(\frac{5}{13}\right) \approx \arcsin(0{,}385) \approx 22°38'
Soit environ A^≈23°\hat{A} \approx 23° (arrondi au degré).
03

Vérification avec $\hat{B}$

B^=90°−A^≈90°−23°=67°\hat{B} = 90° - \hat{A} \approx 90° - 23° = 67°.
Vérification : sin⁡(67°)≈0,921\sin(67°) \approx 0{,}921 et ACAB=1213≈0,923\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{13} \approx 0{,}923 ✓ (avec AC=132−52=12AC = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12).
2Intermédiaire

Calculer un côté par trigonométrie

Énoncé

Dans un triangle rectangle DEFDEF rectangle en FF, on sait que D^=35°\hat{D} = 35° et DE=10DE = 10 cm.
Calculer DFDF et EFEF.

Correction détaillée

01

Calcul de $DF$ (côté adjacent à $\hat{D}$)

cos⁡(D^)=DFDE  ⟹  DF=DE×cos⁡(35°)=10×0,819≈8,19 cm\cos(\hat{D}) = \frac{DF}{DE} \implies DF = DE \times \cos(35°) = 10 \times 0{,}819 \approx 8{,}19 \text{ cm}
02

Calcul de $EF$ (côté opposé à $\hat{D}$)

sin⁡(D^)=EFDE  ⟹  EF=DE×sin⁡(35°)=10×0,574≈5,74 cm\sin(\hat{D}) = \frac{EF}{DE} \implies EF = DE \times \sin(35°) = 10 \times 0{,}574 \approx 5{,}74 \text{ cm}
03

Vérification par Pythagore

DF2+EF2≈8,192+5,742≈67,08+32,95≈100=DE2✓DF^2 + EF^2 \approx 8{,}19^2 + 5{,}74^2 \approx 67{,}08 + 32{,}95 \approx 100 = DE^2 \checkmark
3Intermédiaire

Utiliser la tangente

Énoncé

Une tour de télécommunication est observée depuis un point AA situé à 8080 m de sa base BB au sol.
L'angle d'élévation A^\hat{A} est de 52°52°.
1. Exprimer la hauteur BCBC de la tour en fonction de tan⁡(52°)\tan(52°).
2. Calculer BCBC (arrondir au mètre).

Correction détaillée

01

Identification des éléments du triangle rectangle

Le triangle ABCABC est rectangle en BB. A^=52°\hat{A} = 52°, AB=80AB = 80 m (côté adjacent à A^\hat{A}) et BCBC est le côté opposé à A^\hat{A} (hauteur de la tour).
02

Application de la tangente

tan⁡(A^)=coˆteˊ opposeˊcoˆteˊ adjacent=BCAB\tan(\hat{A}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{BC}{AB}
tan⁡(52°)=BC80  ⟹  BC=80×tan⁡(52°)\tan(52°) = \frac{BC}{80} \implies BC = 80 \times \tan(52°)
03

Calcul numérique

BC=80×tan⁡(52°)≈80×1,280≈102,4 mBC = 80 \times \tan(52°) \approx 80 \times 1{,}280 \approx 102{,}4 \text{ m}
La tour fait environ 102102 m de haut.
Rappel : tan⁡(α)=sin⁡(α)cos⁡(α)\tan(\alpha) = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}
4Difficile

Choisir le bon rapport trigonométrique

Énoncé

Dans un triangle rectangle IJKIJK rectangle en JJ, on connaît IJ=7IJ = 7 cm et JK=24JK = 24 cm.
1. Calculer IKIK (hypoténuse).
2. Calculer cos⁡(I^)\cos(\hat{I}) et en déduire I^\hat{I} au degré près.
3. En déduire K^\hat{K} sans calculatrice.

Correction détaillée

01

Calcul de l'hypoténuse $IK$

IK2=IJ2+JK2=72+242=49+576=625IK^2 = IJ^2 + JK^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625
IK=625=25 cmIK = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}
(Triplet pythagoricien : 77-2424-2525.)
02

Calcul de $\hat{I}$

IJ=7IJ = 7 cm est le côté adjacent à I^\hat{I}, IK=25IK = 25 cm est l'hypoténuse.
cos⁡(I^)=IJIK=725=0,28\cos(\hat{I}) = \frac{IJ}{IK} = \frac{7}{25} = 0{,}28
I^=arccos⁡(0,28)≈73,7°≈74°\hat{I} = \arccos(0{,}28) \approx 73{,}7° \approx 74°
03

Déduction de $\hat{K}$

Dans tout triangle, la somme des angles est 180°180°. Dans un triangle rectangle :
I^+K^=90°\hat{I} + \hat{K} = 90°
K^=90°−74°=16°\hat{K} = 90° - 74° = 16°
Vérification : sin⁡(K^)=IJIK=725=0,28\sin(\hat{K}) = \dfrac{IJ}{IK} = \dfrac{7}{25} = 0{,}28 et arcsin⁡(0,28)≈16°\arcsin(0{,}28) \approx 16° ✓