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Chapitre 04 · Quatrième

Théorème de Pythagore

Calculer une longueur et vérifier qu'un triangle est rectangle

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Travailler Théorème de Pythagore en Quatrième

Ce chapitre de théorème de pythagore en 4ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Repérer précisément les données de la figure et les codages utiles.
  • Identifier la propriété géométrique avant de commencer les calculs.

Compétences à maîtriser

  • Choisir la bonne propriété et la rédiger proprement.
  • Passer d’une figure à une démonstration ou à un calcul justifié.

Erreurs fréquentes

  • Utiliser une propriété simplement parce que la figure “semble” la montrer.
  • Oublier de vérifier les conditions d’application.

En contrôle ou en examen : Les chapitres de géométrie rapportent des points quand la rédaction reste rigoureuse.

1Facile

Calculer la longueur de l'hypoténuse

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Énoncé

Dans un triangle rectangle ABCABC rectangle en CC, on sait que AC=6AC = 6 cm et BC=8BC = 8 cm. Calculer la longueur ABAB.

Correction détaillée

01

Application du théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
AB2=AC2+BC2=62+82=36+64=100AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
02

Calcul de $AB$

AB=100=10 cmAB = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
(Triangle de Pythagore classique : 66-88-1010, multiple de 33-44-55.)
03

Conclusion

AB=10AB = 10 cm est l'hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l'angle droit).
2Intermédiaire

Reconnaître un triangle rectangle

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Énoncé

Un triangle a des côtés de longueurs 77 cm, 2424 cm et 2525 cm.
Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.

Correction détaillée

01

Identification du plus grand côté

Si le triangle est rectangle, l'angle droit est opposé au plus grand côté. Ici, le plus grand côté est 2525 cm (l'hypoténuse supposée).
02

Vérification de la réciproque de Pythagore

On calcule séparément :
252=62525^2 = 625
72+242=49+576=6257^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625
03

Conclusion

Comme 72+242=2527^2 + 24^2 = 25^2, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en l'angle opposé au côté de 2525 cm.
3Intermédiaire

Calculer un côté non hypoténuse

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Énoncé

Dans un triangle rectangle PQRPQR rectangle en RR, on sait que PQ=17PQ = 17 cm et PR=15PR = 15 cm.
1. Calculer QRQR.
2. Vérifier que le triangle PQRPQR est bien rectangle.

Correction détaillée

01

Application du théorème de Pythagore

PQPQ est l'hypoténuse car le triangle est rectangle en RR.
PQ2=PR2+QR2PQ^2 = PR^2 + QR^2
QR2=PQ2−PR2=172−152=289−225=64QR^2 = PQ^2 - PR^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64
02

Calcul de $QR$

QR=64=8 cmQR = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}
On retrouve le triplet pythagoricien 88-1515-1717.
03

Vérification par la réciproque

QR2+PR2=82+152=64+225=289=172=PQ2QR^2 + PR^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 = PQ^2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle PQRPQR est bien rectangle en RR ✓
4Difficile

Pythagore appliqué à un problème concret

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Énoncé

Une échelle de 55 m est appuyée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 1,81{,}8 m du mur.
1. À quelle hauteur le sommet de l'échelle touche-t-il le mur ?
2. Si on éloigne le pied à 33 m du mur, quelle hauteur atteint-on ? Arrondir au cm.

Correction détaillée

01

Mise en place du problème

Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. L'échelle est l'hypoténuse (55 m), le sol est un côté (1,81{,}8 m) et la hauteur sur le mur est l'autre côté.
h2=52−1,82=25−3,24=21,76h^2 = 5^2 - 1{,}8^2 = 25 - 3{,}24 = 21{,}76
02

Hauteur pour $1{,}8$ m du mur

h=21,76≈4,66 mh = \sqrt{21{,}76} \approx 4{,}66 \text{ m}
Le sommet de l'échelle touche le mur à environ 4,664{,}66 m de hauteur.
03

Hauteur pour $3$ m du mur

h′2=52−32=25−9=16h'^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16
h′=16=4 mh' = \sqrt{16} = 4 \text{ m}
En éloignant le pied de 1,21{,}2 m, on perd 0,660{,}66 m de hauteur. Conclusion : plus le pied est proche du mur, plus l'échelle monte haut.
5Facile

Triangle rectangle classique

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit mesurent 99 cm et 1212 cm.
Calculer l'hypoténuse.

Correction détaillée

01

Application de Pythagore

c2=92+122=81+144=225c^2=9^2+12^2=81+144=225
02

Calcul de la longueur

c=225=15 cmc=\sqrt{225}=15\text{ cm}
03

Conclusion

L'hypoténuse mesure 15 cm\boxed{15\text{ cm}}.
6Intermédiaire

Calculer un côté manquant

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 1313 cm et un autre côté mesure 55 cm.
Calculer le troisième côté.

Correction détaillée

01

Formule adaptée

132=52+x213^2=5^2+x^2
Donc
x2=132−52x^2=13^2-5^2
02

Calcul

x2=169−25=144x^2=169-25=144
x=12 cmx=12\text{ cm}
03

Résultat

Le troisième côté mesure 12 cm\boxed{12\text{ cm}}.
7Intermédiaire

Vérifier si un triangle est rectangle

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Énoncé

Un triangle a pour côtés 66 cm, 88 cm et 1111 cm.
Est-il rectangle ?

Correction détaillée

01

Plus grand côté

Le plus grand côté est 1111 cm. S'il y avait un angle droit, ce serait l'hypoténuse.
02

Test de la réciproque

62+82=36+64=1006^2+8^2=36+64=100
112=12111^2=121
03

Conclusion

Comme 100≠121100 \neq 121, le triangle n'est pas rectangle.
8Intermédiaire

Diagonale d'un rectangle

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Énoncé

Un rectangle mesure 1515 cm de longueur et 88 cm de largeur.
Calculer la longueur de sa diagonale.

Correction détaillée

01

Triangle rectangle dans le rectangle

La diagonale forme avec la longueur et la largeur un triangle rectangle.
02

Application de Pythagore

d2=152+82=225+64=289d^2=15^2+8^2=225+64=289
d=289=17 cmd=\sqrt{289}=17\text{ cm}
03

Conclusion

La diagonale du rectangle mesure 17 cm\boxed{17\text{ cm}}.
9Intermédiaire

Distance entre deux points sur quadrillage

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Énoncé

Sur un quadrillage, pour aller du point AA au point BB, on se déplace de 66 unités horizontalement et de 88 unités verticalement.
Calculer la distance ABAB.

Correction détaillée

01

Modélisation

Le déplacement horizontal et vertical forme un triangle rectangle de côtés 66 et 88.
02

Calcul

AB2=62+82=36+64=100AB^2=6^2+8^2=36+64=100
AB=10AB=10
03

Réponse

La distance entre les deux points est 10\boxed{10} unités.
10Difficile

Hauteur d'un cerf-volant

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Énoncé

La ficelle d'un cerf-volant mesure 3030 m. Elle est tendue entre la main de l'enfant et le cerf-volant, qui est à l'aplomb d'un point situé à 1818 m de l'enfant.
À quelle hauteur se trouve le cerf-volant ?

Correction détaillée

01

Triangle rectangle

La ficelle est l'hypoténuse. La distance au sol est 1818 m et la hauteur cherchée est hh.
02

Application de Pythagore

h2=302−182=900−324=576h^2=30^2-18^2=900-324=576
h=576=24h=\sqrt{576}=24
03

Conclusion

Le cerf-volant se trouve à 24 m\boxed{24\text{ m}} de hauteur.
11Difficile

Longueur d'une rampe

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Énoncé

Une rampe permet de monter à une hauteur de 0,90{,}9 m sur une distance horizontale de 1,21{,}2 m.
Quelle est la longueur de la rampe ?

Correction détaillée

01

Mise en place

La rampe est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés mesurent 0,90{,}9 m et 1,21{,}2 m.
02

Calcul

L2=0,92+1,22=0,81+1,44=2,25L^2=0{,}9^2+1{,}2^2=0{,}81+1{,}44=2{,}25
L=2,25=1,5 mL=\sqrt{2{,}25}=1{,}5\text{ m}
03

Réponse

La rampe mesure 1,5 m\boxed{1{,}5\text{ m}}.
12Intermédiaire

Choisir la bonne formule

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, on connaît l'hypoténuse 2020 cm et un côté 1616 cm.
1. Quelle formule utiliser ?
2. Calculer l'autre côté.

Correction détaillée

01

Formule

Comme on cherche un côté de l'angle droit, on utilise :
coˆteˊ2=hypoteˊnuse2−autre coˆteˊ2\text{côté}^2 = \text{hypoténuse}^2 - \text{autre côté}^2
02

Calcul

x2=202−162=400−256=144x^2=20^2-16^2=400-256=144
x=12 cmx=12\text{ cm}
03

Conclusion

L'autre côté mesure 12 cm\boxed{12\text{ cm}}.
13Difficile

Pythagore et aire

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Énoncé

Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 55 cm et 1212 cm.
1. Calculer l'hypoténuse.
2. Calculer l'aire du triangle.

Correction détaillée

01

Hypoténuse

c2=52+122=25+144=169c^2=5^2+12^2=25+144=169
c=13 cmc=13\text{ cm}
02

Aire du triangle

A=5×122=30 cm2\mathcal{A}=\frac{5\times 12}{2}=30\text{ cm}^2
03

Résultats

L'hypoténuse vaut 13 cm\boxed{13\text{ cm}} et l'aire vaut 30 cm2\boxed{30\text{ cm}^2}.
14Difficile

Comparer deux diagonales

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Énoncé

On considère un rectangle de dimensions 99 cm et 1212 cm, puis un autre de dimensions 88 cm et 1515 cm.
Lequel a la plus grande diagonale ?

Correction détaillée

01

Première diagonale

d12=92+122=81+144=225d_1^2=9^2+12^2=81+144=225
d1=15 cmd_1=15\text{ cm}
02

Seconde diagonale

d22=82+152=64+225=289d_2^2=8^2+15^2=64+225=289
d2=17 cmd_2=17\text{ cm}
03

Conclusion

Comme 17>1517>15, le second rectangle a la plus grande diagonale.
15Difficile

Bilan Pythagore

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Énoncé

Dans le triangle ABCABC, on a AB=26AB=26 cm, AC=10AC=10 cm et BC=24BC=24 cm.
1. Vérifier que le triangle est rectangle.
2. Préciser en quel sommet.

Correction détaillée

01

Test de la réciproque

Le plus grand côté est AB=26AB=26 cm.
AC2+BC2=102+242=100+576=676AC^2+BC^2=10^2+24^2=100+576=676
AB2=262=676AB^2=26^2=676
02

Interprétation

Comme AC2+BC2=AB2AC^2+BC^2=AB^2, la réciproque du théorème de Pythagore s'applique.
03

Conclusion

Le triangle est rectangle au sommet opposé à ABAB, donc il est rectangle en C\boxed{C}.

Suivi personnel

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 03

Puissances et Notation Scientifique

Calculs avec les puissances et écriture scientifique

Chapitre 05

Théorème de Thalès

Droites parallèles, rapports de longueurs et agrandissements

Chapitre 02

Équations du Premier Degré

Résoudre des équations et des problèmes