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Chapitre 04 · Quatrième

Théorème de Pythagore

Calculer une longueur et vérifier qu'un triangle est rectangle

1Facile

Calculer la longueur de l'hypoténuse

Énoncé

Dans un triangle rectangle ABCABC rectangle en CC, on sait que AC=6AC = 6 cm et BC=8BC = 8 cm. Calculer la longueur ABAB.

Correction détaillée

01

Application du théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
AB2=AC2+BC2=62+82=36+64=100AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
02

Calcul de $AB$

AB=100=10 cmAB = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
(Triangle de Pythagore classique : 66-88-1010, multiple de 33-44-55.)
03

Conclusion

AB=10AB = 10 cm est l'hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l'angle droit).
2Intermédiaire

Reconnaître un triangle rectangle

Énoncé

Un triangle a des côtés de longueurs 77 cm, 2424 cm et 2525 cm.
Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.

Correction détaillée

01

Identification du plus grand côté

Si le triangle est rectangle, l'angle droit est opposé au plus grand côté. Ici, le plus grand côté est 2525 cm (l'hypoténuse supposée).
02

Vérification de la réciproque de Pythagore

On calcule séparément :
252=62525^2 = 625
72+242=49+576=6257^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625
03

Conclusion

Comme 72+242=2527^2 + 24^2 = 25^2, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en l'angle opposé au côté de 2525 cm.
3Intermédiaire

Calculer un côté non hypoténuse

Énoncé

Dans un triangle rectangle PQRPQR rectangle en RR, on sait que PQ=17PQ = 17 cm et PR=15PR = 15 cm.
1. Calculer QRQR.
2. Vérifier que le triangle PQRPQR est bien rectangle.

Correction détaillée

01

Application du théorème de Pythagore

PQPQ est l'hypoténuse car le triangle est rectangle en RR.
PQ2=PR2+QR2PQ^2 = PR^2 + QR^2
QR2=PQ2−PR2=172−152=289−225=64QR^2 = PQ^2 - PR^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64
02

Calcul de $QR$

QR=64=8 cmQR = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}
On retrouve le triplet pythagoricien 88-1515-1717.
03

Vérification par la réciproque

QR2+PR2=82+152=64+225=289=172=PQ2QR^2 + PR^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 = PQ^2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle PQRPQR est bien rectangle en RR ✓
4Difficile

Pythagore appliqué à un problème concret

Énoncé

Une échelle de 55 m est appuyée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 1,81{,}8 m du mur.
1. À quelle hauteur le sommet de l'échelle touche-t-il le mur ?
2. Si on éloigne le pied à 33 m du mur, quelle hauteur atteint-on ? Arrondir au cm.

Correction détaillée

01

Mise en place du problème

Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. L'échelle est l'hypoténuse (55 m), le sol est un côté (1,81{,}8 m) et la hauteur sur le mur est l'autre côté.
h2=52−1,82=25−3,24=21,76h^2 = 5^2 - 1{,}8^2 = 25 - 3{,}24 = 21{,}76
02

Hauteur pour $1{,}8$ m du mur

h=21,76≈4,66 mh = \sqrt{21{,}76} \approx 4{,}66 \text{ m}
Le sommet de l'échelle touche le mur à environ 4,664{,}66 m de hauteur.
03

Hauteur pour $3$ m du mur

h′2=52−32=25−9=16h'^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16
h′=16=4 mh' = \sqrt{16} = 4 \text{ m}
En éloignant le pied de 1,21{,}2 m, on perd 0,660{,}66 m de hauteur. Conclusion : plus le pied est proche du mur, plus l'échelle monte haut.