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Chapitre 03 · Quatrième

Puissances et Notation Scientifique

Calculs avec les puissances et écriture scientifique

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Travailler Puissances et Notation Scientifique en Quatrième

Ce chapitre de puissances et notation scientifique en 4ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours completVoir le programme du niveauMéthodologie de révision

Prérequis

  • Reprendre les bases de 4ème liées à puissances et notation scientifique.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de puissances et notation scientifique.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Facile

Règles de calcul sur les puissances

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Énoncé

Simplifier les expressions suivantes (sans calculatrice) :
1. A=23×25A = 2^3 \times 2^5
2. B=3734B = \dfrac{3^7}{3^4}
3. C=(52)3C = (5^2)^3

Correction détaillée

01

Produit de puissances de même base

A=23×25=23+5=28=256A = 2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256
02

Quotient de puissances de même base

B=3734=37−4=33=27B = \frac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 27
03

Puissance d'une puissance

C=(52)3=52×3=56=15 625C = (5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6 = 15\ 625
2Intermédiaire

Notation scientifique

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Énoncé

1. Écrire en notation scientifique : 0,000 0470{,}000\ 047 et 3 560 0003\ 560\ 000.
2. Calculer A=(2,4×105)×(3×10−2)A = (2{,}4 \times 10^5) \times (3 \times 10^{-2}) en notation scientifique.

Correction détaillée

01

Conversion en notation scientifique

0,000 047=4,7×10−50{,}000\ 047 = 4{,}7 \times 10^{-5} (on déplace la virgule de 5 rangs vers la droite).
3 560 000=3,56×1063\ 560\ 000 = 3{,}56 \times 10^6 (on déplace la virgule de 6 rangs vers la gauche).
02

Calcul de $A$

A=(2,4×3)×(105×10−2)=7,2×105+(−2)=7,2×103A = (2{,}4 \times 3) \times (10^5 \times 10^{-2}) = 7{,}2 \times 10^{5+(-2)} = 7{,}2 \times 10^3
03

Vérification

7,2×103=7 2007{,}2 \times 10^3 = 7\ 200. Vérification directe : 240 000×0,03=7 200240\ 000 \times 0{,}03 = 7\ 200 ✓
3Intermédiaire

Puissances négatives et fractions

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Énoncé

Simplifier et exprimer avec des puissances positives :
1. A=5−3×55A = 5^{-3} \times 5^5
2. B=24×2−72−1B = \dfrac{2^4 \times 2^{-7}}{2^{-1}}
3. C=(13)−2C = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}

Correction détaillée

01

Rappel : puissance négative

Pour tout nombre a≠0a \neq 0 et entier n>0n > 0 : a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}
Donc 5−3=11255^{-3} = \dfrac{1}{125}, 2−7=11282^{-7} = \dfrac{1}{128}, etc.
02

Calcul de $A$ et $B$

A=5−3×55=5−3+5=52=25A = 5^{-3} \times 5^5 = 5^{-3+5} = 5^2 = 25
B=24×2−72−1=24+(−7)2−1=2−32−1=2−3−(−1)=2−2=14B = \frac{2^4 \times 2^{-7}}{2^{-1}} = \frac{2^{4+(-7)}}{2^{-1}} = \frac{2^{-3}}{2^{-1}} = 2^{-3-(-1)} = 2^{-2} = \frac{1}{4}
03

Calcul de $C$

C=(13)−2=1(13)2=119=9C = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9
Règle : (ab)−n=(ba)n\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}, donc (13)−2=32=9\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9 ✓
4Difficile

Opérations en notation scientifique

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Énoncé

La distance Terre–Soleil est environ 1,5×10111{,}5 \times 10^{11} m. La lumière voyage à 3×1083 \times 10^8 m/s.
1. Combien de secondes met la lumière pour parcourir cette distance ?
2. Convertir ce résultat en minutes.
3. Exprimer la distance en notation scientifique en km.

Correction détaillée

01

Temps en secondes

On utilise la formule t=dvt = \dfrac{d}{v} :
t=1,5×10113×108=1,53×1011−8=0,5×103=5×102 st = \frac{1{,}5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = \frac{1{,}5}{3} \times 10^{11-8} = 0{,}5 \times 10^3 = 5 \times 10^2 \text{ s}
Soit 500500 secondes.
02

Conversion en minutes

t=50060=253≈8,33 mint = \frac{500}{60} = \frac{25}{3} \approx 8{,}33 \text{ min}
La lumière met environ 8\mathbf{8} minutes 20\mathbf{20} secondes pour aller du Soleil à la Terre.
03

Distance en km

11 m =10−3= 10^{-3} km, donc :
1,5×1011 m=1,5×1011×10−3 km=1,5×108 km1{,}5 \times 10^{11} \text{ m} = 1{,}5 \times 10^{11} \times 10^{-3} \text{ km} = 1{,}5 \times 10^{8} \text{ km}
Soit 150 000 000150\ 000\ 000 km (cent cinquante millions de kilomètres).
5Facile

Multiplier des puissances de même base

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Énoncé

Simplifier :
1. 24×232^4 \times 2^3
2. 102×10510^2 \times 10^5
3. 71×727^1 \times 7^2

Correction détaillée

01

Règle

Pour une même base, on additionne les exposants :
am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}
02

Applications

24×23=27=1282^4 \times 2^3 = 2^7 = 128
102×105=10710^2 \times 10^5 = 10^7
71×72=73=3437^1 \times 7^2 = 7^3 = 343
03

Conclusion

Les résultats sont 128\boxed{128}, 107\boxed{10^7} et 343\boxed{343}.
6Facile

Diviser des puissances

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Énoncé

Simplifier :
1. 56÷525^6 \div 5^2
2. 108÷10310^8 \div 10^3
3. 34÷33^4 \div 3

Correction détaillée

01

Règle

Pour une même base, on soustrait les exposants :
am÷an=am−na^m \div a^n = a^{m-n}
02

Calculs

56÷52=54=6255^6 \div 5^2 = 5^4 = 625
108÷103=10510^8 \div 10^3 = 10^5
34÷3=34÷31=33=273^4 \div 3 = 3^4 \div 3^1 = 3^3 = 27
03

Résultats

On obtient 625\boxed{625}, 105\boxed{10^5} et 27\boxed{27}.
7Intermédiaire

Puissance d'une puissance

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Énoncé

Simplifier :
1. (23)4(2^3)^4
2. (102)3(10^2)^3
3. (32)2(3^2)^2

Correction détaillée

01

Règle

Quand on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants :
(am)n=amn\left(a^m\right)^n = a^{mn}
02

Applications

(23)4=212=4 096(2^3)^4 = 2^{12} = 4\ 096
(102)3=106(10^2)^3 = 10^6
(32)2=34=81(3^2)^2 = 3^4 = 81
03

Bilan

Les puissances permettent d'écrire de grands produits de façon compacte.
8Intermédiaire

Écriture décimale et scientifique

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Énoncé

Écrire en notation scientifique :
1. 45 00045\ 000
2. 0,000 820{,}000\ 82
3. 7 230 0007\ 230\ 000

Correction détaillée

01

Principe

En notation scientifique, un nombre s'écrit sous la forme a×10na \times 10^n avec 1≤a<101 \leq a < 10.
02

Conversions

45 000=4,5×10445\ 000 = 4{,}5 \times 10^4
0,000 82=8,2×10−40{,}000\ 82 = 8{,}2 \times 10^{-4}
7 230 000=7,23×1067\ 230\ 000 = 7{,}23 \times 10^6
03

Sens du déplacement

Si la virgule se déplace vers la gauche, l'exposant est positif. Si elle se déplace vers la droite, l'exposant est négatif.
9Intermédiaire

Revenir à l'écriture usuelle

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Énoncé

Écrire sous forme décimale :
1. 3,2×1043{,}2 \times 10^4
2. 6,5×10−36{,}5 \times 10^{-3}
3. 9,01×1029{,}01 \times 10^2

Correction détaillée

01

Règle

10410^4 décale la virgule de 4 rangs vers la droite ; 10−310^{-3} de 3 rangs vers la gauche.
02

Applications

3,2×104=32 0003{,}2 \times 10^4 = 32\ 000
6,5×10−3=0,00656{,}5 \times 10^{-3} = 0{,}0065
9,01×102=9019{,}01 \times 10^2 = 901
03

Conclusion

Les écritures scientifique et décimale représentent exactement le même nombre.
10Intermédiaire

Calculer avec des puissances de 10

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Énoncé

Calculer :
1. (4×103)(2×102)(4 \times 10^3)(2 \times 10^2)
2. 8×1074×103\dfrac{8 \times 10^7}{4 \times 10^3}

Correction détaillée

01

Produit

(4×103)(2×102)=8×103+2=8×105(4 \times 10^3)(2 \times 10^2)=8 \times 10^{3+2}=8 \times 10^5
02

Quotient

8×1074×103=84×107−3=2×104\frac{8 \times 10^7}{4 \times 10^3}=\frac{8}{4} \times 10^{7-3}=2 \times 10^4
03

Résultats

On obtient 8×105\boxed{8 \times 10^5} et 2×104\boxed{2 \times 10^4}.
11Intermédiaire

Puissances négatives

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Énoncé

Écrire avec des exposants positifs :
1. 10−410^{-4}
2. 2−32^{-3}
3. 5255\dfrac{5^2}{5^5}

Correction détaillée

01

Rappel

a−n=1ana^{-n}=\frac{1}{a^n}
02

Applications

10−4=1104=0,000110^{-4}=\frac{1}{10^4}=0{,}0001
2−3=123=182^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}
5255=5−3=153=1125\frac{5^2}{5^5}=5^{-3}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}
03

Idée clé

Un exposant négatif n'indique pas un nombre négatif : il signifie simplement que la puissance se retrouve au dénominateur.
12Difficile

Comparer des ordres de grandeur

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Énoncé

Comparer les nombres suivants sans les écrire en entier :
1. 3×1053 \times 10^5 et 2,9×1062{,}9 \times 10^6
2. 7,2×10−37{,}2 \times 10^{-3} et 6,9×10−26{,}9 \times 10^{-2}

Correction détaillée

01

Comparer les exposants

Quand les exposants sont différents, l'exposant le plus grand donne généralement le plus grand nombre si les coefficients sont positifs.
02

Première comparaison

10610^6 est 10 fois plus grand que 10510^5, donc
2,9×106>3×1052{,}9 \times 10^6 > 3 \times 10^5
03

Seconde comparaison

10−210^{-2} est 10 fois plus grand que 10−310^{-3}, donc
6,9×10−2>7,2×10−36{,}9 \times 10^{-2} > 7{,}2 \times 10^{-3}
13Difficile

Masse de cellules

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Énoncé

La masse d'une cellule est d'environ 3×10−93 \times 10^{-9} g.
Quelle est la masse de 2×1062 \times 10^6 cellules ? Donner le résultat en notation scientifique.

Correction détaillée

01

Mise en produit

(3×10−9)×(2×106)(3 \times 10^{-9}) \times (2 \times 10^6)
02

Calcul

3×2=63 \times 2 = 6
10−9×106=10−310^{-9} \times 10^6 = 10^{-3}
Donc la masse totale vaut :
6×10−3 g6 \times 10^{-3} \text{ g}
03

Interprétation

6×10−3 g=0,006 g6 \times 10^{-3} \text{ g}=0{,}006 \text{ g}
La masse reste très petite malgré le grand nombre de cellules.
14Difficile

Distance en kilomètres

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Énoncé

Une sonde parcourt 4,8×1074{,}8 \times 10^7 m.
1. Exprimer cette distance en kilomètres.
2. Écrire le résultat en écriture décimale.

Correction détaillée

01

Conversion m vers km

11 km =103=10^3 m, donc pour passer des mètres aux kilomètres, on divise par 10310^3 :
4,8×107÷103=4,8×104 km4{,}8 \times 10^7 \div 10^3 = 4{,}8 \times 10^4 \text{ km}
02

Écriture décimale

4,8×104=48 000 km4{,}8 \times 10^4 = 48\ 000 \text{ km}
03

Conclusion

La sonde a parcouru 4,8×104 km\boxed{4{,}8 \times 10^4\text{ km}}, soit 48 000 km\boxed{48\ 000\text{ km}}.
15Difficile

Calcul complet en notation scientifique

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Énoncé

Calculer et donner le résultat en notation scientifique :
A=(6×104)(5×10−2)3×103A=\frac{(6 \times 10^4)(5 \times 10^{-2})}{3 \times 10^3}

Correction détaillée

01

Numérateur

(6×104)(5×10−2)=30×102(6 \times 10^4)(5 \times 10^{-2})=30 \times 10^2
02

Division

A=30×1023×103=303×102−3=10×10−1A=\frac{30 \times 10^2}{3 \times 10^3}=\frac{30}{3} \times 10^{2-3}=10 \times 10^{-1}
03

Mise en notation scientifique

10×10−1=1×100=110 \times 10^{-1}=1 \times 10^0=1
Donc A=1\boxed{A=1}.

Suivi personnel

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15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

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Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 02

Équations du Premier Degré

Résoudre des équations et des problèmes

Chapitre 04

Théorème de Pythagore

Calculer une longueur et vérifier qu'un triangle est rectangle

Chapitre 01

Calcul Littéral

Développement, réduction et expressions algébriques