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Chapitre 03 · Quatrième

Puissances et Notation Scientifique

Calculs avec les puissances et écriture scientifique

1Facile

Règles de calcul sur les puissances

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes (sans calculatrice) :
1. A=23×25A = 2^3 \times 2^5
2. B=3734B = \dfrac{3^7}{3^4}
3. C=(52)3C = (5^2)^3

Correction détaillée

01

Produit de puissances de même base

A=23×25=23+5=28=256A = 2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256
02

Quotient de puissances de même base

B=3734=37−4=33=27B = \frac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 27
03

Puissance d'une puissance

C=(52)3=52×3=56=15 625C = (5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6 = 15\ 625
2Intermédiaire

Notation scientifique

Énoncé

1. Écrire en notation scientifique : 0,000 0470{,}000\ 047 et 3 560 0003\ 560\ 000.
2. Calculer A=(2,4×105)×(3×10−2)A = (2{,}4 \times 10^5) \times (3 \times 10^{-2}) en notation scientifique.

Correction détaillée

01

Conversion en notation scientifique

0,000 047=4,7×10−50{,}000\ 047 = 4{,}7 \times 10^{-5} (on déplace la virgule de 5 rangs vers la droite).
3 560 000=3,56×1063\ 560\ 000 = 3{,}56 \times 10^6 (on déplace la virgule de 6 rangs vers la gauche).
02

Calcul de $A$

A=(2,4×3)×(105×10−2)=7,2×105+(−2)=7,2×103A = (2{,}4 \times 3) \times (10^5 \times 10^{-2}) = 7{,}2 \times 10^{5+(-2)} = 7{,}2 \times 10^3
03

Vérification

7,2×103=7 2007{,}2 \times 10^3 = 7\ 200. Vérification directe : 240 000×0,03=7 200240\ 000 \times 0{,}03 = 7\ 200 ✓
3Intermédiaire

Puissances négatives et fractions

Énoncé

Simplifier et exprimer avec des puissances positives :
1. A=5−3×55A = 5^{-3} \times 5^5
2. B=24×2−72−1B = \dfrac{2^4 \times 2^{-7}}{2^{-1}}
3. C=(13)−2C = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}

Correction détaillée

01

Rappel : puissance négative

Pour tout nombre a≠0a \neq 0 et entier n>0n > 0 : a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}
Donc 5−3=11255^{-3} = \dfrac{1}{125}, 2−7=11282^{-7} = \dfrac{1}{128}, etc.
02

Calcul de $A$ et $B$

A=5−3×55=5−3+5=52=25A = 5^{-3} \times 5^5 = 5^{-3+5} = 5^2 = 25
B=24×2−72−1=24+(−7)2−1=2−32−1=2−3−(−1)=2−2=14B = \frac{2^4 \times 2^{-7}}{2^{-1}} = \frac{2^{4+(-7)}}{2^{-1}} = \frac{2^{-3}}{2^{-1}} = 2^{-3-(-1)} = 2^{-2} = \frac{1}{4}
03

Calcul de $C$

C=(13)−2=1(13)2=119=9C = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9
Règle : (ab)−n=(ba)n\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}, donc (13)−2=32=9\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9 ✓
4Difficile

Opérations en notation scientifique

Énoncé

La distance Terre–Soleil est environ 1,5×10111{,}5 \times 10^{11} m. La lumière voyage à 3×1083 \times 10^8 m/s.
1. Combien de secondes met la lumière pour parcourir cette distance ?
2. Convertir ce résultat en minutes.
3. Exprimer la distance en notation scientifique en km.

Correction détaillée

01

Temps en secondes

On utilise la formule t=dvt = \dfrac{d}{v} :
t=1,5×10113×108=1,53×1011−8=0,5×103=5×102 st = \frac{1{,}5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = \frac{1{,}5}{3} \times 10^{11-8} = 0{,}5 \times 10^3 = 5 \times 10^2 \text{ s}
Soit 500500 secondes.
02

Conversion en minutes

t=50060=253≈8,33 mint = \frac{500}{60} = \frac{25}{3} \approx 8{,}33 \text{ min}
La lumière met environ 8\mathbf{8} minutes 20\mathbf{20} secondes pour aller du Soleil à la Terre.
03

Distance en km

11 m =10−3= 10^{-3} km, donc :
1,5×1011 m=1,5×1011×10−3 km=1,5×108 km1{,}5 \times 10^{11} \text{ m} = 1{,}5 \times 10^{11} \times 10^{-3} \text{ km} = 1{,}5 \times 10^{8} \text{ km}
Soit 150 000 000150\ 000\ 000 km (cent cinquante millions de kilomètres).