Équations du Premier Degré

$$3x = 22 - 7 = 15 \implies x = \frac{15}{3} = 5$$
Vérification : $3 \times 5 + 7 = 15 + 7 = 22$ ✓

$5(11-2) = 5 \times 9 = 45$ et $3(11+4) = 3 \times 15 = 45$ ✓

Notons $x$ l'âge actuel de Tom. Alors Léa a $3x$ ans.
Dans $5$ ans : Tom aura $x + 5$ ans et Léa aura $3x + 5$ ans.

Tom a $\mathbf{7}$ ans et Léa a $3 \times 7 = \mathbf{21}$ ans.
Vérification : dans $5$ ans, $12 + 26 = 38$ ✓

Le PPCM de $3$ et $4$ est $12$. On multiplie tout par $12$ :
$$12 \times \frac{x}{3} + 12 \times \frac{x}{4} = 12 \times 7$$
$$4x + 3x = 84 \implies 7x = 84 \implies x = 12$$

On effectue le produit en croix (les dénominateurs sont non nuls) :
$$2(2x - 1) = 5(x + 3)$$
$$4x - 2 = 5x + 15$$
$$4x - 5x = 15 + 2$$
$$-x = 17 \implies x = -17$$

Pour la première : $\dfrac{12}{3} + \dfrac{12}{4} = 4 + 3 = 7$ ✓
Pour la seconde : $\dfrac{2(-17)-1}{5} = \dfrac{-35}{5} = -7$ et $\dfrac{-17+3}{2} = \dfrac{-14}{2} = -7$ ✓

$$3x > 7 + 5$$
$$3x > 12$$
$$x > \frac{12}{3} = 4$$
L'ensemble des solutions est $]4 ; +\infty[$.

$$-2x \leq 11 - 3$$
$$-2x \leq 8$$
On divise par $-2$ : le sens de l'inégalité s'inverse !
$$x \geq \frac{8}{-2} = -4$$
L'ensemble des solutions est $[-4 ; +\infty[$.

Pour $x > 4$ : crochet ouvert en $4$, flèche vers la droite.
Pour $x \geq -4$ : crochet fermé en $-4$, flèche vers la droite.
Règle fondamentale : quand on multiplie ou divise une inéquation par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.