MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 02 · Quatrième

Équations du Premier Degré

Résoudre des équations et des problèmes

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Réviser efficacement

Travailler Équations du Premier Degré en Quatrième

Ce chapitre de équations du premier degré en 4ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours completVoir le programme du niveauMéthodologie de révision

Prérequis

  • Reprendre les bases de 4ème liées à équations du premier degré.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de équations du premier degré.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Facile

Résolution d'équations du premier degré

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Énoncé

Résoudre les équations suivantes :
1. 3x+7=223x + 7 = 22
2. 5(x−2)=3(x+4)5(x - 2) = 3(x + 4)

Correction détaillée

01

Résolution de $3x + 7 = 22$

3x=22−7=15  ⟹  x=153=53x = 22 - 7 = 15 \implies x = \frac{15}{3} = 5
Vérification : 3×5+7=15+7=223 \times 5 + 7 = 15 + 7 = 22 ✓
02

Développement de $5(x-2) = 3(x+4)$

5x−10=3x+125x - 10 = 3x + 12
5x−3x=12+105x - 3x = 12 + 10
2x=22  ⟹  x=112x = 22 \implies x = 11
03

Vérification

5(11−2)=5×9=455(11-2) = 5 \times 9 = 45 et 3(11+4)=3×15=453(11+4) = 3 \times 15 = 45 ✓
2Intermédiaire

Mise en équation d'un problème

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Énoncé

Léa a 33 fois l'âge de son frère Tom. Dans 55 ans, la somme de leurs âges sera 3838 ans. Quel est l'âge actuel de chacun ?

Correction détaillée

01

Mise en place des variables

Notons xx l'âge actuel de Tom. Alors Léa a 3x3x ans.
Dans 55 ans : Tom aura x+5x + 5 ans et Léa aura 3x+53x + 5 ans.
02

Écriture et résolution de l'équation

(x+5)+(3x+5)=38( x + 5) + (3x + 5) = 38
4x+10=384x + 10 = 38
4x=28  ⟹  x=74x = 28 \implies x = 7
03

Conclusion

Tom a 7\mathbf{7} ans et Léa a 3×7=213 \times 7 = \mathbf{21} ans.
Vérification : dans 55 ans, 12+26=3812 + 26 = 38 ✓
3Intermédiaire

Équations avec fractions

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Énoncé

Résoudre les équations suivantes :
1. x3+x4=7\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} = 7
2. 2x−15=x+32\dfrac{2x - 1}{5} = \dfrac{x + 3}{2}

Correction détaillée

01

Résolution de $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ — réduction au même dénominateur

Le PPCM de 33 et 44 est 1212. On multiplie tout par 1212 :
12×x3+12×x4=12×712 \times \frac{x}{3} + 12 \times \frac{x}{4} = 12 \times 7
4x+3x=84  ⟹  7x=84  ⟹  x=124x + 3x = 84 \implies 7x = 84 \implies x = 12
02

Résolution de $\frac{2x-1}{5} = \frac{x+3}{2}$ — produit en croix

On effectue le produit en croix (les dénominateurs sont non nuls) :
2(2x−1)=5(x+3)2(2x - 1) = 5(x + 3)
4x−2=5x+154x - 2 = 5x + 15
4x−5x=15+24x - 5x = 15 + 2
−x=17  ⟹  x=−17-x = 17 \implies x = -17
03

Vérifications

Pour la première : 123+124=4+3=7\dfrac{12}{3} + \dfrac{12}{4} = 4 + 3 = 7 ✓
Pour la seconde : 2(−17)−15=−355=−7\dfrac{2(-17)-1}{5} = \dfrac{-35}{5} = -7 et −17+32=−142=−7\dfrac{-17+3}{2} = \dfrac{-14}{2} = -7 ✓
4Difficile

Inéquations du premier degré

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Énoncé

Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite numérique :
1. 3x−5>73x - 5 > 7
2. −2x+3≤11-2x + 3 \leq 11

Correction détaillée

01

Résolution de $3x - 5 > 7$

3x>7+53x > 7 + 5
3x>123x > 12
x>123=4x > \frac{12}{3} = 4
L'ensemble des solutions est ]4;+∞[]4 ; +\infty[.
02

Résolution de $-2x + 3 \leq 11$ — attention au signe

−2x≤11−3-2x \leq 11 - 3
−2x≤8-2x \leq 8
On divise par −2-2 : le sens de l'inégalité s'inverse !
x≥8−2=−4x \geq \frac{8}{-2} = -4
L'ensemble des solutions est [−4;+∞[[-4 ; +\infty[.
03

Représentation et règle clé

Pour x>4x > 4 : crochet ouvert en 44, flèche vers la droite.
Pour x≥−4x \geq -4 : crochet fermé en −4-4, flèche vers la droite.
Règle fondamentale : quand on multiplie ou divise une inéquation par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.
5Facile

Équations très simples

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Énoncé

Résoudre :
1. x+9=17x + 9 = 17
2. 2x=142x = 14
3. x−6=−3x - 6 = -3

Correction détaillée

01

Isolement de l'inconnue

On effectue l'opération inverse de chaque côté de l'égalité.
02

Calculs

x=17−9=8x=17-9=8
x=142=7x=\frac{14}{2}=7
x=−3+6=3x=-3+6=3
03

Solutions

Les solutions sont respectivement : 8\boxed{8}, 7\boxed{7} et 3\boxed{3}.
6Intermédiaire

Équations avec parenthèses

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Énoncé

Résoudre :
1. 4(x+3)=284(x+3)=28
2. 3(2x−1)=153(2x-1)=15

Correction détaillée

01

Première équation

4(x+3)=28  ⟹  x+3=7  ⟹  x=44(x+3)=28 \implies x+3=7 \implies x=4
02

Seconde équation

3(2x−1)=15  ⟹  2x−1=5  ⟹  2x=6  ⟹  x=33(2x-1)=15 \implies 2x-1=5 \implies 2x=6 \implies x=3
03

Vérification

4(4+3)=284(4+3)=28 et 3(2×3−1)=3×5=153(2\times 3-1)=3\times 5=15 ✓
7Intermédiaire

Équation avec termes des deux côtés

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Énoncé

Résoudre les équations suivantes :
1. 7x−4=3x+127x - 4 = 3x + 12
2. 5−2x=11+x5 - 2x = 11 + x

Correction détaillée

01

Première équation

7x−4=3x+127x-4=3x+12
7x−3x=12+47x-3x=12+4
4x=16  ⟹  x=44x=16 \implies x=4
02

Seconde équation

5−2x=11+x5-2x=11+x
5−11=x+2x5-11=x+2x
−6=3x  ⟹  x=−2-6=3x \implies x=-2
03

Contrôle

Pour x=4x=4 puis x=−2x=-2, chaque égalité est vérifiée.
8Intermédiaire

Problème de partage

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Énoncé

On partage 56 billes entre deux enfants. Le premier en reçoit 8 de plus que le second.
Combien chacun reçoit-il ?

Correction détaillée

01

Mise en équation

Notons xx le nombre de billes du second enfant. Le premier en reçoit alors x+8x+8.
La somme vaut 56, donc :
(x+8)+x=56(x+8)+x=56
02

Résolution

2x+8=562x+8=56
2x=482x=48
x=24x=24
03

Conclusion

Le second reçoit 2424 billes et le premier 24+8=3224+8=32 billes.
9Intermédiaire

Équation avec fractions simples

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Énoncé

Résoudre :
1. x+52=9\dfrac{x+5}{2}=9
2. 3x4=6\dfrac{3x}{4}=6

Correction détaillée

01

Première équation

x+52=9  ⟹  x+5=18  ⟹  x=13\frac{x+5}{2}=9 \implies x+5=18 \implies x=13
02

Seconde équation

3x4=6  ⟹  3x=24  ⟹  x=8\frac{3x}{4}=6 \implies 3x=24 \implies x=8
03

Vérification

13+52=9\dfrac{13+5}{2}=9 et 3×84=6\dfrac{3\times 8}{4}=6 ✓
10Intermédiaire

Inéquations usuelles

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Énoncé

Résoudre et donner l'ensemble des solutions :
1. x+7<12x+7<12
2. 4x≥204x\geq 20

Correction détaillée

01

Première inéquation

x+7<12  ⟹  x<5x+7<12 \implies x<5
Ensemble solution : ]−∞;5[]-\infty;5[.
02

Seconde inéquation

4x≥20  ⟹  x≥54x\geq 20 \implies x\geq 5
Ensemble solution : [5;+∞[[5;+\infty[.
03

Lecture graphique

Pour x<5x<5, on place un point ouvert en 5. Pour x≥5x\geq 5, on place un point fermé en 5.
11Difficile

Inéquation avec coefficient négatif

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Énoncé

Résoudre :
1. −3x>12-3x>12
2. 5−2x≤15-2x\leq 1

Correction détaillée

01

Première inéquation

−3x>12-3x>12
En divisant par −3-3, on inverse le sens :
x<−4x<-4
02

Seconde inéquation

5−2x≤15-2x\leq 1
−2x≤−4-2x\leq -4
En divisant par −2-2, on inverse le sens :
x≥2x\geq 2
03

Rappel essentiel

Quand on divise ou multiplie une inéquation par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité.
12Difficile

Tarif d'abonnement

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Énoncé

Une salle de sport propose un abonnement à 18 € par mois avec 25 € de frais d'inscription.
1. Écrire le coût total CC pour xx mois.
2. Au bout de combien de mois a-t-on payé 133 € ?

Correction détaillée

01

Expression du coût

Le coût total est formé d'une partie fixe et d'une partie variable :
C=18x+25C=18x+25
02

Résolution de l'équation

On cherche xx tel que C=133C=133 :
18x+25=13318x+25=133
18x=10818x=108
x=6x=6
03

Conclusion

Le modèle est C=18x+25\boxed{C=18x+25} et on atteint 133133 € après 6\boxed{6} mois.
13Difficile

Périmètre et équation

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Énoncé

Un rectangle a pour longueur x+4x+4 cm et pour largeur x−1x-1 cm. Son périmètre vaut 3434 cm.
Déterminer xx.

Correction détaillée

01

Écriture du périmètre

2((x+4)+(x−1))=342\bigl((x+4)+(x-1)\bigr)=34
02

Résolution

2(2x+3)=342(2x+3)=34
4x+6=344x+6=34
4x=284x=28
x=7x=7
03

Vérification

La longueur vaut 1111 cm et la largeur 66 cm.
Le périmètre est bien 2(11+6)=342(11+6)=34 cm.
14Intermédiaire

Âges dans le futur

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Énoncé

Aujourd'hui, un père a 4 fois l'âge de sa fille. Dans 6 ans, il aura 3 fois son âge.
Quels sont leurs âges actuels ?

Correction détaillée

01

Choix de l'inconnue

Notons xx l'âge actuel de la fille. Le père a alors 4x4x ans.
Dans 6 ans : la fille aura x+6x+6 ans et le père 4x+64x+6 ans.
02

Équation

4x+6=3(x+6)4x+6=3(x+6)
4x+6=3x+184x+6=3x+18
x=12x=12
03

Conclusion

La fille a 1212 ans et le père a 4848 ans.
Vérification dans 6 ans : 54=3×1854=3\times 18 ✓
15Difficile

Équation bilan

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Énoncé

Résoudre :
1. 2(3x−4)+5=x+182(3x-4)+5=x+18
2. x−23+4=7\dfrac{x-2}{3}+4=7

Correction détaillée

01

Première équation

2(3x−4)+5=x+182(3x-4)+5=x+18
6x−8+5=x+186x-8+5=x+18
6x−3=x+186x-3=x+18
5x=21  ⟹  x=2155x=21 \implies x=\frac{21}{5}
02

Seconde équation

x−23+4=7\frac{x-2}{3}+4=7
x−23=3\frac{x-2}{3}=3
x−2=9x-2=9
x=11x=11
03

Solutions

Les solutions sont :
x=215x=11\boxed{x=\frac{21}{5}}\qquad \boxed{x=11}

Suivi personnel

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 01

Calcul Littéral

Développement, réduction et expressions algébriques

Chapitre 03

Puissances et Notation Scientifique

Calculs avec les puissances et écriture scientifique

Chapitre 04

Théorème de Pythagore

Calculer une longueur et vérifier qu'un triangle est rectangle