MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 01 · Quatrième

Calcul Littéral

Développement, réduction et expressions algébriques

1Facile

Développer et réduire

Énoncé

Développer et réduire les expressions suivantes :
1. A=3(2x−5)+4(x+1)A = 3(2x - 5) + 4(x + 1)
2. B=(x+3)(x−2)B = (x + 3)(x - 2)

Correction détaillée

01

Développement de $A$

A=3×2x+3×(−5)+4×x+4×1A = 3 \times 2x + 3 \times (-5) + 4 \times x + 4 \times 1
A=6x−15+4x+4=10x−11A = 6x - 15 + 4x + 4 = \mathbf{10x - 11}
02

Développement de $B$ — double distributivité

B=x×x+x×(−2)+3×x+3×(−2)B = x \times x + x \times (-2) + 3 \times x + 3 \times (-2)
B=x2−2x+3x−6=x2+x−6B = x^2 - 2x + 3x - 6 = \mathbf{x^2 + x - 6}
03

Vérification rapide

On peut vérifier en substituant x=1x = 1 :
- B=(1+3)(1−2)=4×(−1)=−4B = (1+3)(1-2) = 4 \times (-1) = -4
- x2+x−6=1+1−6=−4x^2 + x - 6 = 1 + 1 - 6 = -4 ✓
2Intermédiaire

Factoriser une expression

Énoncé

Factoriser les expressions suivantes :
1. A=6x2+9xA = 6x^2 + 9x
2. B=(2x+1)(x−3)+(2x+1)(x+4)B = (2x+1)(x-3) + (2x+1)(x+4)

Correction détaillée

01

Factorisation de $A$ — facteur commun

On repère le facteur commun : PGCD(6,9)=3\text{PGCD}(6, 9) = 3 et xx est commun.
A=3x(2x+3)A = 3x(2x + 3)
Vérification : 3x×2x+3x×3=6x2+9x3x \times 2x + 3x \times 3 = 6x^2 + 9x ✓
02

Factorisation de $B$ — facteur commun $(2x+1)$

On remarque que (2x+1)(2x+1) apparaît dans les deux termes :
B=(2x+1)[(x−3)+(x+4)]=(2x+1)(2x+1)=(2x+1)2B = (2x+1)\bigl[(x-3) + (x+4)\bigr] = (2x+1)(2x+1) = (2x+1)^2
03

Vérification de $B$

Pour x=0x = 0 : B=(1)(−3)+(1)(4)=−3+4=1B = (1)(-3) + (1)(4) = -3 + 4 = 1 et (2×0+1)2=1(2 \times 0 + 1)^2 = 1 ✓
3Intermédiaire

Identités remarquables

Énoncé

Développer en utilisant les identités remarquables :
1. A=(3x+2)2A = (3x + 2)^2
2. B=(4x−1)2B = (4x - 1)^2
3. C=(5x+3)(5x−3)C = (5x + 3)(5x - 3)

Correction détaillée

01

Rappel des identités remarquables

(a+b)2=a2+2ab+b2\mathbf{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}
(a−b)2=a2−2ab+b2\mathbf{(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}
(a+b)(a−b)=a2−b2\mathbf{(a + b)(a - b) = a^2 - b^2}
02

Développement de $A$ et $B$

Pour A=(3x+2)2A = (3x + 2)^2, on pose a=3xa = 3x et b=2b = 2 :
A=(3x)2+2×3x×2+22=9x2+12x+4A = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4
Pour B=(4x−1)2B = (4x - 1)^2, on pose a=4xa = 4x et b=1b = 1 :
B=(4x)2−2×4x×1+12=16x2−8x+1B = (4x)^2 - 2 \times 4x \times 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1
03

Développement de $C$ — différence de carrés

Pour C=(5x+3)(5x−3)C = (5x + 3)(5x - 3), on reconnaît (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) avec a=5xa = 5x et b=3b = 3 :
C=(5x)2−32=25x2−9C = (5x)^2 - 3^2 = 25x^2 - 9
Vérification pour x=1x = 1 : (5+3)(5−3)=8×2=16(5+3)(5-3) = 8 \times 2 = 16 et 25−9=1625 - 9 = 16 ✓
4Difficile

Substitution et calcul algébrique

Énoncé

On donne f(x)=2x2−3x+1f(x) = 2x^2 - 3x + 1.
1. Calculer f(0)f(0), f(1)f(1) et f(−2)f(-2).
2. Résoudre f(x)=0f(x) = 0 en remarquant que f(1)=0f(1) = 0 et en factorisant f(x)=(x−1)(2x−1)f(x) = (x - 1)(2x - 1).

Correction détaillée

01

Calcul des valeurs de $f$

f(0)=2×0−3×0+1=1f(0) = 2 \times 0 - 3 \times 0 + 1 = 1
f(1)=2×1−3×1+1=2−3+1=0f(1) = 2 \times 1 - 3 \times 1 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0
f(−2)=2×(−2)2−3×(−2)+1=8+6+1=15f(-2) = 2 \times (-2)^2 - 3 \times (-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15
02

Vérification de la factorisation

On développe (x−1)(2x−1)(x - 1)(2x - 1) pour vérifier :
=2x2−x−2x+1=2x2−3x+1✓= 2x^2 - x - 2x + 1 = 2x^2 - 3x + 1 \checkmark
La factorisation est correcte.
03

Résolution de $f(x) = 0$

(x−1)(2x−1)=0(x - 1)(2x - 1) = 0 si et seulement si :
x−1=0  ⟹  x=1x - 1 = 0 \implies x = 1
ou
2x−1=0  ⟹  x=122x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}
Les solutions sont x=1x = 1 et x=12x = \dfrac{1}{2}.