Chapitre 01 · Quatrième

Calcul Littéral

Développement, réduction et expressions algébriques

Réviser efficacement

Travailler Calcul Littéral en Quatrième

Ce chapitre de calcul littéral en 4ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours complet Voir le programme du niveau Méthodologie de révision

Prérequis

Reprendre les bases de 4ème liées à calcul littéral.
Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

Maîtriser les méthodes essentielles de calcul littéral.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Facile

Développer et réduire

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Énoncé

Développer et réduire les expressions suivantes :
1.

A = 3(2x - 5) + 4(x + 1)

B = (x + 3)(x - 2)

Correction détaillée

Développement de $A$

A = 3 \times 2x + 3 \times (-5) + 4 \times x + 4 \times 1

A = 6x - 15 + 4x + 4 = \mathbf{10x - 11}

Développement de $B$ — double distributivité

B = x \times x + x \times (-2) + 3 \times x + 3 \times (-2)

B = x^2 - 2x + 3x - 6 = \mathbf{x^2 + x - 6}

Vérification rapide

On peut vérifier en substituant

x = 1

:
-

B = (1+3)(1-2) = 4 \times (-1) = -4

x^2 + x - 6 = 1 + 1 - 6 = -4

✓

2Intermédiaire

Factoriser une expression

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Énoncé

Factoriser les expressions suivantes :
1.

A = 6x^2 + 9x

B = (2x+1)(x-3) + (2x+1)(x+4)

Correction détaillée

Factorisation de $A$ — facteur commun

On repère le facteur commun :

\text{PGCD}(6, 9) = 3

x

est commun.

A = 3x(2x + 3)

Vérification :

3x \times 2x + 3x \times 3 = 6x^2 + 9x

✓

Factorisation de $B$ — facteur commun $(2x+1)$

On remarque que

(2x+1)

apparaît dans les deux termes :

B = (2x+1)\bigl[(x-3) + (x+4)\bigr] = (2x+1)(2x+1) = (2x+1)^2

Vérification de $B$

Pour

x = 0

B = (1)(-3) + (1)(4) = -3 + 4 = 1

(2 \times 0 + 1)^2 = 1

✓

3Intermédiaire

Identités remarquables

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Énoncé

Développer en utilisant les identités remarquables :
1.

A = (3x + 2)^2

B = (4x - 1)^2

C = (5x + 3)(5x - 3)

Correction détaillée

Rappel des identités remarquables

\mathbf{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}

\mathbf{(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}

\mathbf{(a + b)(a - b) = a^2 - b^2}

Développement de $A$ et $B$

Pour

A = (3x + 2)^2

, on pose

a = 3x

b = 2

A = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4

Pour

B = (4x - 1)^2

, on pose

a = 4x

b = 1

B = (4x)^2 - 2 \times 4x \times 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1

Développement de $C$ — différence de carrés

Pour

C = (5x + 3)(5x - 3)

, on reconnaît

(a+b)(a-b)

avec

a = 5x

b = 3

C = (5x)^2 - 3^2 = 25x^2 - 9

Vérification pour

x = 1

(5+3)(5-3) = 8 \times 2 = 16

25 - 9 = 16

✓

4Difficile

Substitution et calcul algébrique

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Énoncé

On donne

f(x) = 2x^2 - 3x + 1

.
1. Calculer

f(0)

f(1)

f(-2)

.
2. Résoudre

f(x) = 0

en remarquant que

f(1) = 0

et en factorisant

f(x) = (x - 1)(2x - 1)

Correction détaillée

Calcul des valeurs de $f$

f(0) = 2 \times 0 - 3 \times 0 + 1 = 1

f(1) = 2 \times 1 - 3 \times 1 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0

f(-2) = 2 \times (-2)^2 - 3 \times (-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15

Vérification de la factorisation

On développe

(x - 1)(2x - 1)

pour vérifier :

= 2x^2 - x - 2x + 1 = 2x^2 - 3x + 1 \checkmark

La factorisation est correcte.

Résolution de $f(x) = 0$

(x - 1)(2x - 1) = 0

si et seulement si :

x - 1 = 0 \implies x = 1

2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}

Les solutions sont $x = 1$ et $x = \dfrac{1}{2}$ .

5Facile

Réduire des expressions littérales

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Énoncé

Réduire les expressions suivantes :
1.

A = 7x + 3x - 5 + 9

B = 4a - 2 + 6a + 7

C = 9y - 4y + 12 - 15

Correction détaillée

Regrouper les termes de même nature

On additionne séparément les termes en lettres et les nombres :
- pour

A

, on regroupe

7x

3x

, puis

-5

9

;
- pour

B

, on regroupe

4a

6a

, puis

-2

7

;
- pour

C

, on regroupe

9y

-4y

, puis

12

-15

Calculs

A = 10x + 4

B = 10a + 5

C = 5y - 3

Résultats

Les expressions réduites sont :

\boxed{A = 10x + 4}\qquad \boxed{B = 10a + 5}\qquad \boxed{C = 5y - 3}

6Facile

Développer avec distributivité simple

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Énoncé

Développer les expressions suivantes :
1.

A = 5(x + 6)

B = -3(2x - 7)

C = 4(3a - 2)

Correction détaillée

Rappel de la distributivité

On multiplie le nombre placé devant la parenthèse par chacun des termes à l'intérieur :

k(a+b)=ka+kb

Développements

A = 5x + 30

B = -6x + 21

C = 12a - 8

Attention au signe négatif

Dans

B

, le signe

-

se distribue aussi :

-3 \times (-7) = +21

Les résultats sont donc corrects.

7Intermédiaire

Développer avec double distributivité

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Énoncé

Développer et réduire :
1.

(x + 4)(x + 5)

(2x - 3)(x + 1)

Correction détaillée

Premier produit

(x + 4)(x + 5)=x^2+5x+4x+20=x^2+9x+20

Second produit

(2x - 3)(x + 1)=2x^2+2x-3x-3=2x^2-x-3

Méthode

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. On termine toujours en réduisant les termes semblables.

8Intermédiaire

Factoriser par facteur commun

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Énoncé

Factoriser :
1.

A = 8x + 12

B = 15y^2 - 10y

C = 6(2x-1) + 9(2x-1)

Correction détaillée

Recherche du facteur commun

On cherche ce qui apparaît dans chaque terme :
- pour

A

, le facteur commun est

4

;
- pour

B

, le facteur commun est

5y

;
- pour

C

, le facteur commun est

(2x-1)

Factorisations

A = 4(2x+3)

B = 5y(3y-2)

C = (2x-1)(6+9)=15(2x-1)

Vérification

En développant à nouveau, on retrouve bien les expressions de départ. Une bonne factorisation doit toujours pouvoir se vérifier ainsi.

9Intermédiaire

Carrés et produits remarquables

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Énoncé

Développer sans tout détailler grâce aux identités remarquables :
1.

(x+7)^2

(3x-4)^2

(2a+5)(2a-5)

Correction détaillée

Formules utiles

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Applications

(x+7)^2=x^2+14x+49

(3x-4)^2=9x^2-24x+16

(2a+5)(2a-5)=4a^2-25

Intérêt

Ces formules font gagner du temps et évitent des erreurs de double distributivité.

10Facile

Substituer dans une expression

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Énoncé

On donne

E(x)=3x^2-2x+5

.
1. Calculer

E(2)

.
2. Calculer

E(-1)

.
3. Calculer

E(0)

Correction détaillée

Calcul de $E(2)$

E(2)=3\times 2^2-2\times 2+5=3\times 4-4+5=13

Calcul de $E(-1)$

E(-1)=3\times (-1)^2-2\times (-1)+5=3+2+5=10

Calcul de $E(0)$

E(0)=3\times 0^2-2\times 0+5=5

Donc :

\boxed{E(2)=13}

\boxed{E(-1)=10}

\boxed{E(0)=5}

11Intermédiaire

Tester une égalité littérale

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Énoncé

On considère

A=2(x+3)+x

B=3x+6

.
1. Développer et réduire

A

.
2. Comparer

A

B

.
3. Vérifier pour

x=4

Correction détaillée

Réduction de $A$

A=2x+6+x=3x+6

Comparaison avec $B$

On a directement :

A=3x+6=B

Les deux expressions sont donc égales pour toute valeur de

x

Vérification numérique

Pour

x=4

A=2(4+3)+4=14+4=18

B=3\times 4+6=18

L'égalité est confirmée.

12Intermédiaire

Programme de calcul et expression littérale

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Énoncé

On choisit un nombre

x

. On lui ajoute

4

, puis on multiplie le résultat par

3

, puis on retire

5

.
1. Écrire l'expression obtenue.
2. Réduire cette expression.
3. Calculer le résultat pour

x=6

Correction détaillée

Traduction du programme

Ajouter

4

donne

x+4

, multiplier par

3

donne

3(x+4)

, puis retirer

5

donne :

3(x+4)-5

Réduction

3(x+4)-5=3x+12-5=3x+7

Application à $x=6$

3\times 6+7=18+7=25

Le programme donne donc

\boxed{3x+7}

et vaut

\boxed{25}

pour

x=6

13Difficile

Factoriser une différence de carrés

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Énoncé

Factoriser les expressions suivantes :
1.

A=x^2-16

B=9a^2-25

C=4y^2-1

Correction détaillée

Reconnaître une différence de carrés

On utilise la formule :

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Applications

A=x^2-4^2=(x-4)(x+4)

B=(3a)^2-5^2=(3a-5)(3a+5)

C=(2y)^2-1^2=(2y-1)(2y+1)

Contrôle

Si on redéveloppe chaque produit, on retrouve bien l'expression initiale. C'est le bon réflexe pour vérifier la factorisation.

14Difficile

Résoudre une équation produit

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Énoncé

Résoudre les équations suivantes :
1.

(x-3)(x+2)=0

(2y+5)(y-4)=0

Correction détaillée

Propriété utilisée

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

Résolution de la première équation

(x-3)(x+2)=0

Donc

x-3=0

x+2=0

.
Ainsi

x=3

x=-2

Résolution de la seconde équation

(2y+5)(y-4)=0

Donc

2y+5=0

y-4=0

.
Ainsi

y=-\dfrac{5}{2}

y=4

15Difficile

Problème de périmètre littéral

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Énoncé

Un rectangle a pour longueur

2x+3

cm et pour largeur

x-1

cm.
1. Exprimer son périmètre

P

en fonction de

x

.
2. Réduire l'expression obtenue.
3. Calculer

P

pour

x=5

Correction détaillée

Formule du périmètre

Pour un rectangle,

P=2(L+\ell)

Ici,

L=2x+3

\ell=x-1

Expression littérale

P=2\bigl((2x+3)+(x-1)\bigr)=2(3x+2)=6x+4

Calcul pour $x=5$

P=6\times 5+4=34

Le périmètre du rectangle vaut donc

\boxed{34\text{ cm}}

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 02

Travailler Calcul Littéral en Quatrième

Développer et réduire

Développement de $A$

Développement de $B$ — double distributivité

Vérification rapide

Factoriser une expression

Factorisation de $A$ — facteur commun

Factorisation de $B$ — facteur commun $(2x+1)$

Vérification de $B$

Identités remarquables

Rappel des identités remarquables

Développement de $A$ et $B$

Développement de $C$ — différence de carrés

Substitution et calcul algébrique

Calcul des valeurs de $f$

Vérification de la factorisation

Résolution de $f(x) = 0$

Réduire des expressions littérales

Regrouper les termes de même nature

Calculs

Résultats

Développer avec distributivité simple

Rappel de la distributivité

Développements

Attention au signe négatif

Développer avec double distributivité

Premier produit

Second produit

Méthode

Factoriser par facteur commun

Recherche du facteur commun

Factorisations

Vérification

Carrés et produits remarquables

Formules utiles

Applications

Intérêt

Substituer dans une expression

Calcul de $E(2)$

Calcul de $E(-1)$

Calcul de $E(0)$

Tester une égalité littérale

Réduction de $A$

Comparaison avec $B$

Vérification numérique

Programme de calcul et expression littérale

Traduction du programme

Réduction

Application à $x=6$

Factoriser une différence de carrés

Reconnaître une différence de carrés

Applications

Contrôle

Résoudre une équation produit

Propriété utilisée

Résolution de la première équation

Résolution de la seconde équation

Problème de périmètre littéral

Formule du périmètre

Expression littérale

Calcul pour $x=5$

Garder le cap sur ce chapitre

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Chapitres liés à revoir ensuite

Équations du Premier Degré

Puissances et Notation Scientifique

Théorème de Pythagore