aⁿ

Chapitre 03 · Quatrième

Cours

Puissances

Exposants entiers, propriétés et notation scientifique

Les puissances permettent d'écrire de façon compacte des multiplications répétées. En 4ème, on étend la notion aux exposants négatifs, on étudie les règles de calcul (produit, quotient, puissance d'une puissance) et on aborde la notation scientifique, indispensable pour manipuler les très grands ou très petits nombres des sciences.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Maîtriser les méthodes essentielles de puissances.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Définitions et exposants entiers

Pour tout nombre

a

et tout entier

n \geq 2

a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}

.

Conventions particulières :
-

a^1 = a

a^0 = 1

(pour

a \neq 0

)
-

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

(pour

a \neq 0

)

Ainsi

10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001

Définition

Puissance

La puissance

a^n

(lire : «

a

exposant

n

») est le produit de

n

facteurs tous égaux à

a

. Le nombre

a

s'appelle la base et

n

s'appelle l'exposant.

Définition

Exposant négatif

Pour

a \neq 0

n

entier positif :

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

. Exemple :

2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}

Définition

Exposant zéro

Pour tout

a \neq 0

a^0 = 1

. En particulier

10^0 = 1

(-5)^0 = 1

\pi^0 = 1

Exemple 1— Calcul de puissances

Calculer

2^5

(-3)^4

5^{-2}

Solution

2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \mathbf{32}

(-3)^4 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times 9 = \mathbf{81}

5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25} = \mathbf{0{,}04}

⚠ Attention

Ne pas confondre

(-2)^4 = 16

-2^4 = -16

. Dans le second cas, le signe négatif ne fait pas partie de la base.

Une puissance paire d'un nombre négatif est positive : $(-a)^{2k} > 0$ .
Une puissance impaire d'un nombre négatif est négative : $(-a)^{2k+1} < 0$ .
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (jamais un nombre négatif !)

2Règles de calcul

Pour tous réels

a \neq 0

et tous entiers relatifs

m

n

a^m \times a^n = a^{m+n} \quad \text{(meme base : on additionne les exposants)}

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad \text{(meme base : on soustrait les exposants)}

(a^m)^n = a^{m \times n} \quad \text{(puissance d'une puissance : on multiplie les exposants)}

(a \times b)^n = a^n \times b^n \quad \text{(puissance d'un produit)}

Exemple 1— Produit de puissances

Simplifier

10^3 \times 10^{-5}

Solution

Même base

10

, on additionne les exposants :

10^3 \times 10^{-5} = 10^{3 + (-5)} = \mathbf{10^{-2}}

Exemple 2— Quotient de puissances

Simplifier

\dfrac{2^7}{2^3}

Solution

Même base

2

, on soustrait les exposants :

\frac{2^7}{2^3} = 2^{7-3} = \mathbf{2^4 = 16}

Exemple 3— Puissance d'une puissance

Simplifier

(3^2)^4

Solution

On multiplie les exposants :

(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = \mathbf{3^8}

Les règles s'appliquent uniquement quand les bases sont identiques.
$a^m \times a^n = a^{m+n}$ (addition des exposants).
$(a^m)^n = a^{mn}$ (multiplication des exposants).

3Notation scientifique

La notation scientifique s'écrit

a \times 10^n

où

1 \leq |a| < 10

n

est un entier relatif. Elle permet d'exprimer de façon concise les très grands nombres (distances en astronomie) ou les très petits (taille d'un atome).

Exemples : la distance Terre-Soleil est environ

1{,}5 \times 10^{11}

m ; le rayon d'un atome d'hydrogène est environ

5{,}3 \times 10^{-11}

Définition

Notation scientifique

Un nombre est en notation scientifique s'il s'écrit

a \times 10^n

avec

1 \leq |a| < 10

n

entier relatif. La partie

a

s'appelle la mantisse.

Exemple 1— Écrire en notation scientifique

Écrire

0{,}00347

45\,600

en notation scientifique.

Solution

0{,}00347 = 3{,}47 \times 10^{-3}

(on déplace la virgule de 3 rangs vers la droite)

45\,600 = 4{,}56 \times 10^4

(on déplace la virgule de 4 rangs vers la gauche)

La mantisse est toujours un nombre compris entre $1$ (inclus) et $10$ (exclu).
Si le nombre est < 1, l'exposant est négatif.
Pour les calculs, on utilise les règles sur les puissances de 10.

★ À retenir

1
$a^0 = 1$ , $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ pour $a \neq 0$ .
2
$a^m \times a^n = a^{m+n}$ et $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (même base).
3
$(a^m)^n = a^{mn}$ .
4
Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq |a| < 10$ .

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Exercices — Puissances

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 02

Puissances

Comment utiliser ce cours efficacement

1Définitions et exposants entiers

2Règles de calcul

3Notation scientifique

★ À retenir

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Chapitres liés à revoir ensuite

Équations du Premier Degré

Théorème de Pythagore

Calcul Littéral