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Chapitre 04 · Quatrième

Cours

Théorème de Pythagore

Relation dans le triangle rectangle et réciproque

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Le théorème de Pythagore est l'un des résultats les plus célèbres des mathématiques. Il établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. En 4ème, on maîtrise son utilisation directe (calculer la longueur d'un côté), sa réciproque (vérifier qu'un triangle est rectangle) et sa contraposée.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Choisir la bonne propriété et la rédiger proprement.
  • Passer d’une figure à une démonstration ou à un calcul justifié.

Points de vigilance

  • Utiliser une propriété simplement parce que la figure “semble” la montrer.
  • Oublier de vérifier les conditions d’application.

1Énoncé et utilisation

Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si le triangle ABCABC est rectangle en CC, alors :
AB2=AC2+BC2AB^2 = AC^2 + BC^2

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est le côté le plus long du triangle rectangle.

On peut utiliser ce théorème pour calculer n'importe quel côté du triangle rectangle connaissant les deux autres.

Définition

Hypoténuse

L'hypoténuse d'un triangle rectangle est le côté opposé à l'angle droit. C'est toujours le côté le plus long. Dans le triangle ABCABC rectangle en CC, l'hypoténuse est [AB][AB].

Définition

Triangle rectangle

Un triangle est rectangle s'il possède un angle droit (mesurant exactement 90°90°). Le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse, et les deux autres côtés sont appelés les cathètes.
Exemple 1— Calculer l'hypoténuse
Le triangle ABCABC est rectangle en CC, avec AC=3AC = 3 cm et BC=4BC = 4 cm. Calculer ABAB.

Solution

Le triangle est rectangle en CC, donc ABAB est l'hypoténuse.
AB2=AC2+BC2=32+42=9+16=25AB^2 = AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
AB=25=5 cmAB = \sqrt{25} = \mathbf{5 \text{ cm}}
Exemple 2— Calculer une cathète
Le triangle PQRPQR est rectangle en PP, avec QR=13QR = 13 cm et PR=5PR = 5 cm. Calculer PQPQ.

Solution

QRQR est l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit en PP).
QR2=PQ2+PR2QR^2 = PQ^2 + PR^2
132=PQ2+5213^2 = PQ^2 + 5^2
169=PQ2+25169 = PQ^2 + 25
PQ2=144PQ^2 = 144
PQ=144=12 cmPQ = \sqrt{144} = \mathbf{12 \text{ cm}}
  • Identifier l'angle droit AVANT d'écrire la relation.
  • L'hypoténuse est toujours le plus grand côté, isolée dans le membre gauche : hyp2=c12+c22hyp^2 = c_1^2 + c_2^2.
  • Pour calculer un côté de l’angle droit : c2=hyp2−cautre2c^2 = hyp^2 - c_{\text{autre}}^2.

2Réciproque et contraposée

Réciproque : Si dans un triangle ABCABC, on a AB2=AC2+BC2AB^2 = AC^2 + BC^2, alors le triangle est rectangle en CC.

La réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle en vérifiant la relation de Pythagore. Il faut :
1. Identifier le plus grand côté (candidat à l'hypoténuse).
2. Vérifier si son carré est égal à la somme des carrés des deux autres.

Contraposée : Si AB2≠AC2+BC2AB^2 \neq AC^2 + BC^2, alors le triangle ABCABC n'est pas rectangle en CC.
Exemple 1— Vérifier si un triangle est rectangle
Un triangle a des côtés de longueurs 77 cm, 2424 cm et 2525 cm. Est-il rectangle ?

Solution

Le plus grand côté est 2525 cm. Vérifions si 252=72+24225^2 = 7^2 + 24^2 :
72+242=49+576=625=252✓7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 \checkmark
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle, et l'angle droit est en face du côté de 2525 cm.
  • Réciproque : AB2=AC2+BC2⇒AB^2 = AC^2 + BC^2 \Rightarrow triangle rectangle en CC.
  • Comparer toujours le plus grand côté au carré (c'est lui l'hypoténuse).
  • Présenter clairement la conclusion avec la réciproque.

★ À retenir

  • 1
    Dans un triangle rectangle en CC : AB2=AC2+BC2AB^2 = AC^2 + BC^2 (hypoténuse au carré = somme des carrés des cathètes).
  • 2
    Réciproque : si AB2=AC2+BC2AB^2 = AC^2 + BC^2, le triangle est rectangle en CC.
  • 3
    L'hypoténuse est le plus grand côté, opposé à l'angle droit.

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Exercices — Théorème de Pythagore

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