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Chapitre 05 · Quatrième

Cours

Théorème de Thalès

Proportionnalité des longueurs et droites parallèles

Le théorème de Thalès est un outil fondamental de la géométrie plane. Il établit un lien entre la propriété de parallélisme de droites et la proportionnalité de longueurs dans une configuration de droites sécantes. En 4ème, on apprend à l'utiliser pour calculer des longueurs inconnues et à en utiliser la réciproque pour prouver que des droites sont parallèles.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Comparer, simplifier et transformer des écritures numériques.
Justifier les étapes de calcul sans sauter les conversions importantes.

Points de vigilance

Mélanger addition et multiplication des fractions.
Oublier de simplifier le résultat final.

1Énoncé du théorème de Thalès

Configuration : Soient deux droites

d_1

d_2

sécantes en

S

. Soient

A

B

deux points de

d_1

d_2

respectivement, et

A'

B'

deux autres points de

d_1

d_2

tels que

(AB) \parallel (A'B')

.

Théorème de Thalès : Si

(AB) \parallel (A'B')

, alors :

\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB} = \frac{A'B'}{AB}

Ces trois rapports sont égaux : les longueurs sont proportionnelles.

La configuration classique est un triangle

SAB

coupé par une droite parallèle à

(AB)

A'

B'

Définition

Droites sécantes

Deux droites sécantes sont deux droites qui se coupent en un point, appelé le point de concours ou sommet. Dans la configuration de Thalès, on note souvent ce point

S

Définition

Configuration de Thalès

La configuration de Thalès comprend un sommet

S

, deux droites passant par

S

, et une droite coupant ces deux droites parallèlement à une troisième droite passant également par ces deux droites.

Exemple 1— Calculer une longueur par Thalès

Dans la configuration suivante,

(DE) \parallel (BC)

. On sait que

SA = 4

cm,

AB = 6

cm,

SD = 3

cm. Calculer

DE

sachant que

BC = 9

cm.

Solution

(DE) \parallel (BC)

, donc d'après le théorème de Thalès :

\frac{SD}{SB} = \frac{SE}{SC} = \frac{DE}{BC}

SB = SA + AB = 4 + 6 = 10

cm. Donc :

\frac{DE}{BC} = \frac{SD}{SB} = \frac{3}{10}

DE = BC \times \frac{3}{10} = 9 \times \frac{3}{10} = \mathbf{2{,}7 \text{ cm}}

Bien identifier le sommet $S$ et les droites sécantes.
Les rapports $\dfrac{SA'}{SA}$ , $\dfrac{SB'}{SB}$ et $\dfrac{A'B'}{AB}$ sont tous égaux.
Les longueurs des segments dépendent du sens de parcours (segments orientés ou non).

2Réciproque du théorème de Thalès

Réciproque : Si on est dans une configuration de deux droites sécantes en

S

avec des points

A

B

A'

B'

tels que

A'

est sur

[SA)

B'

est sur

[SB)

, et si :

\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB}

alors les droites

(A'B')

(AB)

sont parallèles.

La réciproque permet de prouver que des droites sont parallèles à partir d'une égalité de rapports de longueurs.

Exemple 1— Prouver le parallélisme

On a

SA = 6

SA' = 4

SB = 9

SB' = 6

. Montrer que

(A'B') \parallel (AB)

Solution

Calculons les deux rapports :

\frac{SA'}{SA} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \qquad \frac{SB'}{SB} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

Les rapports sont égaux. D'après la réciproque du théorème de Thalès,

(A'B') \parallel (AB)

Réciproque : égalité de deux rapports $\Rightarrow$ droites parallèles.
Vérifier que les points sont bien dans le bon sens (configuration correcte).

★ À retenir

1
Théorème : $(AB) \parallel (A'B') \Rightarrow \dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{SB'}{SB} = \dfrac{A'B'}{AB}$ .
2
Réciproque : $\dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{SB'}{SB} \Rightarrow (AB) \parallel (A'B')$ .
3
Méthode : identifier $S$ , écrire le rapport connu, mettre l'inconnue dans un rapport et résoudre.

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Exercices — Théorème de Thalès

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