MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 05 · Quatrième

Théorème de Thalès

Droites parallèles, rapports de longueurs et agrandissements

1Intermédiaire

Calculer une longueur par Thalès

Énoncé

Dans un triangle OABOAB, les points MM et NN sont sur [OA][OA] et [OB][OB] respectivement, avec (MN)∥(AB)(MN) \parallel (AB).
On sait que OM=4OM = 4 cm, OA=10OA = 10 cm et AB=15AB = 15 cm. Calculer MNMN.

Correction détaillée

01

Application du théorème de Thalès

Puisque (MN)∥(AB)(MN) \parallel (AB), d'après le théorème de Thalès :
OMOA=ONOB=MNAB\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{MN}{AB}
02

Calcul du rapport

OMOA=410=25\frac{OM}{OA} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}
03

Calcul de $MN$

MNAB=25  ⟹  MN=25×15=6 cm\frac{MN}{AB} = \frac{2}{5} \implies MN = \frac{2}{5} \times 15 = 6 \text{ cm}
2Difficile

Réciproque de Thalès — droites parallèles

Énoncé

Dans un triangle OABOAB, M∈[OA]M \in [OA] et N∈[OB]N \in [OB] avec OM=3OM = 3, MA=5MA = 5, ON=4,5ON = 4{,}5 et NB=7,5NB = 7{,}5.
Démontrer que (MN)∥(AB)(MN) \parallel (AB).

Correction détaillée

01

Calcul des rapports

OMOA=33+5=38\frac{OM}{OA} = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}
ONOB=4,54,5+7,5=4,512=38\frac{ON}{OB} = \frac{4{,}5}{4{,}5+7{,}5} = \frac{4{,}5}{12} = \frac{3}{8}
02

Application de la réciproque

Les rapports sont égaux : OMOA=ONOB=38\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{3}{8}.
Les points MM et NN sont respectivement sur [OA][OA] et [OB][OB].
03

Conclusion

D'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN)∥(AB)(MN) \parallel (AB).
3Intermédiaire

Thalès et agrandissement

Énoncé

Sur une photo, la hauteur d'un immeuble mesure 4,54{,}5 cm et celle d'une voiture mesure 0,60{,}6 cm. En réalité, la voiture fait 1,51{,}5 m de haut.
1. Quel est le rapport d'agrandissement de la photo ?
2. Quelle est la hauteur réelle de l'immeuble ?

Correction détaillée

01

Calcul du rapport d'agrandissement

La hauteur réelle de la voiture est 1,51{,}5 m =150= 150 cm.
La hauteur sur la photo est 0,60{,}6 cm.
k=mesure reˊellemesure photo=1500,6=250k = \frac{\text{mesure réelle}}{\text{mesure photo}} = \frac{150}{0{,}6} = 250
Le rapport d'agrandissement est 250250.
02

Application du rapport à l'immeuble

La hauteur de l'immeuble sur la photo est 4,54{,}5 cm.
D'après Thalès (droites parallèles), le même rapport s'applique :
Hauteur reˊelle=4,5×250=1 125 cm\text{Hauteur réelle} = 4{,}5 \times 250 = 1\ 125 \text{ cm}
03

Conversion et conclusion

1 125 cm=11,25 m1\ 125 \text{ cm} = 11{,}25 \text{ m}
L'immeuble fait 11,2511{,}25 m de hauteur réelle.
Vérification : 4,50,6=7,5\dfrac{4{,}5}{0{,}6} = 7{,}5 et 7,5×1,5=11,257{,}5 \times 1{,}5 = 11{,}25 m ✓
4Difficile

Thalès dans une configuration de triangles emboîtés

Énoncé

Dans le triangle ABCABC, DD est un point de [AB][AB] et EE est un point de [AC][AC] tels que (DE)∥(BC)(DE) \parallel (BC).
On sait que AD=6AD = 6 cm, DB=4DB = 4 cm et AE=9AE = 9 cm.
1. Calculer ECEC.
2. Calculer DEDE sachant que BC=10BC = 10 cm.

Correction détaillée

01

Application du théorème de Thalès dans le triangle $ABC$

Puisque (DE)∥(BC)(DE) \parallel (BC) et D∈[AB]D \in [AB], E∈[AC]E \in [AC] :
ADAB=AEAC=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}
AB=AD+DB=6+4=10AB = AD + DB = 6 + 4 = 10 cm.
02

Calcul de $EC$

ADAB=AEAC  ⟹  610=9AC\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \implies \frac{6}{10} = \frac{9}{AC}
AC=9×106=15 cmAC = \frac{9 \times 10}{6} = 15 \text{ cm}
EC=AC−AE=15−9=6 cmEC = AC - AE = 15 - 9 = \mathbf{6 \text{ cm}}
03

Calcul de $DE$

DEBC=ADAB=610=35\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
DE=35×10=6 cmDE = \frac{3}{5} \times 10 = \mathbf{6 \text{ cm}}
Remarque : DEDE est ici égal à ECEC, ce n'est pas toujours le cas.