MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 05 · Quatrième

Théorème de Thalès

Droites parallèles, rapports de longueurs et agrandissements

📖 Voir le cours

Réviser efficacement

Travailler Théorème de Thalès en Quatrième

Ce chapitre de théorème de thalès en 4ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours completVoir le programme du niveauMéthodologie de révision

Prérequis

  • Reprendre les bases de 4ème liées à théorème de thalès.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de théorème de thalès.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Intermédiaire

Calculer une longueur par Thalès

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Dans un triangle OABOAB, les points MM et NN sont sur [OA][OA] et [OB][OB] respectivement, avec (MN)∥(AB)(MN) \parallel (AB).
On sait que OM=4OM = 4 cm, OA=10OA = 10 cm et AB=15AB = 15 cm. Calculer MNMN.

Correction détaillée

01

Application du théorème de Thalès

Puisque (MN)∥(AB)(MN) \parallel (AB), d'après le théorème de Thalès :
OMOA=ONOB=MNAB\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{MN}{AB}
02

Calcul du rapport

OMOA=410=25\frac{OM}{OA} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}
03

Calcul de $MN$

MNAB=25  ⟹  MN=25×15=6 cm\frac{MN}{AB} = \frac{2}{5} \implies MN = \frac{2}{5} \times 15 = 6 \text{ cm}
2Difficile

Réciproque de Thalès — droites parallèles

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Dans un triangle OABOAB, M∈[OA]M \in [OA] et N∈[OB]N \in [OB] avec OM=3OM = 3, MA=5MA = 5, ON=4,5ON = 4{,}5 et NB=7,5NB = 7{,}5.
Démontrer que (MN)∥(AB)(MN) \parallel (AB).

Correction détaillée

01

Calcul des rapports

OMOA=33+5=38\frac{OM}{OA} = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}
ONOB=4,54,5+7,5=4,512=38\frac{ON}{OB} = \frac{4{,}5}{4{,}5+7{,}5} = \frac{4{,}5}{12} = \frac{3}{8}
02

Application de la réciproque

Les rapports sont égaux : OMOA=ONOB=38\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{3}{8}.
Les points MM et NN sont respectivement sur [OA][OA] et [OB][OB].
03

Conclusion

D'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN)∥(AB)(MN) \parallel (AB).
3Intermédiaire

Thalès et agrandissement

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Sur une photo, la hauteur d'un immeuble mesure 4,54{,}5 cm et celle d'une voiture mesure 0,60{,}6 cm. En réalité, la voiture fait 1,51{,}5 m de haut.
1. Quel est le rapport d'agrandissement de la photo ?
2. Quelle est la hauteur réelle de l'immeuble ?

Correction détaillée

01

Calcul du rapport d'agrandissement

La hauteur réelle de la voiture est 1,51{,}5 m =150= 150 cm.
La hauteur sur la photo est 0,60{,}6 cm.
k=mesure reˊellemesure photo=1500,6=250k = \frac{\text{mesure réelle}}{\text{mesure photo}} = \frac{150}{0{,}6} = 250
Le rapport d'agrandissement est 250250.
02

Application du rapport à l'immeuble

La hauteur de l'immeuble sur la photo est 4,54{,}5 cm.
D'après Thalès (droites parallèles), le même rapport s'applique :
Hauteur reˊelle=4,5×250=1 125 cm\text{Hauteur réelle} = 4{,}5 \times 250 = 1\ 125 \text{ cm}
03

Conversion et conclusion

1 125 cm=11,25 m1\ 125 \text{ cm} = 11{,}25 \text{ m}
L'immeuble fait 11,2511{,}25 m de hauteur réelle.
Vérification : 4,50,6=7,5\dfrac{4{,}5}{0{,}6} = 7{,}5 et 7,5×1,5=11,257{,}5 \times 1{,}5 = 11{,}25 m ✓
4Difficile

Thalès dans une configuration de triangles emboîtés

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Dans le triangle ABCABC, DD est un point de [AB][AB] et EE est un point de [AC][AC] tels que (DE)∥(BC)(DE) \parallel (BC).
On sait que AD=6AD = 6 cm, DB=4DB = 4 cm et AE=9AE = 9 cm.
1. Calculer ECEC.
2. Calculer DEDE sachant que BC=10BC = 10 cm.

Correction détaillée

01

Application du théorème de Thalès dans le triangle $ABC$

Puisque (DE)∥(BC)(DE) \parallel (BC) et D∈[AB]D \in [AB], E∈[AC]E \in [AC] :
ADAB=AEAC=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}
AB=AD+DB=6+4=10AB = AD + DB = 6 + 4 = 10 cm.
02

Calcul de $EC$

ADAB=AEAC  ⟹  610=9AC\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \implies \frac{6}{10} = \frac{9}{AC}
AC=9×106=15 cmAC = \frac{9 \times 10}{6} = 15 \text{ cm}
EC=AC−AE=15−9=6 cmEC = AC - AE = 15 - 9 = \mathbf{6 \text{ cm}}
03

Calcul de $DE$

DEBC=ADAB=610=35\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
DE=35×10=6 cmDE = \frac{3}{5} \times 10 = \mathbf{6 \text{ cm}}
Remarque : DEDE est ici égal à ECEC, ce n'est pas toujours le cas.
5Facile

Calculer une autre longueur

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Dans le triangle SABSAB, on a M∈[SA]M \in [SA], N∈[SB]N \in [SB] et (MN)∥(AB)(MN) \parallel (AB).
On sait que SM=3SM=3 cm, SA=9SA=9 cm et SB=12SB=12 cm.
Calculer SNSN.

Correction détaillée

01

Écriture de Thalès

SMSA=SNSB\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}
02

Remplacement par les valeurs

39=SN12=13\frac{3}{9}=\frac{SN}{12}=\frac{1}{3}
Donc
SN=12×13=4SN=12 \times \frac{1}{3}=4
03

Conclusion

SNSN mesure 4 cm\boxed{4\text{ cm}}.
6Intermédiaire

Trouver un rapport de réduction

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Dans une figure de Thalès, on sait que OA=15OA=15 cm et OM=9OM=9 cm avec (MN)∥(AB)(MN) \parallel (AB).
Calculer le coefficient de réduction du petit triangle par rapport au grand.

Correction détaillée

01

Définition du coefficient

Le coefficient de réduction est le rapport des longueurs correspondantes :
k=OMOAk=\frac{OM}{OA}
02

Calcul

k=915=35=0,6k=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}=0{,}6
03

Interprétation

Le petit triangle est une réduction du grand triangle avec un coefficient 0,6\boxed{0{,}6}.
7Intermédiaire

Réciproque de Thalès simple

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Dans le triangle ABCABC, on a M∈[AB]M \in [AB] et N∈[AC]N \in [AC].
AM=4AM=4 cm, AB=10AB=10 cm, AN=6AN=6 cm et AC=15AC=15 cm.
Peut-on affirmer que (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC) ?

Correction détaillée

01

Calcul des rapports

AMAB=410=25\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}
ANAC=615=25\frac{AN}{AC}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}
02

Application de la réciproque

Les points sont bien alignés sur les bons côtés du triangle et les rapports sont égaux.
03

Conclusion

D'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut affirmer que (MN)∥(BC)\boxed{(MN) \parallel (BC)}.
8Intermédiaire

Agrandissement d'un triangle

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Un triangle de base 66 cm est agrandi avec un coefficient 1,51{,}5.
Quelle sera la longueur de la base du triangle agrandi ?

Correction détaillée

01

Principe

Dans un agrandissement, toutes les longueurs sont multipliées par le même coefficient.
02

Calcul

6×1,5=96 \times 1{,}5 = 9
03

Conclusion

La nouvelle base mesure 9 cm\boxed{9\text{ cm}}.
9Intermédiaire

Réduction d'une maquette

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Une maquette est réalisée à l'échelle 150\dfrac{1}{50}.
Un mur mesure 44 m en réalité.
Quelle sera sa longueur sur la maquette ?

Correction détaillée

01

Mettre dans la même unité

4 m=400 cm4\text{ m}=400\text{ cm}
02

Application de l'échelle

longueur maquette=400×150=8 cm\text{longueur maquette}=400 \times \frac{1}{50}=8\text{ cm}
03

Réponse

Le mur mesurera 8 cm\boxed{8\text{ cm}} sur la maquette.
10Difficile

Thalès dans un triangle

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Dans le triangle ABCABC, on a D∈[AB]D \in [AB], E∈[AC]E \in [AC] et (DE)∥(BC)(DE) \parallel (BC).
On sait que AD=5AD=5 cm, AB=8AB=8 cm et BC=12BC=12 cm.
Calculer DEDE.

Correction détaillée

01

Rapport de Thalès

ADAB=DEBC\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}
02

Calcul

58=DE12\frac{5}{8}=\frac{DE}{12}
DE=12×58=7,5 cmDE=12 \times \frac{5}{8}=7{,}5\text{ cm}
03

Conclusion

DEDE mesure 7,5 cm\boxed{7{,}5\text{ cm}}.
11Intermédiaire

Compléter une proportion

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On sait que AMAB=37\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{7} et que AB=14AB=14 cm.
Calculer AMAM, puis la longueur MBMB.

Correction détaillée

01

Calcul de $AM$

AM=14×37=6 cmAM=14 \times \frac{3}{7}=6\text{ cm}
02

Calcul de $MB$

MB=AB−AM=14−6=8 cmMB=AB-AM=14-6=8\text{ cm}
03

Résultat

On obtient AM=6 cm\boxed{AM=6\text{ cm}} et MB=8 cm\boxed{MB=8\text{ cm}}.
12Difficile

Longueur inaccessible

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Pour mesurer la hauteur d'un arbre, on plante un bâton de 1,21{,}2 m qui projette une ombre de 0,80{,}8 m. Au même moment, l'arbre projette une ombre de 66 m.
Calculer la hauteur de l'arbre.

Correction détaillée

01

Triangles semblables

Les rayons du Soleil étant parallèles, les deux triangles sont en situation de Thalès.
02

Proportion

1,20,8=h6\frac{1{,}2}{0{,}8}=\frac{h}{6}
h=6×1,20,8=6×1,5=9h=6 \times \frac{1{,}2}{0{,}8}=6 \times 1{,}5=9
03

Conclusion

L'arbre mesure 9 m\boxed{9\text{ m}}.
13Difficile

Échelle d'un plan

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Sur un plan, une route de 7,57{,}5 cm représente une distance réelle de 33 km.
1. Quelle longueur sur le plan représentera 55 km ?
2. Quel est le coefficient de réduction en cm par km ?

Correction détaillée

01

Coefficient

7,53=2,5 cm par km\frac{7{,}5}{3}=2{,}5\text{ cm par km}
02

Application à 5 km

5×2,5=12,5 cm5 \times 2{,}5=12{,}5\text{ cm}
03

Conclusion

La route de 55 km mesurera 12,5 cm\boxed{12{,}5\text{ cm}} sur le plan et le coefficient vaut 2,5 cm/km\boxed{2{,}5\text{ cm/km}}.
14Difficile

Tester un parallélisme

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Dans le triangle ABCABC, on a M∈[AB]M \in [AB] et N∈[AC]N \in [AC].
AM=6AM=6 cm, AB=9AB=9 cm, AN=10AN=10 cm et AC=15AC=15 cm.
Les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont-elles parallèles ?

Correction détaillée

01

Calcul des rapports

AMAB=69=23\frac{AM}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}
ANAC=1015=23\frac{AN}{AC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}
02

Réciproque de Thalès

Les rapports sont égaux et les points sont placés sur les côtés du triangle.
03

Conclusion

On peut conclure que (MN)∥(BC)\boxed{(MN) \parallel (BC)}.
15Difficile

Bilan Thalès

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Dans le triangle RSTRST, on a U∈[RS]U \in [RS], V∈[RT]V \in [RT] et (UV)∥(ST)(UV) \parallel (ST).
RU=4RU=4 cm, RS=10RS=10 cm et RV=5RV=5 cm.
1. Calculer RURS\dfrac{RU}{RS}.
2. Calculer RTRT.
3. Si ST=8ST=8 cm, calculer UVUV.

Correction détaillée

01

Rapport commun

RURS=410=25\frac{RU}{RS}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}
02

Calcul de $RT$

D'après Thalès,
RVRT=25\frac{RV}{RT}=\frac{2}{5}
Donc
5RT=25  ⟹  RT=252=12,5 cm\frac{5}{RT}=\frac{2}{5} \implies RT=\frac{25}{2}=12{,}5\text{ cm}
03

Calcul de $UV$

UVST=25\frac{UV}{ST}=\frac{2}{5}
UV=8×25=3,2 cmUV=8 \times \frac{2}{5}=3{,}2\text{ cm}

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 04

Théorème de Pythagore

Calculer une longueur et vérifier qu'un triangle est rectangle

Chapitre 06

Trigonométrie

Sinus, cosinus, tangente dans le triangle rectangle

Chapitre 03

Puissances et Notation Scientifique

Calculs avec les puissances et écriture scientifique