Chapitre 08 · Quatrième

Volumes et Solides

Calculer le volume des solides usuels

Réviser efficacement

Travailler Volumes et Solides en Quatrième

Ce chapitre de volumes et solides en 4ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours complet Voir le programme du niveau Méthodologie de révision

Prérequis

Reprendre les bases de 4ème liées à volumes et solides.
Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

Maîtriser les méthodes essentielles de volumes et solides.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Facile

Volume d'un prisme et d'un cylindre

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Énoncé

1. Un prisme droit a une base rectangulaire de

5

cm ×

3

cm et une hauteur de

8

cm. Calculer son volume.
2. Un cylindre a un rayon de

4

cm et une hauteur de

10

cm. Calculer son volume exact et approché.

Correction détaillée

Volume du prisme

V_\text{prisme} = \mathcal{A}_\text{base} \times h = (5 \times 3) \times 8 = 15 \times 8 = 120 \text{ cm}^3

Volume du cylindre

V_\text{cylindre} = \pi r^2 \times h = \pi \times 4^2 \times 10 = 160\pi \text{ cm}^3

Valeur approchée

V_\text{cylindre} = 160\pi \approx 502{,}65 \text{ cm}^3

2Intermédiaire

Volume d'une pyramide et d'un cône

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Énoncé

1. Une pyramide à base carrée de côté

6

cm a une hauteur de

9

cm. Calculer son volume.
2. Un cône a un rayon de base de

5

cm et une hauteur de

12

cm. Calculer son volume.

Correction détaillée

Volume de la pyramide

V_\text{pyramide} = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_\text{base} \times h = \frac{1}{3} \times (6 \times 6) \times 9 = \frac{1}{3} \times 36 \times 9 = \frac{324}{3} = 108 \text{ cm}^3

Volume du cône

V_\text{cône} = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12 = \frac{300\pi}{3} = 100\pi \text{ cm}^3

Valeur approchée du cône

V_\text{cône} = 100\pi \approx 314{,}16 \text{ cm}^3

Retenir : Pyramide et cône ont un volume

\dfrac{1}{3}

de celui du prisme/cylindre de même base et hauteur.

3Intermédiaire

Volume d'une boule et comparaisons

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Énoncé

Une boule a un rayon de

6

cm.
1. Calculer le volume exact de cette boule.
2. Comparer ce volume avec celui d'un cube de côté

12

cm.
3. Quel pourcentage du cube la boule occupe-t-elle ?

Correction détaillée

Volume de la boule

La formule du volume d'une boule de rayon

r

est

V = \dfrac{4}{3}\pi r^3

V_\text{boule} = \frac{4}{3} \times \pi \times 6^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 216 = 288\pi \text{ cm}^3 \approx 904{,}78 \text{ cm}^3

Volume du cube

Le cube de côté

12

cm (diamètre de la boule) a pour volume :

V_\text{cube} = 12^3 = 1\ 728 \text{ cm}^3

La boule est bien inscrite dans ce cube :

2r = 12

cm est la longueur du côté.

Pourcentage et comparaison

\frac{V_\text{boule}}{V_\text{cube}} = \frac{288\pi}{1\ 728} = \frac{\pi}{6} \approx \frac{3{,}1416}{6} \approx 52{,}4\%

Conclusion : une boule inscrite dans un cube occupe toujours environ

\dfrac{\pi}{6} \approx 52\%

du volume du cube.

4Difficile

Problème de volumes composés

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Énoncé

Un silo à grain est formé d'un cylindre surmonté d'un cône. Le cylindre a un rayon de

3

m et une hauteur de

8

m. Le cône a le même rayon et une hauteur de

4

m.
1. Calculer le volume total du silo.
2. On souhaite remplir le silo avec du grain. Un sac de grain occupe

0{,}5

^3

. Combien de sacs sont nécessaires ?

Correction détaillée

Volume du cylindre

V_\text{cyl} = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \text{ m}^3

Volume du cône

V_\text{cône} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 4 = 12\pi \text{ m}^3

Volume total :

V_\text{total} = 72\pi + 12\pi = 84\pi \approx 263{,}89 \text{ m}^3

Nombre de sacs nécessaires

\text{Nombre de sacs} = \frac{V_\text{total}}{0{,}5} = \frac{84\pi}{0{,}5} = 168\pi \approx 527{,}8

Comme on ne peut pas avoir un demi-sac, il faut $528$ sacs de grain pour remplir entièrement le silo.

5Facile

Volume d'un pavé droit

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Énoncé

Un pavé droit mesure

9

cm de longueur,

4

cm de largeur et

5

cm de hauteur.
Calculer son volume.

Correction détaillée

Formule

V=L \times l \times h

Calcul

V=9 \times 4 \times 5=180\text{ cm}^3

Conclusion

Le volume du pavé droit est

\boxed{180\text{ cm}^3}

6Facile

Volume d'un cylindre

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Énoncé

Un cylindre a un rayon de

3

cm et une hauteur de

7

cm.
Calculer son volume exact.

Correction détaillée

Formule

V=\pi r^2 h

Application

V=\pi \times 3^2 \times 7=63\pi\text{ cm}^3

Réponse

Le volume exact est

\boxed{63\pi\text{ cm}^3}

7Intermédiaire

Volume d'une pyramide

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Énoncé

Une pyramide a une base de

20\text{ cm}^2

et une hauteur de

9

cm.
Calculer son volume.

Correction détaillée

Formule

V=\frac13 \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h

Calcul

V=\frac13 \times 20 \times 9=60\text{ cm}^3

Conclusion

La pyramide a pour volume

\boxed{60\text{ cm}^3}

8Intermédiaire

Volume d'un cône

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Énoncé

Un cône a un rayon de base de

4

cm et une hauteur de

9

cm.
Calculer son volume exact puis approché.

Correction détaillée

Formule

V=\frac13 \pi r^2 h

Calcul exact

V=\frac13 \pi \times 4^2 \times 9=48\pi\text{ cm}^3

Valeur approchée

48\pi \approx 150{,}8\text{ cm}^3

9Intermédiaire

Comparer cube et pavé

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Énoncé

Un cube a une arête de

6

cm.
1. Calculer son volume.
2. Le comparer à celui d'un pavé droit de dimensions

9

cm,

4

cm et

6

cm.

Correction détaillée

Volume du cube

V_{\text{cube}}=6^3=216\text{ cm}^3

Volume du pavé

V_{\text{pavé}}=9 \times 4 \times 6=216\text{ cm}^3

Conclusion

Les deux solides ont le même volume :

\boxed{216\text{ cm}^3}

10Intermédiaire

Volume d'une boule

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Énoncé

Une boule a un rayon de

3

cm.
Calculer son volume exact puis approché.

Correction détaillée

Formule

V=\frac43 \pi r^3

Calcul exact

V=\frac43 \pi \times 3^3=36\pi\text{ cm}^3

Valeur approchée

36\pi \approx 113{,}1\text{ cm}^3

11Difficile

Choisir le bon solide

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Énoncé

On remplit un récipient cylindrique de rayon

5

cm et de hauteur

12

cm.
Quel volume d'eau peut-il contenir ?

Correction détaillée

Identifier le solide

Le récipient est un cylindre, donc on utilise la formule du volume du cylindre.

Calcul

V=\pi \times 5^2 \times 12=300\pi\text{ cm}^3

Valeur approchée

300\pi \approx 942{,}5\text{ cm}^3

12Difficile

Volume et conversion

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Énoncé

Une cuve a la forme d'un pavé droit de dimensions

2

1{,}5

m et

1{,}2

m.
1. Calculer son volume en m

^3

.
2. Convertir ce volume en litres.

Correction détaillée

Volume en m$^3$

V=2 \times 1{,}5 \times 1{,}2=3{,}6\text{ m}^3

Conversion

On sait que

1\text{ m}^3=1000

3{,}6\text{ m}^3=3\ 600\text{ L}

Conclusion

La cuve contient

\boxed{3{,}6\text{ m}^3}

, soit

\boxed{3\ 600\text{ L}}

13Difficile

Cône et cylindre de même base

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Énoncé

Un cône et un cylindre ont le même rayon

4

cm et la même hauteur

9

cm.
Comparer leurs volumes.

Correction détaillée

Volume du cylindre

V_{\text{cyl}}=\pi \times 4^2 \times 9=144\pi

Volume du cône

V_{\text{cône}}=\frac13 \times 144\pi=48\pi

Conclusion

Le volume du cône est le tiers de celui du cylindre de même base et de même hauteur.

14Difficile

Solide composé simple

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Énoncé

Un objet est formé d'un cube d'arête

4

cm surmonté d'une pyramide à base carrée de côté

4

cm et de hauteur

3

cm.
Calculer le volume total.

Correction détaillée

Volume du cube

V_{\text{cube}}=4^3=64\text{ cm}^3

Volume de la pyramide

V_{\text{pyramide}}=\frac13 \times 4^2 \times 3=16\text{ cm}^3

Volume total

V_{\text{total}}=64+16=80\text{ cm}^3

15Difficile

Bilan sur les volumes

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Énoncé

Une boîte cylindrique de rayon

6

cm et de hauteur

10

cm doit contenir des balles de rayon

3

cm.
1. Calculer le volume de la boîte.
2. Calculer le volume d'une balle.
3. Comparer les deux volumes.

Correction détaillée

Volume de la boîte

V_{\text{boîte}}=\pi \times 6^2 \times 10=360\pi\text{ cm}^3

Volume d'une balle

V_{\text{balle}}=\frac43 \pi \times 3^3=36\pi\text{ cm}^3

Comparaison

\frac{360\pi}{36\pi}=10

Le volume de la boîte est 10 fois celui d'une balle.

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 07

Travailler Volumes et Solides en Quatrième

Volume d'un prisme et d'un cylindre

Volume du prisme

Volume du cylindre

Valeur approchée

Volume d'une pyramide et d'un cône

Volume de la pyramide

Volume du cône

Valeur approchée du cône

Volume d'une boule et comparaisons

Volume de la boule

Volume du cube

Pourcentage et comparaison

Problème de volumes composés

Volume du cylindre

Volume du cône

Nombre de sacs nécessaires

Volume d'un pavé droit

Formule

Calcul

Conclusion

Volume d'un cylindre

Formule

Application

Réponse

Volume d'une pyramide

Formule

Calcul

Conclusion

Volume d'un cône

Formule

Calcul exact

Valeur approchée

Comparer cube et pavé

Volume du cube

Volume du pavé

Conclusion

Volume d'une boule

Formule

Calcul exact

Valeur approchée

Choisir le bon solide

Identifier le solide

Calcul

Valeur approchée

Volume et conversion

Volume en m$^3$

Conversion

Conclusion

Cône et cylindre de même base

Volume du cylindre

Volume du cône

Conclusion

Solide composé simple

Volume du cube

Volume de la pyramide

Volume total

Bilan sur les volumes

Volume de la boîte

Volume d'une balle

Comparaison

Garder le cap sur ce chapitre

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Chapitres liés à revoir ensuite

Probabilités

Trigonométrie

Théorème de Thalès