Volumes et Solides — Exercices Corrigés Quatrième

1Facile

Volume d'un prisme et d'un cylindre

Énoncé

1. Un prisme droit a une base rectangulaire de

5

cm ×

3

cm et une hauteur de

8

cm. Calculer son volume.
2. Un cylindre a un rayon de

4

cm et une hauteur de

10

cm. Calculer son volume exact et approché.

Correction détaillée

01

Volume du prisme

V_\text{prisme} = \mathcal{A}_\text{base} \times h = (5 \times 3) \times 8 = 15 \times 8 = 120 \text{ cm}^3

02

Volume du cylindre

V_\text{cylindre} = \pi r^2 \times h = \pi \times 4^2 \times 10 = 160\pi \text{ cm}^3

03

Valeur approchée

V_\text{cylindre} = 160\pi \approx 502{,}65 \text{ cm}^3

2Intermédiaire

Volume d'une pyramide et d'un cône

Énoncé

1. Une pyramide à base carrée de côté

6

cm a une hauteur de

9

cm. Calculer son volume.
2. Un cône a un rayon de base de

5

cm et une hauteur de

12

cm. Calculer son volume.

Correction détaillée

01

Volume de la pyramide

V_\text{pyramide} = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_\text{base} \times h = \frac{1}{3} \times (6 \times 6) \times 9 = \frac{1}{3} \times 36 \times 9 = \frac{324}{3} = 108 \text{ cm}^3

02

Volume du cône

V_\text{cône} = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12 = \frac{300\pi}{3} = 100\pi \text{ cm}^3

03

Valeur approchée du cône

V_\text{cône} = 100\pi \approx 314{,}16 \text{ cm}^3

Retenir : Pyramide et cône ont un volume

\dfrac{1}{3}

de celui du prisme/cylindre de même base et hauteur.

3Intermédiaire

Volume d'une boule et comparaisons

Énoncé

Une boule a un rayon de

6

cm.
1. Calculer le volume exact de cette boule.
2. Comparer ce volume avec celui d'un cube de côté

12

cm.
3. Quel pourcentage du cube la boule occupe-t-elle ?

Correction détaillée

01

Volume de la boule

La formule du volume d'une boule de rayon

r

est

V = \dfrac{4}{3}\pi r^3

.

V_\text{boule} = \frac{4}{3} \times \pi \times 6^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 216 = 288\pi \text{ cm}^3 \approx 904{,}78 \text{ cm}^3

02

Volume du cube

Le cube de côté

12

cm (diamètre de la boule) a pour volume :

V_\text{cube} = 12^3 = 1\ 728 \text{ cm}^3

La boule est bien inscrite dans ce cube :

2r = 12

cm est la longueur du côté.

03

Pourcentage et comparaison

\frac{V_\text{boule}}{V_\text{cube}} = \frac{288\pi}{1\ 728} = \frac{\pi}{6} \approx \frac{3{,}1416}{6} \approx 52{,}4\%

Conclusion : une boule inscrite dans un cube occupe toujours environ

\dfrac{\pi}{6} \approx 52\%

du volume du cube.

4Difficile

Problème de volumes composés

Énoncé

Un silo à grain est formé d'un cylindre surmonté d'un cône. Le cylindre a un rayon de

3

m et une hauteur de

8

m. Le cône a le même rayon et une hauteur de

4

m.
1. Calculer le volume total du silo.
2. On souhaite remplir le silo avec du grain. Un sac de grain occupe

0{,}5

m

^3

. Combien de sacs sont nécessaires ?

Correction détaillée

01

Volume du cylindre

V_\text{cyl} = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \text{ m}^3

02

Volume du cône

V_\text{cône} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 4 = 12\pi \text{ m}^3

Volume total :

V_\text{total} = 72\pi + 12\pi = 84\pi \approx 263{,}89 \text{ m}^3

03

Nombre de sacs nécessaires

\text{Nombre de sacs} = \frac{V_\text{total}}{0{,}5} = \frac{84\pi}{0{,}5} = 168\pi \approx 527{,}8

Comme on ne peut pas avoir un demi-sac, il faut $528$ sacs de grain pour remplir entièrement le silo.