MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 07 · Quatrième

Cours

Probabilités

Probabilité d'un événement, calculs et arbres

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Les probabilités permettent de quantifier le hasard et de prédire la fréquence d'apparition d'un événement sur le long terme. En 4ème, on généralise la notion de probabilité à des expériences plus complexes, on utilise les arbres de probabilité pour les expériences à plusieurs étapes, et on découvre les événements complémentaires.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
  • Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Points de vigilance

  • Confondre événement contraire et événement impossible.
  • Donner un résultat numérique sans interprétation.

1Probabilité d'un événement

Lors d'une expérience aléatoire, l'ensemble de toutes les issues possibles s'appelle l'univers, noté Ω\Omega. Un événement est une partie de Ω\Omega.

Si toutes les issues sont équiprobables (même chance de se réaliser), la probabilité d'un événement AA est :
P(A)=nombre d’issues favorables aˋ Anombre total d’issuesP(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}

La probabilité est toujours comprise entre 00 et 11 : 0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1.
- P(A)=0P(A) = 0 : l'événement est impossible.
- P(A)=1P(A) = 1 : l'événement est certain.

Définition

Univers

L'univers Ω\Omega est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Exemple : pour un dé à 6 faces, Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.

Définition

Événement

Un événement est une partie de l'univers. On peut le décrire en listant les issues qui lui appartiennent. Exemple : « obtenir un nombre pair » sur un dé est l'événement {2,4,6}\{2, 4, 6\}.

Définition

Événement complémentaire

L'événement complémentaire de AA, noté Aˉ\bar{A}, est l'ensemble des issues qui ne sont pas dans AA. On a : P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).
Exemple 1— Probabilité sur un dé
On lance un dé équilibré à 6 faces. Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de 3.

Solution

Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, soit 66 issues équiprobables.

Les multiples de 33 dans Ω\Omega sont : {3,6}\{3, 6\}, soit 22 issues favorables.

P(multiple de 3)=26=13P(\text{multiple de 3}) = \frac{2}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}}
Exemple 2— Événement complémentaire
La probabilité qu'il pleuve demain est 0,30{,}3. Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?

Solution

« Il ne pleut pas » est l'événement complémentaire de « il pleut ».
P(ne pleut pas)=1−P(pleut)=1−0,3=0,7P(\text{ne pleut pas}) = 1 - P(\text{pleut}) = 1 - 0{,}3 = \mathbf{0{,}7}
  • 0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1 pour tout événement AA.
  • P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A) (événement complémentaire).
  • Si les issues sont équiprobables : P(A)=cas favorablescas possiblesP(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}.

2Arbres de probabilité

Lorsqu'une expérience se déroule en plusieurs étapes, on peut utiliser un arbre de probabilité pour visualiser toutes les issues possibles et calculer les probabilités.

Règles de l'arbre :
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.
- La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins favorables.
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours égale à 11.
Exemple 1— Arbre à deux étapes
Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, on la remet, puis on tire une deuxième. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges.

Solution

L'univers de chaque tirage : P(rouge)=35P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{5}, P(bleue)=25P(\text{bleue}) = \dfrac{2}{5}.

Les tirages sont indépendants (remise). La probabilité d'obtenir rouge puis rouge :
P(RR)=P(rouge)×P(rouge)=35×35=925P(RR) = P(\text{rouge}) \times P(\text{rouge}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \mathbf{\frac{9}{25}}
  • Probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches.
  • Probabilité d'un événement = somme des probabilités des chemins favorables.
  • La somme des branches issues d'un nœud vaut 11.

★ À retenir

  • 1
    P(A)=issues favorablesissues totalesP(A) = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues totales}} si toutes les issues sont équiprobables.
  • 2
    P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).
  • 3
    Dans un arbre : probabilité d'un chemin = produit des branches ; probabilité d'un événement = somme des chemins favorables.

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