Chapitre 08 · Quatrième

Cours

Volumes

Calcul des volumes des solides usuels

Le calcul de volumes est une compétence essentielle en géométrie dans l'espace. En 4ème, on étudie les formules de volumes des principaux solides : pavé droit, prisme, cylindre, pyramide, cône et sphère. On apprend aussi à convertir des unités de volume et à résoudre des problèmes concrets.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Maîtriser les méthodes essentielles de volumes.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Volumes des solides à base et section constante

Un prisme droit est un solide dont les deux bases sont des polygones parallèles et identiques, reliés par des faces rectangulaires. Un cylindre de révolution est similaire, mais avec des bases circulaires.

Pour ces solides :

V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h

où

h

est la hauteur (distance entre les deux bases).

- Pavé droit (prisme à base rectangulaire) :

V = L \times \ell \times h

- Prisme (base quelconque) :

V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h

- Cylindre :

V = \pi r^2 h

Définition

Pavé droit

Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide à six faces rectangulaires. Ses dimensions sont la longueur

L

, la largeur

\ell

et la hauteur

h

. Son volume est

V = L \times \ell \times h

Définition

Prisme droit

Un prisme droit est un solide dont les bases sont deux polygones parallèles et congrus, réunis par des faces rectangulaires. Son volume est

V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h

Définition

Cylindre de révolution

Un cylindre de révolution est un solide dont les bases sont deux disques parallèles et congrus de rayon

r

, reliés par une surface latérale courbe. Son volume est

V = \pi r^2 h

Exemple 1— Volume d'un cylindre

Calculer le volume d'un cylindre de rayon

r = 4

cm et de hauteur

h = 10

cm. Donner le résultat en cm³, arrondi au centième.

Solution

V = \pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 10 = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx \mathbf{502{,}65 \text{ cm}^3}

Formule générale pour prisme et cylindre : $V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$ .
Pour un cylindre : $\mathcal{A}_{\text{base}} = \pi r^2$ .
Vérifier l'unité : si les longueurs sont en cm, le volume est en cm³.

2Volumes des solides à pointe

Les pyramides et les cônes sont des solides qui se « rétrécissent » jusqu'à une pointe (l'apex ou sommet). Leur volume vaut un tiers du volume du prisme ou cylindre correspondant de même base et même hauteur.

- Pyramide :

V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h

- Cône :

V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^2 \times h

- Sphère :

V = \dfrac{4}{3} \pi r^3

Définition

Pyramide

Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un sommet unique. Son volume est

V = \dfrac{1}{3} \mathcal{A}_{\text{base}} \times h

Définition

Cône de révolution

Un cône de révolution a une base circulaire de rayon

r

et un sommet (apex) à la hauteur

h

. Son volume est

V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h

Définition

Sphère

Une sphère est l'ensemble des points de l'espace situés à distance

r

(le rayon) d'un point central. Son volume est

V = \dfrac{4}{3} \pi r^3

Exemple 1— Volume d'une pyramide

Une pyramide a une base carrée de côté

6

cm et une hauteur de

8

cm. Calculer son volume.

Solution

L'aire de la base carrée est

\mathcal{A}_{\text{base}} = 6^2 = 36 \text{ cm}^2

V = \frac{1}{3} \times 36 \times 8 = \frac{288}{3} = \mathbf{96 \text{ cm}^3}

Exemple 2— Volume d'une sphère

Calculer le volume d'une sphère de rayon

3

cm.

Solution

V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \frac{4}{3} \times 27\pi = 36\pi \approx \mathbf{113{,}10 \text{ cm}^3}

⚠ Attention

Ne pas confondre le rayon

r

et le diamètre

d = 2r

. Si l'énoncé donne le diamètre, penser à diviser par

2

avant de calculer.

Pyramide et cône : volume $= \dfrac{1}{3}$ du prisme/cylindre correspondant.
Sphère : $V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$ (le rayon est élevé au cube).
La hauteur $h$ est toujours la hauteur perpendiculaire à la base.

★ À retenir

1
Prisme/Cylindre : $V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$ .
2
Pyramide/Cône : $V = \dfrac{1}{3} \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$ .
3
Sphère : $V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$ .
4
Toujours vérifier les unités et convertir si nécessaire (1 L = 1 dm³).

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Exercices — Volumes

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Chapitre 07

Volumes

Comment utiliser ce cours efficacement

1Volumes des solides à base et section constante

2Volumes des solides à pointe

★ À retenir

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Probabilités

Trigonométrie

Théorème de Thalès