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Chapitre 06 · Cinquième

Cours

Symétrie Centrale

Centre, construction et figures

La symétrie centrale est une transformation géométrique qui associe à chaque point du plan un point symétrique par rapport à un centre fixe. On la rencontre dans de nombreuses figures géométriques (losange, parallélogramme) et dans la nature. Cette étude complète celle de la symétrie axiale vue en classes précédentes.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Maîtriser les méthodes essentielles de symétrie centrale.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Définition et construction du symétrique d'un point

La symétrie centrale de centre

O

est la transformation qui, à tout point

M

du plan, associe le point

M'

tel que

O

soit le milieu du segment

[MM']

. On dit que

M'

est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ , et on note

M' = S_O(M)

.

Pour construire le symétrique d'un point

M

par rapport à un centre

O

:
1. On trace la demi-droite

[OM)

.
2. On reporte la distance

OM

de l'autre côté de

O

OM' = OM

O

étant entre

M

M'

.
Ou plus simplement : on trace le segment

[MM']

passant par

O

tel que

OM = OM'

.

On peut utiliser la méthode du quadrillage : si

M

est en

(x, y)

par rapport à

O

, alors

M'

est en

(-x, -y)

par rapport à

O

Définition

Symétrie centrale de centre $O$

Transformation du plan qui, à tout point

M

, associe le point

M'

tel que

O

est le milieu de

[MM']

. Notée

S_O

Définition

Centre de symétrie

Point

O

par rapport auquel on effectue la symétrie centrale. Pour chaque point

M

, son symétrique

M'

vérifie

\overrightarrow{OM} = -\overrightarrow{OM'}

Exemple 1— Construction du symétrique d'un point

Sur un quadrillage,

O

est l'origine et

M

a pour coordonnées

(3, -2)

. Trouver

M'

, symétrique de

M

par rapport à

O

Solution

Par la symétrie centrale de centre

O(0,0)

, le symétrique de

M(3,-2)

est

M'(-3, +2)

.

Vérification : milieu de

[MM'] = \left(\dfrac{3+(-3)}{2},\, \dfrac{-2+2}{2}\right) = (0, 0) = O

. ✓

Exemple 2— Symétrique d'un point par un centre quelconque

Trouver le symétrique de

A(1, 4)

par rapport à

O(3, 2)

Solution

Le centre

O(3,2)

est le milieu de

[AA']

. Donc :

\frac{x_A + x_{A'}}{2} = 3 \Rightarrow x_{A'} = 6 - 1 = 5

\frac{y_A + y_{A'}}{2} = 2 \Rightarrow y_{A'} = 4 - 4 = 0

Donc

A'(5, 0)

$M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ si et seulement si $O$ est le milieu de $[MM']$ .
Pour construire le symétrique : tracer le segment $[MM']$ passant par $O$ avec $OM = OM'$ .
Sur un quadrillage : les coordonnées du symétrique s'obtiennent en soustrayant depuis le centre.

2Symétrique d'une figure par rapport à un centre

Pour construire le symétrique d'une figure par rapport à un centre

O

, on construit le symétrique de chaque point caractéristique (sommets, points particuliers) de la figure, puis on relie ces points dans le même ordre.

La symétrie centrale conserve les distances, les angles, les alignements et les propriétés des figures : le symétrique d'un segment est un segment de même longueur, le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon, le symétrique d'un triangle est un triangle congru.

Important : la symétrie centrale inverse le sens de rotation (contrairement à la symétrie axiale qui retourne la figure). Le symétrique d'une figure par symétrie centrale peut se superposer à la figure originale par rotation de

180°

Définition

Conservation par symétrie centrale

La symétrie centrale conserve : les longueurs (

MA = M'A'

), les angles, les parallélismes, le sens des droites parallèles (mais inverse l'orientation).

Définition

Figure symétrique

L'image d'une figure par une symétrie centrale est une figure de même taille et de même forme, mais orientée différemment.

Exemple 1— Symétrique d'un segment

Construire le symétrique du segment

[AB]

par rapport au point

O

, sachant que

A(2, 1)

B(4, 3)

O(1, 2)

Solution

Symétrique de

A(2,1)

par rapport à

O(1,2)

A'(2\times1-2,\, 2\times2-1) = (0, 3)

.

Symétrique de

B(4,3)

par rapport à

O(1,2)

B'(2\times1-4,\, 2\times2-3) = (-2, 1)

.

Le symétrique de

[AB]

est le segment

[A'B']

Exemple 2— Symétrique d'un triangle

Décrire le symétrique du triangle

ABC

(équilatéral, côté

4

cm) par rapport au centre

O

Solution

Le symétrique est un triangle

A'B'C'

qui est aussi équilatéral de côté

4

cm. Toutes les longueurs et tous les angles sont conservés. La figure

A'B'C'

est l'image de

ABC

par rotation de

180°

autour de

O

⚠ Attention

Ne pas confondre la symétrie centrale (par rapport à un point) avec la symétrie axiale (par rapport à une droite). Avec la symétrie centrale, la figure semble avoir subi une rotation de

180°

; avec la symétrie axiale, elle a été « retournée ».

3Figures qui ont un centre de symétrie

Une figure a un centre de symétrie si elle est sa propre image par la symétrie centrale par rapport à ce point. Cela signifie que si on fait pivoter la figure de

180°

autour de ce point, on retrouve exactement la même figure.

Exemples de figures ayant un centre de symétrie : le cercle (tout centre), le parallélogramme (centre = intersection des diagonales), le losange, le rectangle, le carré, la lettre

S

, la lettre

Z

.

Exemples de figures n'ayant PAS de centre de symétrie : un triangle quelconque, un triangle isocèle (sauf équilatéral), la lettre

T

, la lettre

L

Définition

Centre de symétrie d'une figure

Point

O

tel que la figure est sa propre image par la symétrie centrale de centre

O

. Cela signifie que pour chaque point

M

de la figure, le point symétrique

M'

(par rapport à

O

) appartient aussi à la figure.

Exemple 1— Centre de symétrie d'un parallélogramme

Montrer que le parallélogramme

ABCD

admet un centre de symétrie et le trouver.

Solution

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Soit

O

l'intersection des diagonales

[AC]

[BD]

.

Comme

O

est le milieu de

[AC]

, le symétrique de

A

par rapport à

O

est

C

, et vice-versa.
Comme

O

est le milieu de

[BD]

, le symétrique de

B

par rapport à

O

est

D

, et vice-versa.

Donc la figure est sa propre image par

S_O

O

est le centre de symétrie du parallélogramme.

Exemple 2— Figure sans centre de symétrie

Le triangle isocèle

ABC

(avec

AB = AC

) a-t-il un centre de symétrie ?

Solution

Non. Un triangle (sauf équilatéral) n'a pas de centre de symétrie. Par contre, le triangle isocèle possède un axe de symétrie (la médiatrice de

[BC]

Le parallélogramme, le losange, le rectangle, le carré et le cercle ont tous un centre de symétrie.
Un triangle quelconque n'a pas de centre de symétrie.
Une figure avec un centre de symétrie est identique à elle-même après une rotation de $180°$ .

4Symétrie centrale et symétrie axiale

La symétrie axiale et la symétrie centrale sont deux types de symétries différents, mais liés. La symétrie axiale est une réflexion par rapport à une droite ; la symétrie centrale est une rotation de

180°

autour d'un point.

Une figure peut posséder une symétrie axiale sans avoir de centre de symétrie (exemple : le triangle isocèle), ou avoir un centre de symétrie sans axe de symétrie (exemple : le parallélogramme sans propriétés supplémentaires).

Le carré et le rectangle possèdent à la fois des axes de symétrie et un centre de symétrie. Le rectangle a

2

axes de symétrie, le carré en a

4

. Le cercle a une infinité d'axes de symétrie et un centre de symétrie.

Définition

Symétrie axiale

Symétrie par rapport à une droite (appelée axe). Le symétrique d'un point

M

est le point

M'

tel que l'axe est la médiatrice de

[MM']

Définition

Symétrie centrale

Symétrie par rapport à un point

O

. Le symétrique de

M

est

M'

tel que

O

est le milieu de

[MM']

Exemple 1— Comparaison des deux symétries

Pour la lettre

H

: identifie ses axes de symétrie et son centre de symétrie éventuels.

Solution

La lettre

H

possède :
- Un axe de symétrie vertical (symétrie gauche-droite),
- Un axe de symétrie horizontal (symétrie haut-bas),
- Un centre de symétrie (intersection des deux axes, au centre de la barre horizontale).

Symétrie axiale ↔ symétrie par rapport à une droite.
Symétrie centrale ↔ symétrie par rapport à un point (rotation de $180°$ ).
Une figure peut avoir l'une sans l'autre, les deux, ou ni l'une ni l'autre.

★ À retenir

1
$M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ si et seulement si $O$ est le milieu de $[MM']$ .
2
Pour construire le symétrique d'un point : tracer le segment passant par $O$ avec $OM = OM'$ .
3
La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles et les parallélismes.
4
Une figure a un centre de symétrie si elle est identique à elle-même après une rotation de $180°$ .
5
Le parallélogramme a pour centre de symétrie l'intersection de ses diagonales.
6
Ne pas confondre symétrie centrale (par rapport à un point) et symétrie axiale (par rapport à une droite).

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Exercices — Symétrie Centrale

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Chapitre 05

Symétrie Centrale

Comment utiliser ce cours efficacement

1Définition et construction du symétrique d'un point

2Symétrique d'une figure par rapport à un centre

3Figures qui ont un centre de symétrie

4Symétrie centrale et symétrie axiale

★ À retenir

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Géométrie Plane

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