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Chapitre 06 · Cinquième

Symétrie Centrale

Centre de symétrie et figures symétriques

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Travailler Symétrie Centrale en Cinquième

Ce chapitre de symétrie centrale en 5ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Reprendre les bases de 5ème liées à symétrie centrale.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de symétrie centrale.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Facile

Image d'un point par symétrie centrale

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Énoncé

Dans un repère, on donne le centre de symétrie O(2; 3)O(2;\ 3) et les points A(5; 1)A(5;\ 1), B(−1; 4)B(-1;\ 4), C(2; 6)C(2;\ 6).
Déterminer les coordonnées de A′A', B′B' et C′C', images respectives de AA, BB et CC par la symétrie de centre OO.

Correction détaillée

01

Propriété de la symétrie centrale

Si A′A' est l'image de AA par la symétrie de centre OO, alors OO est le milieu de [AA′][AA'].
Formules : xA′=2xO−xAx_{A'} = 2x_O - x_A et yA′=2yO−yAy_{A'} = 2y_O - y_A.
02

Calcul de A'

xA′=2×2−5=4−5=−1x_{A'} = 2 \times 2 - 5 = 4 - 5 = -1
yA′=2×3−1=6−1=5y_{A'} = 2 \times 3 - 1 = 6 - 1 = 5
Donc A′(−1; 5)A'(-1;\ 5).
03

Calcul de B' et C'

B′:x=2×2−(−1)=5, y=2×3−4=2B' : x = 2 \times 2 - (-1) = 5,\ y = 2 \times 3 - 4 = 2 ⇒B′(5; 2)\Rightarrow B'(5;\ 2)
C′:x=2×2−2=2, y=2×3−6=0C' : x = 2 \times 2 - 2 = 2,\ y = 2 \times 3 - 6 = 0 ⇒C′(2; 0)\Rightarrow C'(2;\ 0)
2Facile

Figures ayant un centre de symétrie

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Énoncé

Pour chacune des figures suivantes, dire si elle possède un centre de symétrie et, si oui, le nommer :
1. Un rectangle ABCDABCD.
2. Un triangle équilatéral EFGEFG.
3. Un cercle de centre OO.
4. Un parallélogramme IJKLIJKL.

Correction détaillée

01

Rectangle et triangle équilatéral

1. Le rectangle ABCDABCD possède un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales (milieu de [AC][AC] et de [BD][BD]).
2. Le triangle équilatéral EFGEFG n'a pas de centre de symétrie.
02

Cercle et parallélogramme

3. Le cercle de centre OO possède un centre de symétrie : son centre OO.
4. Le parallélogramme IJKLIJKL possède un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
03

Résumé

Ont un centre de symétrie : le rectangle, le cercle, le parallélogramme (et aussi le carré, le losange, l'ellipse…).
N'ont pas de centre de symétrie : le triangle (équilatéral ou non).
3Intermédiaire

Construction de l'image d'une figure

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Énoncé

On considère un segment [AB][AB] avec A(1; 2)A(1;\ 2) et B(4; 5)B(4;\ 5), et un centre de symétrie O(3; 3)O(3;\ 3).
1. Construire les images A′A' et B′B' de AA et BB.
2. Que représente [A′B′][A'B'] par rapport à [AB][AB] ?
3. Comparer ABAB et A′B′A'B'.

Correction détaillée

01

Images de A et B

A′:x=2×3−1=5, y=2×3−2=4A' : x = 2 \times 3 - 1 = 5,\ y = 2 \times 3 - 2 = 4 ⇒A′(5; 4)\Rightarrow A'(5;\ 4)
B′:x=2×3−4=2, y=2×3−5=1B' : x = 2 \times 3 - 4 = 2,\ y = 2 \times 3 - 5 = 1 ⇒B′(2; 1)\Rightarrow B'(2;\ 1)
02

Nature de [A'B']

[A′B′][A'B'] est l'image du segment [AB][AB] par la symétrie centrale de centre OO.
Les deux segments sont parallèles et de sens opposé.
03

Comparaison des longueurs

La symétrie centrale conserve les longueurs : A′B′=ABA'B' = AB.
Vérification : AB=(4−1)2+(5−2)2=9+9=32AB = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2} et A′B′=(2−5)2+(1−4)2=9+9=32A'B' = \sqrt{(2-5)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2} ✓
4Difficile

Symétrie centrale et quadrilatères

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Énoncé

Le point O(0; 0)O(0;\ 0) est le centre de symétrie d'un quadrilatère ABCDABCD avec A(3; 1)A(3;\ 1) et B(1; 4)B(1;\ 4).
1. Déterminer les coordonnées de CC et DD sachant que CC est le symétrique de AA et DD est le symétrique de BB.
2. Calculer les longueurs ABAB et CDCD.
3. Quelle est la nature du quadrilatère ABCDABCD ?

Correction détaillée

01

Coordonnées de C et D

CC symétrique de A(3; 1)A(3;\ 1) par rapport à O(0; 0)O(0;\ 0) : C(−3; −1)C(-3;\ -1)
DD symétrique de B(1; 4)B(1;\ 4) par rapport à O(0; 0)O(0;\ 0) : D(−1; −4)D(-1;\ -4)
02

Calcul des longueurs AB et CD

AB=(1−3)2+(4−1)2=4+9=13AB = \sqrt{(1-3)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
CD=(−1−(−3))2+(−4−(−1))2=4+9=13CD = \sqrt{(-1-(-3))^2 + (-4-(-1))^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
03

Nature du quadrilatère

ABCDABCD a un centre de symétrie (OO) et AB=CDAB = CD.
De plus, AB∥CDAB \parallel CD (droites symétriques par rapport à OO) et AD∥BCAD \parallel BC.
⇒\Rightarrow ABCDABCD est un parallélogramme.
5Facile

Trouver le centre de symétrie

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Énoncé

Les points A(2;1)A(2;1) et A′(−4;5)A'(-4;5) sont symétriques par rapport à un point OO.
Déterminer les coordonnées de OO.

Correction détaillée

01

Milieu du segment

Le centre de symétrie est le milieu de [AA′][AA'].
xO=2+(−4)2=−1yO=1+52=3x_O = \dfrac{2 + (-4)}{2} = -1 \qquad y_O = \dfrac{1 + 5}{2} = 3
02

Résultat

Le centre est donc O(−1;3)O(-1;3).
6Facile

Image d'un segment horizontal

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Énoncé

Le centre est O(0;0)O(0;0). Le segment [AB][AB] a pour extrémités A(3;2)A(3;2) et B(7;2)B(7;2).
Donner les coordonnées de A′A' et B′B'.

Correction détaillée

01

Calcul des images

Par symétrie de centre O(0;0)O(0;0), on change les signes des coordonnées.
A′(−3;−2)A'(-3;-2) et B′(−7;−2)B'(-7;-2).
02

Conclusion

Le segment image est parallèle au segment initial et de même longueur.
7Intermédiaire

Image d'un triangle

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Énoncé

Dans un repère, on considère O(1;1)O(1;1), A(2;4)A(2;4), B(5;2)B(5;2) et C(0;3)C(0;3).
Déterminer les images A′A', B′B' et C′C' par la symétrie de centre OO.

Correction détaillée

01

Formules

x′=2xO−xx' = 2x_O - x et y′=2yO−yy' = 2y_O - y.
02

Applications

A′(0;−2)A'(0;-2), B′(−3;0)B'(-3;0) et C′(2;−1)C'(2;-1).
8Facile

Point invariant

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Énoncé

Quel est le seul point invariant par une symétrie centrale de centre OO ?

Correction détaillée

01

Propriété

Le seul point qui reste à la même place est le centre lui-même.
02

Réponse

Le point invariant est donc : OO.
9Intermédiaire

Image d’une droite

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Énoncé

Une droite dd ne passe pas par le centre de symétrie OO.
Quelle est la nature de son image par symétrie centrale ?

Correction détaillée

01

Propriété

L'image d'une droite ne passant pas par le centre est une droite parallèle.
02

Conclusion

L'image de dd est donc une droite parallèle à dd.
10Intermédiaire

Image d'un cercle

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Énoncé

Un cercle de centre CC a pour image un cercle par la symétrie centrale de centre OO.
Quel est le rayon du cercle image ?

Correction détaillée

01

Conservation des longueurs

La symétrie centrale conserve toutes les distances.
02

Conclusion

Le cercle image a donc le même rayon que le cercle initial.
11Difficile

Parallélogramme et centre

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Énoncé

Dans un parallélogramme, quel point joue le rôle de centre de symétrie ?

Correction détaillée

01

Propriété

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
02

Réponse

Le centre de symétrie est donc le point d'intersection des diagonales.
12Intermédiaire

Vérifier une symétrie

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Énoncé

Le point O(2;2)O(2;2) est-il le centre de symétrie des points M(5;1)M(5;1) et N(−1;3)N(-1;3) ?

Correction détaillée

01

Test avec le milieu

Le milieu de [MN][MN] a pour coordonnées :
(5+(−1)2;1+32)=(2;2)\left(\dfrac{5 + (-1)}{2};\dfrac{1 + 3}{2}\right) = (2;2)
02

Conclusion

Oui, O(2;2)O(2;2) est bien le centre de symétrie de MM et NN.
13Difficile

Retrouver un point manquant

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Énoncé

Le centre est O(3;−1)O(3; -1) et le point P′(8;4)P'(8;4) est l'image de PP.
Déterminer les coordonnées de PP.

Correction détaillée

01

Utiliser les formules inverses

Comme xP′=2xO−xPx_{P'} = 2x_O - x_P, alors xP=2xO−xP′=6−8=−2x_P = 2x_O - x_{P'} = 6 - 8 = -2.
02

Ordonnée

yP=2yO−yP′=2×(−1)−4=−6y_P = 2y_O - y_{P'} = 2 \times (-1) - 4 = -6.
Donc P(−2;−6)P(-2;-6).
14Facile

Segment et milieu

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Énoncé

Le point OO est le milieu de [AA′][AA'] avec A(−3;7)A(-3;7) et A′(5;−1)A'(5;-1).
Déterminer les coordonnées de OO.

Correction détaillée

01

Formule du milieu

xO=−3+52=1yO=7+(−1)2=3x_O = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1 \qquad y_O = \dfrac{7 + (-1)}{2} = 3
02

Résultat

Le centre vaut O(1;3)O(1;3).
15Difficile

Figure symétrique complète

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Énoncé

On considère le quadrilatère ABCDABCD avec A(1;2)A(1;2), B(4;2)B(4;2), C(5;5)C(5;5) et D(2;5)D(2;5).
On applique la symétrie centrale de centre O(0;0)O(0;0).
Donner les coordonnées des images des quatre sommets.

Correction détaillée

01

Principe

Avec un centre en (0;0)(0;0), on prend l'opposé de chaque coordonnée.
02

Images

A′(−1;−2)A'(-1;-2), B′(−4;−2)B'(-4;-2), C′(−5;−5)C'(-5;-5) et D′(−2;−5)D'(-2;-5).

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

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Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 05

Géométrie Plane

Triangles, quadrilatères et leurs propriétés

Chapitre 07

Statistiques et Probabilités

Fréquences, moyennes et premières probabilités

Chapitre 04

Proportionnalité

Pourcentages, échelles et vitesse