MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 07 · Cinquième

Cours

Statistiques et Probabilités

Fréquences, moyennes et probabilités

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Les statistiques permettent d'analyser des données issues d'observations ou d'expériences, de les résumer et d'en tirer des conclusions. Les probabilités permettent de modéliser le hasard et d'évaluer la chance qu'un événement se produise. Ces deux domaines sont fondamentaux pour comprendre le monde qui nous entoure, des sondages aux jeux de hasard.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
  • Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Points de vigilance

  • Confondre événement contraire et événement impossible.
  • Donner un résultat numérique sans interprétation.

1Statistiques descriptives : données et représentations

En statistiques, on étudie une population (l'ensemble des individus concernés) selon un caractère (la propriété mesurée). Les données sont les valeurs observées pour ce caractère.

On peut représenter les données par différents types de graphiques : le diagramme en barres (pour des données discontinues), le diagramme circulaire (ou camembert, pour les proportions), le graphique en courbes (pour l'évolution dans le temps) et le tableau de données.

L'effectif est le nombre de fois qu'une valeur apparaît dans la série. L'effectif total est la somme de tous les effectifs. La fréquence d'une valeur est le rapport de son effectif à l'effectif total, exprimé en pourcentage ou en nombre entre 00 et 11.

Définition

Effectif

Nombre de fois qu'une valeur (ou modalité) apparaît dans la série statistique. L'effectif total est la somme de tous les effectifs individuels.

Définition

Fréquence

Fréquence d'une valeur =effectif de la valeureffectif total= \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}. Elle peut s'exprimer en fraction, en décimal ou en pourcentage.

Définition

Diagramme circulaire

Représentation graphique où chaque secteur angulaire représente une valeur. L'angle du secteur est proportionnel à la fréquence : angle =freˊquence×360°= \text{fréquence} \times 360°.
Exemple 1— Calcul d'effectifs et fréquences
Dans une classe, les notes d'un devoir sont : 10,12,14,12,16,10,14,14,12,1810, 12, 14, 12, 16, 10, 14, 14, 12, 18. Dresser le tableau des effectifs et des fréquences.

Solution

Effectif total =10= 10.

| Note | Effectif | Fréquence |
|------|----------|----------|
| 1010 | 22 | 20 %20\,\% |
| 1212 | 33 | 30 %30\,\% |
| 1414 | 33 | 30 %30\,\% |
| 1616 | 11 | 10 %10\,\% |
| 1818 | 11 | 10 %10\,\% |

Vérification : 2+3+3+1+1=102+3+3+1+1 = 10 et 20+30+30+10+10=100 %20+30+30+10+10 = 100\,\%. ✓
Exemple 2— Angle d'un diagramme circulaire
Dans un groupe, 40 %40\,\% préfèrent le sport, 35 %35\,\% la musique et 25 %25\,\% la lecture. Calculer les angles des secteurs pour un diagramme circulaire.

Solution

Sport : 0,40×360°=144°0{,}40 \times 360° = 144°

Musique : 0,35×360°=126°0{,}35 \times 360° = 126°

Lecture : 0,25×360°=90°0{,}25 \times 360° = 90°

Vérification : 144+126+90=360°144 + 126 + 90 = 360°. ✓
  • La somme de tous les effectifs = effectif total.
  • La somme de toutes les fréquences = 11 (ou 100 %100\,\%).
  • Fréquence ×\times effectif total = effectif.

2Indicateurs de position : moyenne, médiane et mode

La moyenne d'une série statistique est la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total. Elle donne une valeur centrale « représentative » de la série, mais elle est sensible aux valeurs extrêmes.
xˉ=x1+x2+…+xnn=∑xin\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n}

Le mode (ou valeur modale) est la valeur qui apparaît le plus souvent dans la série (celle qui a le plus grand effectif). Il peut y en avoir plusieurs ou aucun.

La médiane est la valeur qui partage la série triée en deux parties égales : 50 %50\,\% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et 50 %50\,\% sont supérieures ou égales. Quand le nombre de données est impair, c'est la valeur centrale ; quand il est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.

Définition

Moyenne

La moyenne xˉ\bar{x} d'une série de nn valeurs est xˉ=∑xin\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n} (somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs). Peut être calculée avec des effectifs : xˉ=∑(xi×ni)N\bar{x} = \dfrac{\sum (x_i \times n_i)}{N} où nin_i est l'effectif de xix_i et NN l'effectif total.

Définition

Mode

Valeur (ou modalité) qui possède le plus grand effectif dans la série. C'est la valeur la plus fréquente.

Définition

Médiane

Valeur qui divise la série ordonnée en deux groupes de même effectif. Si nn est impair, c'est la valeur de rang n+12\dfrac{n+1}{2} ; si nn est pair, c'est la moyenne des valeurs de rangs n2\dfrac{n}{2} et n2+1\dfrac{n}{2}+1.
Exemple 1— Calcul de la moyenne
Calculer la moyenne des notes : 8,12,15,10,14,13,9,118, 12, 15, 10, 14, 13, 9, 11.

Solution

xˉ=8+12+15+10+14+13+9+118=928=11,5\bar{x} = \frac{8 + 12 + 15 + 10 + 14 + 13 + 9 + 11}{8} = \frac{92}{8} = 11{,}5
Exemple 2— Médiane d'une série
Trouver la médiane de la série : 5,7,9,3,11,7,65, 7, 9, 3, 11, 7, 6.

Solution

On trie la série dans l'ordre croissant : 3,5,6,7,7,9,113, 5, 6, 7, 7, 9, 11.

Il y a n=7n = 7 valeurs (impair). La médiane est la valeur de rang 7+12=4\dfrac{7+1}{2} = 4.

La 4ème valeur est 77 → médiane =7= 7.
Exemple 3— Moyenne pondérée
Les notes et effectifs d'une classe sont : note 1010 (5 élèves), note 1212 (8 élèves), note 1515 (7 élèves). Calculer la moyenne.

Solution

Effectif total : 5+8+7=205 + 8 + 7 = 20.
xˉ=10×5+12×8+15×720=50+96+10520=25120=12,55\bar{x} = \frac{10 \times 5 + 12 \times 8 + 15 \times 7}{20} = \frac{50 + 96 + 105}{20} = \frac{251}{20} = 12{,}55

⚠ Attention

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes (très grandes ou très petites). Dans ce cas, la médiane est un meilleur indicateur de la valeur centrale. Par exemple, si les salaires d'un groupe sont : 1000,1200,1100,1300,500001000, 1200, 1100, 1300, 50000 (un dirigeant), la moyenne est très élevée mais ne représente pas bien le groupe.

3Introduction aux probabilités

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard. L'ensemble des résultats possibles s'appelle l'espace des possibles (ou univers), noté Ω\Omega. Un événement est un sous-ensemble de l'espace des possibles.

La probabilité d'un événement AA est un nombre entre 00 et 11 qui mesure la chance que AA se produise. Si l'expérience est équiprobable (tous les résultats ont la même chance d'apparaître), la probabilité est :
P(A)=nombre de cas favorablesnombre de cas possiblesP(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}

Un événement certain a une probabilité de 11 ; un événement impossible a une probabilité de 00.

Définition

Expérience aléatoire

Expérience dont l'issue est incertaine et dépend du hasard. Exemples : lancer un dé, tirer une carte, lancer une pièce.

Définition

Événement

Sous-ensemble de l'espace des possibles Ω\Omega. Un événement se réalise si le résultat de l'expérience appartient à cet ensemble.

Définition

Probabilité

Nombre compris entre 00 et 11 associé à un événement. P(A)=0P(A) = 0 : événement impossible ; P(A)=1P(A) = 1 : événement certain ; P(A)=0,5P(A) = 0{,}5 : événement aussi probable qu'improbable.

Définition

Événement contraire

L'événement contraire de AA, noté Aˉ\bar{A}, est l'événement « AA ne se réalise pas ». On a toujours P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).
Exemple 1— Lancer d'un dé équilibré
On lance un dé à 6 faces équilibré. Calculer la probabilité d'obtenir (a) le nombre 44, (b) un nombre pair, (c) un nombre supérieur à 44.

Solution

Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} — 6 résultats équiprobables.

(a) P({4})=16P(\{4\}) = \dfrac{1}{6}

(b) Nombres pairs : {2,4,6}\{2, 4, 6\} → P=36=12P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

(c) Supérieur à 44 : {5,6}\{5, 6\} → P=26=13P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}
Exemple 2— Tirage de boules
Un sac contient 33 boules rouges, 44 boules bleues et 22 boules vertes. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule bleue ?

Solution

Total : 3+4+2=93 + 4 + 2 = 9 boules.

P(bleue)=49P(\text{bleue}) = \dfrac{4}{9}

P(non bleue)=1−49=59P(\text{non bleue}) = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}
  • 0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1 pour tout événement AA.
  • P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).
  • En situation équiprobable : P(A)=cas favorablescas possiblesP(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}.
  • La somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 11.

4Fréquence et probabilité

La fréquence d'un événement lors d'une expérience répétée est le rapport du nombre de fois où l'événement s'est réalisé au nombre total d'expériences. Quand on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence observée se stabilise autour de la probabilité théorique. C'est la loi des grands nombres.

Ceci permet d'estimer une probabilité inconnue en répétant l'expérience de nombreuses fois et en calculant la fréquence. Inversement, une probabilité théorique permet de prévoir la fréquence attendue sur un grand nombre d'expériences.

La simulation sur ordinateur permet de réaliser des milliers d'expériences virtuelles pour observer la convergence des fréquences vers les probabilités.

Définition

Fréquence d'un événement

Après nn répétitions d'une expérience, si l'événement AA se réalise kk fois, sa fréquence est f=knf = \dfrac{k}{n}.

Définition

Loi des grands nombres

Quand le nombre de répétitions d'une expérience augmente, la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique.
Exemple 1— Comparaison fréquence / probabilité
On lance une pièce équilibrée 200200 fois et on obtient 108108 fois « pile ». La pièce est-elle truquée ?

Solution

Fréquence observée de « pile » : 108200=0,54=54 %\dfrac{108}{200} = 0{,}54 = 54\,\%.

Probabilité théorique : P(pile)=0,5=50 %P(\text{pile}) = 0{,}5 = 50\,\%.

Un écart de 4 %4\,\% sur 200200 lancers est normal (fluctuation d'échantillonnage). La pièce n'est probablement pas truquée.

⚠ Attention

Le hasard n'a pas de mémoire. Si on a obtenu 55 fois « pile » de suite, la probabilité d'obtenir « face » au prochain lancer reste 12\dfrac{1}{2}. Il n'y a pas de « rattrapage ».

★ À retenir

  • 1
    Fréquence =effectifeffectif total= \dfrac{\text{effectif}}{ \text{effectif total}}. La somme de toutes les fréquences vaut 11 (ou 100 %100\,\%).
  • 2
    Moyenne : xˉ=somme de toutes les valeursnombre de valeurs\bar{x} = \dfrac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}.
  • 3
    Médiane : valeur centrale de la série triée par ordre croissant.
  • 4
    Probabilité (cas équiprobable) : P(A)=nombre de cas favorablesnombre de cas possiblesP(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.
  • 5
    P(A)P(A) est toujours compris entre 00 et 11. P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).
  • 6
    À long terme, la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique (loi des grands nombres).

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Chapitre 06

Symétrie Centrale

Centre de symétrie et figures symétriques

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Volumes et Contenances

Pavés droits, prismes et conversions

Chapitre 05

Géométrie Plane

Triangles, quadrilatères et leurs propriétés